基于4k分辨率小型投影機的魚眼鏡頭設計

（秦皇島視聽機械研究所有限公司，河北 秦皇島 066000）

引言

在投影工程中，通過低成本、易實施的方案實現(xiàn)高質量且令人印象深刻的投影效果是設計者追求的目標，借助于芯片顯示技術和光學引擎技術的發(fā)展，低成本高清晰度的投影方案得以實現(xiàn)，使小尺寸投影機也可以達到4k級分辨率。球幕投影作為一種特殊的投影方式，帶給觀眾強烈的視覺沖擊和沉浸感，近年來在科教展示、商業(yè)宣傳、仿真模擬等領域得到廣泛的應用。在球幕投影中，如果使用廠家提供的標準鏡（全視場角一般在60°以內(nèi)），就需要采購多臺投影機通過拼接融合技術來實現(xiàn)，裝調(diào)過程復雜，成本高，占用空間大。本文提供一臺投影機和一只魚眼鏡頭的單機投影方案。目前相關文獻[1-5]中還沒有研究4k分辨率魚眼投影鏡頭設計方法的文章，國內(nèi)市場上可提供的魚眼投影鏡頭也無法達到投影機4k分辨率的使用需求，國外的魚眼鏡頭售價高，在供貨時間和售后服務方面也無法做到快速響應。本文針對目前市場上應用相對廣泛的0.66英寸（14.61 mm×8.21 mm）4k分辨率投影機設計了一款魚眼鏡頭，為高質量、低成本、小型化的球幕或曲面幕投影工程提供了可行性方案。設計的鏡頭分辨率從2k 提升至4k，意味著鏡頭可分辨的每毫米的線對數(shù)增加至原來的2倍。為了與小型機器匹配，其口徑需要控制在較小的范圍內(nèi)，同時為了不損失過多的透過率，鏡片數(shù)量也不宜過多，因此在自由度比較有限的情況下，鏡頭分辨率的大幅度提升成為本文要解決的技術難點。

1 設計思想及設計指標

單機魚眼鏡頭的投影方案是，鏡頭位于半球形銀幕的球心附近，投出的畫面應覆蓋整個半球幕。

本文選取BenQLK970 這款機型，其芯片尺寸為0.66英寸（14.61 mm×8.21 mm），分辨率為3 840×2 160 pixel。

芯片的像素尺寸為14.61/3840=3.80 μm，鏡頭的MTF 需高于 (3 840/2)/14.61=131 lp/mm處的值。鏡頭的設計指標如表1所示。

表1 鏡頭參數(shù)Table1 Lens parameters

鏡頭采用等距投影[6]的映射原則，即：

式中：k是常系數(shù)，由設計者按預期的畸變量給出，0＜k＜1，且k值越小，魚眼鏡頭引入的“桶形畸變”數(shù)值越大。相應的像方視場角ω'越小，則像面照度均勻性越好。但是畸變過大會引起嚴重的變形，影響觀看效果，故k值應合理選取。本結構選取的k值為0.921，可得系統(tǒng)的初始焦距：

2 設計過程和結果

2.1 初始結構的選取

投影鏡頭實際上相當于倒置的照相鏡頭，通常要采用物像顛倒的方式設計。由于投影機內(nèi)部存在棱鏡系統(tǒng)[7]及其封裝結構，投影鏡頭需要具有長的后工作距，本系統(tǒng)中后工作距相當于焦距的10倍以上。故該鏡頭屬于長后工作距、大視場角光學系統(tǒng)，符合反遠距結構形式的特點，原理如圖1所示。反遠距結構由具有負光焦度的前組和具有正光焦度的后組組成，兩者相隔一定距離。這種結構使像方主面向系統(tǒng)的后方移動，可得到比焦距更大的后工作距，兩組的間隔越大，像方主面向后移動的距離越大，鏡頭的后工作距越長[8]。常規(guī)的反遠距結構中反遠比（后工作距與焦距之比）通常小于1.5:1，而本系統(tǒng)的反遠比達到了13:1，需要對現(xiàn)有系統(tǒng)進行較大的改進。

