一階倒立擺平衡系統(tǒng)的控制方法研究

何思瑤 韋雪 樊雨琰 楊佩

摘要：一階倒立擺平衡系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的、多輸入多輸出的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，一階倒立擺的控制方法有多種不同的類型，不管是在理論還是算法上，研究此類典型倒立擺被控對(duì)象都有很重要的意義。本文對(duì)一階倒立擺平衡控制系統(tǒng)中常用的PID控制方法進(jìn)行了研究，并比較了PID算法參數(shù)整定中經(jīng)驗(yàn)湊試法、專家控制法、粒子群算法、遺傳算法等不同方法的特點(diǎn)和優(yōu)劣，研究?jī)?nèi)容對(duì)工程設(shè)計(jì)具有一定的借鑒作用。

關(guān)鍵詞：一階倒立擺;平衡系統(tǒng);控制方法;PID算法

中圖分類號(hào)：TP311? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2020）23-0020-03

1 引言

平時(shí)常見(jiàn)的頭頂木樁雜技表演，需要雜技演員將一根長(zhǎng)長(zhǎng)的木樁頂在頭頂，并保持木樁豎直不倒，該雜技在實(shí)質(zhì)上可認(rèn)為是一個(gè)一階倒立擺平衡系統(tǒng)。其中，木樁是不穩(wěn)定的非線性被控對(duì)象，完全可以通過(guò)一些數(shù)學(xué)上的控制算法令其保持豎直不倒的平衡狀態(tài)。這個(gè)雜技表演揭示出了自然界的一種基本規(guī)律，即當(dāng)將頭頂木樁雜技表演歸納為一個(gè)一階倒立擺模型后，就可以通過(guò)數(shù)學(xué)方法同樣實(shí)現(xiàn)雜技的表演的平衡效果。

一個(gè)一階倒立擺平衡系統(tǒng)中包含兩個(gè)系統(tǒng)平衡位置，一個(gè)是倒立擺立起保持豎直不倒時(shí)的不穩(wěn)定平衡位置，另一個(gè)是倒立擺未施加任何控制力，處于下垂而保持不動(dòng)的穩(wěn)定平衡位置。在對(duì)一階倒立擺進(jìn)行平衡控制時(shí)，需要兩個(gè)階段，一個(gè)是施加控制力令倒立擺擺動(dòng)起來(lái)以達(dá)到豎直平衡位置，另一個(gè)是在豎直位置施加控制力進(jìn)一步地保持倒立擺平衡。目前，在這兩個(gè)控制階段的研究方面，已比較成熟，有很多相關(guān)論文可以查閱。這些成果基本均采用不同的控制策略和數(shù)學(xué)算法，實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺兩個(gè)控制階段的穩(wěn)定控制。

2 倒立擺介紹以及應(yīng)用

從20世紀(jì)60年代起，倒立擺平衡系統(tǒng)的研究工作就已經(jīng)開(kāi)始了。一階倒立擺平衡系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的、多輸入多輸出的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，該系統(tǒng)可以為控制方面的理論教學(xué)及相關(guān)課程實(shí)驗(yàn)提供一個(gè)理想且經(jīng)典的研究驗(yàn)證平臺(tái)，并通過(guò)該平臺(tái)建立的模型來(lái)驗(yàn)證不同控制理論或算法的正確性和有效性，從而由倒立擺平衡系統(tǒng)的實(shí)例進(jìn)一步在控制系統(tǒng)的非線性計(jì)算、穩(wěn)定性分析、魯棒性衡量、跟蹤控制和隨動(dòng)控制等方面的問(wèn)題進(jìn)行深入研究。

