考慮繁忙率的多時(shí)段救護(hù)車優(yōu)化布局研究

李 瑞， 蘇 強(qiáng)， 祝延宏， 王 謙

（1.同濟(jì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海200092；2.上海市第一人民醫(yī)院，上海200080；3.中國人民解放軍第二軍醫(yī)大學(xué) 第三附屬醫(yī)院，上海200433）

0 引言

院前急救是現(xiàn)代急診醫(yī)療體系中重要的一環(huán)，它包含從突發(fā)事件起病人撥打急救電話，120指揮中心委派救護(hù)車輛，相應(yīng)醫(yī)護(hù)人員抵達(dá)現(xiàn)場進(jìn)行救治，以及必要時(shí)將病人轉(zhuǎn)運(yùn)至醫(yī)院急診室進(jìn)行進(jìn)一步搶救的整個(gè)過程。它與院內(nèi)急診科、重癥監(jiān)護(hù)室等相關(guān)醫(yī)療科室共同組成急診醫(yī)療服務(wù)體系，是城市應(yīng)急保障體系的重要組成部分。時(shí)間性、多樣性、不可預(yù)見性是院前急救的鮮明特點(diǎn)，救護(hù)車作為院前急救中不可或缺的重要角色，更是承擔(dān)著對時(shí)間分秒必爭的重任。

據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)［1］報(bào)道，重癥急救患者中，僅不到10%的人是由于原發(fā)疾病致死，更多的是由于等待救援時(shí)間過長引發(fā)更為嚴(yán)重的并發(fā)癥，最終導(dǎo)致死亡。合理的救護(hù)車布局方案可以保證在有效時(shí)間內(nèi)響應(yīng)更多的急救需求，達(dá)到一定的服務(wù)水平，有助于建設(shè)高效、完善的院前急救服務(wù)體系。

對救護(hù)車布局問題的研究最早可以追溯到上世紀(jì)70年代，在早期的研究中，最經(jīng)典的兩個(gè)模型分別是Toregas［2］提出的LSCP（Location Set Covering Problem）模型和由Church與Revelle［3］提出的MCLP（Maximal Covering Location Problem）模型。其中LSCP模型考慮在覆蓋所有需求點(diǎn)的情況下最小化所需救護(hù)車數(shù)量，MCLP模型則考慮在救護(hù)車數(shù)恒定的情況下最大化覆蓋需求量。但這兩個(gè)經(jīng)典模型均只考慮了需求點(diǎn)被一次覆蓋的情況，這導(dǎo)致如果一輛救護(hù)車覆蓋的區(qū)域同時(shí)發(fā)生兩次急救需求，必須放棄一個(gè)急救需求，這顯然不符合實(shí)際。為了提高系統(tǒng)救援能力，Daskin和Stern［4］在MCLP模型的基礎(chǔ)上提出最大化二次覆蓋需求量。之后，Gendreau等學(xué)者［5］提出了雙標(biāo)準(zhǔn)覆蓋模型DSM（Double Standard Model），首次引入兩個(gè)覆蓋圈半徑，在保證所有需求都能被大圈覆蓋的情況下，最大化被小圈兩次覆蓋的需求數(shù)。本文即是在雙標(biāo)準(zhǔn)覆蓋模型的基礎(chǔ)上考慮了救護(hù)車的繁忙率，并探究一天內(nèi)不同時(shí)段的繁忙率帶來的不同布局方案。繁忙率最早是由Daskin［6］在MEXCLP（Maximum Expected Covering Location Problem）模型中提出的，之后的學(xué)者Rapede和Bernardo［7］建立了不同時(shí)段需求不確定型模型，簡稱TIMEXCLP模型。Jagtenberg等人［8］提出了動態(tài)MEXCLP模型解決實(shí)時(shí)動態(tài)布局問題，系統(tǒng)中每出現(xiàn)一次急救需求，都要重新進(jìn)行一次決策。

從既有文獻(xiàn)可知，在救護(hù)車布局領(lǐng)域，大部分研究主要來自國外學(xué)者，國內(nèi)的研究相對較少。宋元濤，楊文國和黃鈞［9］提出有數(shù)量限制的雙覆蓋標(biāo)準(zhǔn)救護(hù)車選址模型，并利用禁忌搜索方法對模型進(jìn)行求解。蘇強(qiáng)等人［10］對雙覆蓋模型進(jìn)行改進(jìn)，提出以最小化延誤成本和運(yùn)營成本為目標(biāo)函數(shù)。不同學(xué)者從不同角度對問題進(jìn)行剖析。