圖1 反遠距結構原理圖Fig.1 Schematic of inverted-telephoto structure

圖1中φ1,φ2分別為前后組的光焦度，ω2為后組視場角，d為兩組主面之間的距離。若光欄設置在φ2處，并設定如下條件，即：

由此可得反遠距結構的高斯光學關系式[9]如下：

系統(tǒng)的后截距為

后組投影物鏡的放大倍率為

式中，?l2=d?f1。后組光焦度為

前組主光線角放大率為

光學系統(tǒng)視場角為

系統(tǒng)總焦距為

系統(tǒng)總長（物方起第一片透鏡至像面的距離）為

由（2）式和（5）式可知，γ1的減小有利于視場角和后工作距的增大，γ1與l′、h2互為倒數(shù)，因此可首先確定γ1，即可確定l′、h2。另外，由（8）式知，d的大小直接影響著整個系統(tǒng)的體積，如要壓縮鏡頭長度，則需減小兩組間距d。由（2）式知，若φ1絕對值增大，會導致φ2增大，使偏角增大，這樣又會引起與孔徑相關的像差的高次量迅速增大。為減小此類像差高次量，就需要分散光焦度，增加透鏡片數(shù)，使結構復雜化。反之，若要減小系統(tǒng)復雜化程度，則需減小φ1，增大間距d，導致系統(tǒng)總長增加，故d、φ1和γ1之間存在著相互制約的關系。因此在確定γ1值后，要從系統(tǒng)的體積、復雜化程度的角度綜合考慮，選擇合理的d、φ1值[10]。

反遠距結構中，由于前組負擔了很大的視場，會產(chǎn)生大量的球差、彗差、畸變，因此需要將前組復雜化，可加入正透鏡抵消前面負透鏡產(chǎn)生的球差、彗差，也可構造雙膠合透鏡，對像差特別是高級像差的校正極為有利。后組是一個大孔徑、小視場的光學系統(tǒng)，為了對前組的剩余像差，尤其是垂軸像差SII、SV、CII給予補償，多采用正透鏡和雙膠合透鏡組合的形式。

前面所提到的投影機內(nèi)部棱鏡，可將其展開成等效的平行平板，已知平行平板在任何情況下不發(fā)生場曲，在非平行光路中，當孔徑角u1較大時，產(chǎn)生較大的球差和位置色差；當視場角u2較大時，產(chǎn)生較大的像散、畸變和倍率色差。在棱鏡尺寸較大的情況下，其對像差的影響將更加顯著，故設計時需將棱鏡尺寸加入光學系統(tǒng)。平行平板引起的初級像差[8]如下：

1） 球差

2） 彗差

3） 像散

4） 匹茲伐爾場曲

5） 畸變

6） 位置色差

7） 倍率色差

首先，在專利庫中選取了一個魚眼鏡頭結構，如圖2所示。該結構包括8片玻璃透鏡，視場角為180°，F(xiàn)#=2.8，后工作距與焦距之比僅為2.32:1。

圖2 初始光學結構Fig.2 Initial optical structure

2.2 對初始結構的改造及優(yōu)化

初始結構中有大量光束溢出，只有0.5視場內(nèi)的光束能夠通過鏡頭，故首先通過調(diào)節(jié)敏感面曲率半徑、空氣間隔、鏡片厚度，確保175°視場內(nèi)的光線全部通過鏡頭并到達像面。按照焦距對結構進行縮放，此時，后工作距與需求相差甚遠，初始結構中前后組之間的間距很小，通過前面的分析可知，為了加大后工作距離，可增加二者的間距。另外，將初始F#2.8 改為F#2.2，增大孔徑給像差校正帶來了更高的難度。