一階倒立擺平衡系統(tǒng)不但具有很好的理論研究?jī)r(jià)值，而且還具有重要的工程實(shí)用價(jià)值。對(duì)一階倒立擺平衡系統(tǒng)平衡控制的研究不但能夠解決控制領(lǐng)域中一些具有共性的理論問(wèn)題和技術(shù)問(wèn)題，還能夠進(jìn)一步地推動(dòng)數(shù)學(xué)算法、力學(xué)理論和計(jì)算機(jī)技術(shù)的融合，令這些學(xué)科在交叉中創(chuàng)新以解決控制中的實(shí)際問(wèn)題。因此，無(wú)論在理論研究方面，還是在工程實(shí)用方面，一階倒立擺平衡系統(tǒng)都能夠提供一個(gè)十分有價(jià)值且經(jīng)典的研究應(yīng)用平臺(tái)，它對(duì)于學(xué)生實(shí)驗(yàn)和研究人員教研具有較好的啟發(fā)作用，是檢驗(yàn)不同控制理論與算法的理想實(shí)驗(yàn)對(duì)象。對(duì)于控制方法在工程實(shí)際中的應(yīng)用而言，一階倒立擺平衡系統(tǒng)同樣可以提供一個(gè)切實(shí)可行的驗(yàn)證對(duì)象，通過(guò)將已有的各類控制理論方法應(yīng)用于該對(duì)象，可以有效檢驗(yàn)工程應(yīng)用的可行性和正確性，從而實(shí)現(xiàn)理論與實(shí)踐的統(tǒng)一和相互驗(yàn)證，降低工程應(yīng)用驗(yàn)證的復(fù)雜度和成本。目前，倒立擺平衡系統(tǒng)的各種相關(guān)研究已引發(fā)的國(guó)內(nèi)外控制研究機(jī)構(gòu)的廣泛關(guān)注，研究人員通過(guò)對(duì)倒立擺平衡系統(tǒng)進(jìn)行平衡控制實(shí)驗(yàn)，來(lái)實(shí)驗(yàn)和檢測(cè)各種新型控制算法的控制穩(wěn)定性和控制效率，并通過(guò)比較不同控制方法之間的優(yōu)劣，找到適合工程實(shí)際的最佳控制方法，因此倒立擺平衡系統(tǒng)已是控制研究領(lǐng)域最為熱門的研究方向。

一階倒立擺平衡系統(tǒng)也常被用于控制實(shí)驗(yàn)教學(xué)，它不但提供了可供實(shí)際操作的實(shí)踐教學(xué)平臺(tái)，也是將相關(guān)控制算法應(yīng)用于實(shí)際的理論驗(yàn)證平臺(tái)。在這個(gè)實(shí)踐平臺(tái)上，其實(shí)驗(yàn)的對(duì)象——一階倒立擺是一個(gè)非線性、多變量、多擾動(dòng)、強(qiáng)耦合的復(fù)雜不穩(wěn)定系統(tǒng)。通過(guò)對(duì)這個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行深入研究，不但能夠?qū)崿F(xiàn)和驗(yàn)證已有經(jīng)典控制理論的控制效果，還能夠在現(xiàn)有控制理論的基礎(chǔ)上進(jìn)一步開(kāi)發(fā)和創(chuàng)造新型控制理論和算法，以實(shí)現(xiàn)更高效和更穩(wěn)定的控制效果，并將這些新的控制方法應(yīng)用于諸如航天、鉆井平臺(tái)、機(jī)器人、無(wú)人控制等更復(fù)雜的實(shí)踐領(lǐng)域。自20個(gè)世紀(jì)九十年代以來(lái)，新的控制方法不斷出現(xiàn)，每年倒立擺控制相關(guān)方面的創(chuàng)新研究成果大量出現(xiàn)在理論研究刊物上，新型的控制設(shè)備也層出不窮，由此可見(jiàn)，倒立擺平衡系統(tǒng)無(wú)論對(duì)于控制理論研究，還是對(duì)于實(shí)際工程應(yīng)用，都具有良好的研究?jī)r(jià)值，是一種理想的控制研究對(duì)象。

在工程實(shí)踐方面，倒立擺控制方法主要被應(yīng)用于以下幾個(gè)領(lǐng)域。

（1）雙足仿人機(jī)器人的直立行走和平衡控制，類似于雙擺倒立擺平衡系統(tǒng)。仿人機(jī)器人雖然早在20世紀(jì)50年代就已經(jīng)開(kāi)始被研究，但其直立平衡行走和穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵控制問(wèn)題依然未能得到很好的解決。

（2）火箭在發(fā)射之后，必須保持直立向上的飛行姿態(tài)，這就需要使用類似于一階倒立擺平衡系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制方法，對(duì)其進(jìn)行姿態(tài)控制，以保證火箭具有穩(wěn)定準(zhǔn)確的飛行方向和狀態(tài)。

（3）地球軌道上的通信衛(wèi)星在近地軌道運(yùn)行時(shí)，必須保持和地球具有固定的角度姿態(tài)，這也需要使用類似于一階倒立擺平衡系統(tǒng)的控制方法，持續(xù)實(shí)時(shí)調(diào)整衛(wèi)星的運(yùn)行姿態(tài)，從而令通信衛(wèi)星始終保持指向地球的方向，以保證良好的通信效果。

（4）各類運(yùn)動(dòng)型攝像機(jī)在拍攝照片時(shí)，必須能夠克服拍攝設(shè)備在運(yùn)動(dòng)時(shí)的抖動(dòng)，以保證清晰穩(wěn)定的拍攝效果。為此也需要使用類似于一階倒立擺平衡系統(tǒng)的控制方法，來(lái)保持拍攝云臺(tái)姿態(tài)的穩(wěn)定，有效消除攝像機(jī)的震顫和抖動(dòng)，以在最大程度上提高運(yùn)動(dòng)攝像機(jī)拍攝圖像的質(zhì)量。

由于對(duì)于上述實(shí)際領(lǐng)域相關(guān)的控制問(wèn)題都可以利用一階倒立擺實(shí)驗(yàn)平臺(tái)來(lái)進(jìn)行模擬研究，因此一階倒立擺平衡控制系統(tǒng)在諸多工程應(yīng)用和理論研究領(lǐng)域都具有重要的實(shí)際意義。

3 一階倒立擺平衡系統(tǒng)的物理模型

一個(gè)一階倒立擺平衡控制系統(tǒng)的物理模型如圖1所示。該模型由一個(gè)具有一定長(zhǎng)度的平滑軌道、一個(gè)可在平滑軌道上往復(fù)運(yùn)行的滑塊和一個(gè)與滑塊鉸接的具有一定長(zhǎng)度的直桿組成，其中滑塊上的直桿可以實(shí)現(xiàn)豎直平面內(nèi)360度的自由擺動(dòng)。為了能夠讓滑塊上的直桿通過(guò)擺動(dòng)達(dá)到最終豎直向上的平衡姿態(tài)效果，就需要給滑塊施加一個(gè)實(shí)時(shí)變化的驅(qū)動(dòng)力F，以令滑塊能夠在該驅(qū)動(dòng)力的控制作用下運(yùn)動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)擺桿起擺，并保持豎直平衡的穩(wěn)定控制效果。

在上述物理模型中，需要控制的物理量包括：直桿與豎直方向的夾角，滑塊在導(dǎo)軌上的運(yùn)動(dòng)距離，直桿與滑塊鏈接點(diǎn)的位置變化。

事實(shí)上，令直桿與豎直方向所成角度保持在一個(gè)較小范圍之內(nèi)變化，是一階倒立擺保持?jǐn)[桿穩(wěn)定處于豎直狀態(tài)的前提條件。當(dāng)直桿能夠保持豎直穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，該夾角必須小于5度。