為確保鏡頭可以裝入小型投影機艙內(nèi)，鏡頭的前后口徑必須嚴格控制，經(jīng)測試口徑不應超過95 mm。因此將首片冕牌玻璃替換為具有高折射率的重火石玻璃H-ZF52A，大幅壓縮首片透鏡的口徑。減小后組的口徑，即減小前組的像方視場角。對前組的第二近軸光線應用薄透鏡物像公式確定：

由于物方視場角不變，則dφ1增大時ω1′減小，有利于減小后組口徑，當光欄置于前組的前焦點附近時，ω1′≈0，后組尺寸將得到最大限度的減小。

對于這種視場角極大的光學系統(tǒng)，第一片透鏡需要采用光焦度較大的彎月形負透鏡，光線在入射面會產(chǎn)生顯著的初級像差，以及急劇增大高級像散和高級倍率色差，且初始結構中第二面已接近半圓，不易于加工。為了分擔首片負透鏡的光焦度，以減輕第二面的彎曲程度，同時也為了減小像差，特別是減小SⅡ、SⅤ，將第二片透鏡改為具有更大負光焦度的雙凹面的負透鏡，為后面的凸透鏡添加一個與之膠合的負透鏡。這樣前組共有兩對雙膠合透鏡，可對前面負透鏡所造成的像差進行一定的彌補，同時也降低了元件的位置敏感度。負透鏡采用色散系數(shù)極高的H-FK61，對色差的校正起到了很好的效果。正透鏡的選料原則[11]是采用折射率大、色散系數(shù)低的玻璃。由于角放大率較大，可以適當減小正透鏡的折射率，因此雙膠合結構中正透鏡采用火石玻璃F5。

后組結構由一組雙膠合透鏡和一個雙凸正透鏡組成。前組做出一系列復雜的變形后近似校正了CⅠ，其他像差也進一步減小，但仍有一部分殘留像差，特別是SⅡ、SⅤ、CⅡ，需要后組來彌補。近年來出現(xiàn)了一些新的光學材料，光學性能得到不斷的突破，適當?shù)夭捎眠@些高性能玻璃，在像差校正上可以取得很好的效果，從而起到減少鏡片數(shù)量，提高孔徑的作用。后組中，負透鏡采用了具有大折射率、中色散的H-ZLAF3，正透鏡則采用了具有低折射率、低色散的H-FK61。

關于照度的處理，在常規(guī)系統(tǒng)中照度[12]計算公式為

但魚眼鏡頭存在著大量的光欄球差和光欄彗差，對于邊緣視場和中心視場而言，其入瞳無論在位置還是口徑上都存在相當大的差異，故該規(guī)律已不適用于魚眼鏡頭這類成像系統(tǒng)。為此，《魚眼鏡頭光學》針對超廣角鏡頭的照度進行了分析，并給出了相對照度公式[6]：

式中：Ka為軸外斜光束截面積與軸上點光束截面積之比。故引入像差漸暈[6，13]提高Ka是改善邊緣視場照度的有效辦法。充分利用像差漸暈的前提條件就是保證軸外物點的實際成像光束剛好充滿孔徑光闌，即提高光欄彗差，除了減小第一面的曲率半徑，還可通過減小前組的角放大率來實現(xiàn)，有效途徑是提高負透鏡材料的折射率和增大正透鏡的厚度[14]。另外，根據(jù)前面分析可知，引入一定量的桶形畸變，減小像方視場角ω′，也是提高像面照度均勻度的重要途徑。文獻[15]提出了新的結論，要提高像面相對照度，應在第一光學面與軸外視場入射主光線的交點處使第一光學面的法線和主光線的夾角足夠小，即可以通過調(diào)整第一面的面形和主光線入射高度實現(xiàn)夾角的減小，達到提高相對照度的目的，實質上也是通過減小第一面的曲率半徑來提高相對照度。本結構中首片透鏡采用了具有極大彎曲程度的凹透鏡，且采用了高折射率材料H-zf52A，考慮到成本及色差校正，后續(xù)的凹透鏡也采用了具有較大折射率和中色散或低色散的材料，包括重冕玻璃和鑭火石玻璃，適當增加了正透鏡的厚度。這種結構產(chǎn)生了大量的光欄彗差，增加了軸外像點的照度，提高了像面照度均勻性。