4 一階倒立擺平衡系統(tǒng)的控制方法

倒立擺的控制方法存在很多種類型。不管在工程上，還是在理論上，研究此類典型倒立擺被控對(duì)象都具有很重要的意義。當(dāng)?shù)沽[系統(tǒng)的擺桿個(gè)數(shù)增加時(shí)，控制的難度也會(huì)成級(jí)數(shù)倍的增加。為了能夠控制更復(fù)雜的被控對(duì)象，實(shí)現(xiàn)多階倒立擺的穩(wěn)定控制，就必須不斷改進(jìn)已有控制方法，甚至發(fā)明創(chuàng)造新的理論方法來(lái)達(dá)到提高控制能力的目的。在這方面，多階倒立擺平衡控制模型可以提供驗(yàn)證復(fù)雜控制方法有效性的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，為復(fù)雜控制理論研究給出明確的前進(jìn)方向。

目前，按照倒立擺控制方法的難易程度，可將他們分為以下兩種類型[1]。

（1）線性控制方法

倒立擺平衡系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，直接計(jì)算求解該非線性系統(tǒng)的難度比較大，故可以先將倒立擺原有的非線性物理模型簡(jiǎn)化近似處理，使其在控制平衡點(diǎn)附近變?yōu)榫€性模型，然后再利用已有的各種處理線性模型的控制理論方法對(duì)其求解，從而得到滿意的控制結(jié)果。在線性控制方法中，PID控制方法、狀態(tài)反饋控制方法、能量控制方法和線性二次調(diào)節(jié)器方法都是常用的成熟控制方法。

（2）變結(jié)構(gòu)控制方法和預(yù)測(cè)控制方法

變結(jié)構(gòu)控制方法是一種非連續(xù)控制方法，該方法可將受控對(duì)象從任意位置上變化到滑動(dòng)曲面上，并通過(guò)消除系統(tǒng)震顫的處理手段，來(lái)保證控制方法的穩(wěn)定性和魯棒性。預(yù)測(cè)控制方法是一種優(yōu)化控制方法，該方法的主要處理對(duì)象不是控制模型的自身結(jié)構(gòu)，而是具體控制功能的優(yōu)化實(shí)現(xiàn)。

上述控制方法雖然對(duì)于理想狀態(tài)下的復(fù)雜非線性系統(tǒng)具有較好的控制效果，但這些方法控制過(guò)程復(fù)雜，控制成本高且控制效率較低，故對(duì)于需要實(shí)時(shí)控制的快速變化實(shí)變系統(tǒng)而言，卻不是最佳選擇。

5 PID參數(shù)整定方法對(duì)比研究

PID控制方法是目前在工程實(shí)踐中被應(yīng)用的最多的經(jīng)典控制方法，該方法中的比例（P）、積分（I）和微分（D）三個(gè)參數(shù)的優(yōu)化計(jì)算是整個(gè)控制過(guò)程中的關(guān)鍵問(wèn)題，能否找到這三個(gè)參數(shù)合理的參數(shù)值將直接關(guān)系到最終控制效果的好壞。另外，控制器運(yùn)行的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和控制速度也與這三個(gè)參數(shù)有著密切的關(guān)系。

PID控制方法在20世紀(jì)50年代起就開(kāi)始被應(yīng)用，雖然之后各種類型的自動(dòng)控制方法得到了較為廣泛和深入的研究，新的控制算法也不斷涌現(xiàn)出來(lái)，但PID方法卻因其較強(qiáng)的實(shí)用性和穩(wěn)定性，始終是工程實(shí)際中被應(yīng)用的最多和最廣泛的控制方法。PID控制方法在應(yīng)用中的一大優(yōu)勢(shì)是，其在使用時(shí)不需要建立被控對(duì)象精確的物理模型，僅需要調(diào)整好P、I、D三個(gè)參數(shù)值，就可以得到較為理想的控制效果[2]。下面將對(duì)幾種常用的PID參數(shù)整定方法進(jìn)行對(duì)比研究。

（1）公式計(jì)算法

PID控制方法中的比例（P）、積分（I）和微分（D）三個(gè)參數(shù)與系統(tǒng)輸入和輸出之間的公式關(guān)系為：

當(dāng)使用公式計(jì)算法時(shí)，需要先調(diào)節(jié)比例系數(shù)，讓系統(tǒng)輸出在某個(gè)比例系數(shù)的作用下產(chǎn)生周期性震蕩的結(jié)果，然后再按照當(dāng)前震蕩周期和比例度與P、I、D三個(gè)參數(shù)之間的計(jì)算關(guān)系，得到最后的整定參數(shù)值。

（2）經(jīng)驗(yàn)試湊法

使用經(jīng)驗(yàn)試湊法時(shí)，需要先將P、I、D三個(gè)參數(shù)設(shè)定在某個(gè)經(jīng)驗(yàn)值上，然后給系統(tǒng)施加擾動(dòng)并不斷改變P、I、D參數(shù)的設(shè)定值，通過(guò)記錄下被控量在不同情況下的變化過(guò)程曲線，可以最終確定出P、I、D參數(shù)的整定值。

經(jīng)驗(yàn)試湊法確定P、I、D參數(shù)的過(guò)程包含兩種不同的步驟順序：第一種以比例作用作為控制的基礎(chǔ)，在參數(shù)整定過(guò)程中需要先試湊比例度，當(dāng)調(diào)節(jié)好的比例度能夠令輸出保持穩(wěn)定震蕩之后，再加入積分系數(shù)調(diào)節(jié)環(huán)節(jié)，來(lái)消除控制系統(tǒng)中的靜差，如果控制效果仍不夠理想的話，最后再加入微分系數(shù)調(diào)節(jié)環(huán)節(jié)，以提高控制系統(tǒng)的最終實(shí)時(shí)控制效果。第二種以積分作用作為控制的基礎(chǔ)，在參數(shù)整定過(guò)程中需要先試湊積分時(shí)間，然后按照由大到小的方式不斷試湊與該積分時(shí)間匹配的比例度，以獲得符合要求的系統(tǒng)輸出變化結(jié)果。

（3）專家控制法

專家控制法利用包含著大量規(guī)律和經(jīng)驗(yàn)的專家系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)P、I、D參數(shù)的整定效果，該專家系統(tǒng)是一類包含著知識(shí)和推理的智能計(jì)算機(jī)程序，它能夠利用人們?cè)诠こ虒?shí)踐中獲得的大量寶貴經(jīng)驗(yàn)來(lái)提供P、I、D參數(shù)的整定值。

專家控制法通過(guò)已得到的控制規(guī)律和控制經(jīng)驗(yàn)，以智能化的方式將PID參數(shù)的整定過(guò)程與專家系統(tǒng)中的控制規(guī)律進(jìn)行匹配，并最終根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)得到最佳或最符合當(dāng)前實(shí)際情況的PID整定參數(shù)。專家系統(tǒng)的建立是一個(gè)長(zhǎng)期的自主學(xué)習(xí)的過(guò)程，它具有仿人智能化控制的特征和功能。隨著工程經(jīng)驗(yàn)的增加和大數(shù)據(jù)技術(shù)的成熟，越來(lái)越豐富的專家經(jīng)驗(yàn)被添加到專家系統(tǒng)庫(kù)中，用該方法進(jìn)行PID參數(shù)整定也越來(lái)越具有簡(jiǎn)單實(shí)用的效果。需要說(shuō)明的是，與任何專家計(jì)算系統(tǒng)的應(yīng)用方式相同，專家控制法的應(yīng)用過(guò)程也由知識(shí)庫(kù)、推理機(jī)、匹配識(shí)別和結(jié)果判定等部分組成。

（4）粒子群算法

1995年，Kennedy和Eberhart等人提出了一種新的數(shù)值演化算法——粒子群算法[3]。該方法通過(guò)模擬鳥(niǎo)群在覓食和遷徙過(guò)程中個(gè)體、群落和環(huán)境之間的關(guān)系，來(lái)得到最后的最佳計(jì)算結(jié)果。粒子群算法目前已被廣泛應(yīng)用于優(yōu)化算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、模糊控制算法中的學(xué)習(xí)訓(xùn)練環(huán)節(jié)。它與大部分的演化算法相同，都要基于群體演化過(guò)程進(jìn)行迭代計(jì)算，計(jì)算時(shí)單個(gè)粒子在解集空間內(nèi)不斷迭代尋找最優(yōu)值，使得所有參數(shù)或變量集體向著最優(yōu)方向進(jìn)行演化。