2.3 設計結果及像質評價

圖3 最終光學結構Fig.3 Final optical structure

圖4 點列圖Fig.4 Spot diagram

圖5 場曲和畸變Fig.5 Field curvature and distortion

最終的光學結構如圖3所示。鏡頭由9片透鏡組成，每片透鏡都易于加工，且最大口徑為91 mm，總長223 mm，外形尺寸符合裝配要求。點列圖如圖4所示，可見各視場的像元尺寸均小于投影機DMD的單像素尺寸3.805 μm，其中最大光斑均方根尺寸為3.514 μm。從圖5所示的場曲和畸變曲線可以看出，場曲、像散、畸變均控制在合理范圍內(nèi)。從系統(tǒng)色差圖6可看出，倍率色差在0.6視場最大，為1.83 μm，小于1/2 pixel。作為綜合性像質評價的傳遞函數(shù)如圖7所示。由圖7可看出，在奈奎斯特頻率131 lp/mm處，1.0視場MTF值達到0.3，其余視場均達到0.42 以上，符合設計要求。相對照度如圖8所示，可看出邊緣視場相對照度達到67%。圖9為實際鏡頭外觀圖。

圖6 橫向色差Fig.6 Lateral chromatic aberration

圖7 光學傳遞函數(shù)Fig.7 Optical transfer function

圖8 相對照度Fig.8 Relative illumination

圖9 鏡頭外觀Fig.9 Lens appearance

3 公差分析

如果一個系統(tǒng)像差校正很到位，但是對個別參數(shù)公差的靈敏度卻極高，顯然也不能稱其為好的設計，故公差分析是十分必要的。本文設置的參數(shù)允差是，半徑光圈：3；厚度間隔：±0.03 mm；元件傾斜：±0.03°；元件偏心：±0.03 mm；折射率：0.001；阿貝數(shù)：1%。運行模式為靈敏度分析，以RMS 均方根半徑作為評價標準。對系統(tǒng)影響最大的10項公差分析結果如表2所示。由表2可知，光欄后膠合面的偏心對整個公差的影響最大，然后是雙膠合件中負透鏡材料的色散系數(shù)，再次是最后一片透鏡第一面的偏心，最后是光欄前最后一片凸透鏡材料的色散系數(shù)。因此，在購買材料，鏡頭加工與裝配過程中，需要對以上幾項公差進行控制。

表2 對系統(tǒng)影響最大的10項公差Table2 Ten worst tolerances for system

蒙特卡羅計算結果如圖10所示。由圖10可知，最好結果為0.003 2，最差結果為0.003 6，平均結果為0.003 4，可見該設計為加工裝配的誤差預留了足夠的空間，具有較好的工藝性。

圖10 蒙特卡羅計算結果Fig.10 Mont Carlo calculation results

4 結論

本文為0.66英寸4k分辨率的小型投影機設計了一款小口徑高分辨率的魚眼投影鏡頭，給出了校正像差，提高反遠比，壓縮鏡頭口徑，提高像面照度均勻度的方法。為了與機型相匹配，設計的鏡頭反遠比達到13:1，口徑為91 mm，像元尺寸控制在3.8 μm 以內(nèi)，在奈奎斯特頻率131 lp/mm處，1.0視場MTF值達到0.3，其余視場均達到0.42 以上。鏡頭僅由9片球面玻璃透鏡組成，均采用成都光明公司的常規(guī)玻璃，且面形易于加工。蒙特卡羅分析結果顯示，該鏡頭對各項參數(shù)的公差要求適中，可進行批量生產(chǎn)。