（5）遺傳算法

遺傳算法是一種優(yōu)化計(jì)算方法，它由美國(guó)密歇根大學(xué)的J.Holland教授于1975年首次提出，該優(yōu)化計(jì)算方法通過(guò)模擬自然界中染色體的選擇和進(jìn)化過(guò)程來(lái)完成最優(yōu)解的搜索任務(wù)。由于染色體的選擇和進(jìn)化過(guò)程是以達(dá)爾文進(jìn)化論中的自然選擇和遺傳學(xué)說(shuō)作為理論基礎(chǔ)的，故這種優(yōu)化算法被稱為遺傳算法[4]。

遺傳算法不需要進(jìn)行優(yōu)化梯度計(jì)算即可進(jìn)行全局尋優(yōu)，故它適用于各類復(fù)雜非線性優(yōu)化問(wèn)題的求解場(chǎng)合，并具有良好的適應(yīng)性和魯棒性[5]。由于該算法全局尋優(yōu)過(guò)程中花費(fèi)的時(shí)間成本較高，故其主要缺點(diǎn)是優(yōu)化效率較低，但隨著計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間和計(jì)算速度的提高，該缺點(diǎn)已不再成為主要問(wèn)題。

當(dāng)使用遺傳算法進(jìn)行PID參數(shù)整定時(shí)，基于遺傳算法的應(yīng)用步驟，需要先將P、I、D三個(gè)參數(shù)變?yōu)樗惴ㄖ械娜旧w變量，并將控制目標(biāo)設(shè)定為遺傳算法中相應(yīng)的進(jìn)化適應(yīng)度，通過(guò)遺傳算法的全局尋優(yōu)計(jì)算，最終可以得到最佳的控制參數(shù)整定值。由于遺傳算法不需要系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型的梯度信息，只需根據(jù)遺傳規(guī)律進(jìn)行進(jìn)化尋優(yōu)，故該方法非常適用于一階倒立擺這樣復(fù)雜非線性系統(tǒng)的PID參數(shù)整定過(guò)程。

6 結(jié)論

一階倒立擺的控制方法有很多種，不管在工程上，還是在理論上，研究此類典型倒立擺的控制方法都具有十分重要的意義。本文對(duì)常被用于一階倒立擺平衡控制系統(tǒng)中的PID控制方法進(jìn)行了研究，并對(duì)其應(yīng)用于一階倒立擺平衡系統(tǒng)時(shí)的各種參數(shù)整定方法進(jìn)行了對(duì)比，本文研究?jī)?nèi)容對(duì)一階倒立擺平衡系統(tǒng)的研制具有較好的工程指導(dǎo)作用。

參考文獻(xiàn)：

[1] 薛安客， 王俊宏. 倒立擺控制仿真與實(shí)驗(yàn)研究現(xiàn)狀[J]. 杭州電子工業(yè)學(xué)院學(xué)學(xué)報(bào)， 2002， 21（6）： 25-27.

[2] 蔣尉孫， 俞金壽. 過(guò)程與控制[M]. 北京： 北京化學(xué)工業(yè)出版社， 1992.

[3] 王介生， 王金城， 王偉. 基于粒子群算法的PID控制器參數(shù)自整定[J]. 控制與決策， 2005， 20（1）： 73-76， 81.

[4] 徐征. 基于遺傳算法的PID控制器參數(shù)尋優(yōu)方法的研究[D]. 武漢： 武漢大學(xué)， 2004.

[5] 金傳偉.基于遺傳算法的PID參數(shù)優(yōu)化與仿真[J].微計(jì)算機(jī)信息，2002，18（7）：72-73.

【通聯(lián)編輯：梁書】