本文的主要貢獻(xiàn)在于在傳統(tǒng)的雙覆蓋模型基礎(chǔ)上考慮到當(dāng)急救需求產(chǎn)生時(shí)，救護(hù)車有的一定的概率處于繁忙狀態(tài)，此時(shí)無法立即響應(yīng)需求，故在模型中引入繁忙率。此外，由于每天不同時(shí)段下需求產(chǎn)生頻率的不同，救護(hù)車的繁忙率也隨時(shí)段而改變，故本文提出多時(shí)段下的救護(hù)車布局方案。

1 問題描述

1.1 基本概況

在本研究中，假設(shè)共有p輛救護(hù)車，n個(gè)需求點(diǎn)，需求點(diǎn)集合V＝｛v1，v2，…，vn｝，其中任意需求點(diǎn)vi處的需求為λi；有m個(gè)備選站點(diǎn)，備選站點(diǎn)集合W＝｛w1，w2，…，wm｝，其中任意備選站點(diǎn)wj處停放的救護(hù)車數(shù)記為yj。結(jié)合實(shí)際情況，每個(gè)救護(hù)車備選站點(diǎn)都有其相應(yīng)的承載上限，故這里規(guī)定備選站點(diǎn)wj處的救護(hù)車承載上限為pj。救護(hù)車從備選站點(diǎn)wj到需求點(diǎn)vi的行駛時(shí)間為tij。在雙標(biāo)準(zhǔn)覆蓋模型中，標(biāo)準(zhǔn)一為保證所有需求都能夠在一定的時(shí)間內(nèi)被響應(yīng)。由于覆蓋的全面性，這個(gè)時(shí)間通常比較久。標(biāo)準(zhǔn)二為保證至少有α比例的需求能在較短時(shí)間內(nèi)被響應(yīng)。這兩個(gè)規(guī)定時(shí)間記作r1和r2（r1＜r2）。定義三個(gè)0-1變量γij，δij和。當(dāng)行駛時(shí)間tij≤r1時(shí)，規(guī)定γij＝1，否則γij＝0；當(dāng)行駛時(shí)間tij≤r2時(shí)，規(guī)定δij＝1，否則δij＝0。＝1表示需求點(diǎn)vi被覆蓋了k次，這里k＝1，2，…，p。現(xiàn)實(shí)中，一輛救護(hù)車并不可能是24小時(shí)待命狀態(tài)，當(dāng)急救電話打進(jìn)時(shí)，救護(hù)車可能正在奔赴上一個(gè)需求點(diǎn)的途中，也可能在其他需求點(diǎn)等候醫(yī)護(hù)人員對病人進(jìn)行檢查或搶救，也可能在將病人轉(zhuǎn)移到醫(yī)院急診室的途中等等，這些情況下救護(hù)車都無法立即響應(yīng)新的需求，即處于繁忙狀態(tài)。因此，在解決問題時(shí)，應(yīng)該考慮每輛救護(hù)車在不同時(shí)段下的繁忙率，這也是本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)所在。

1.2 考慮繁忙率的期望覆蓋需求的計(jì)算

我們可以通過向?qū)＜壹跋嚓P(guān)人員咨詢的方式獲得救護(hù)車的繁忙率q的值。本文假設(shè)所有的救護(hù)車繁忙率相同，且任意兩輛救護(hù)車之間的狀態(tài)不存在相關(guān)性，即一輛救護(hù)車是否可用的概率與另一輛救護(hù)車是否可用是獨(dú)立的。在上述設(shè)定下，可計(jì)算出任意時(shí)刻系統(tǒng)中有t輛待命救護(hù)車的概率為：

同時(shí)我們也可以計(jì)算出需求點(diǎn)vi被k輛救護(hù)車覆蓋，且k中至少2輛處于待命狀態(tài)的概率為：

P（需求點(diǎn)vi被k輛救護(hù)車覆蓋，且k中至少2輛處于待命狀態(tài)）故可以得到被k輛救護(hù)車覆蓋，且k中至少2輛處于待命狀態(tài)的需求點(diǎn)vi處的需求期望值：

從k輛車減少到（k-1）輛車產(chǎn)生的需求期望差值為：

1.3 多時(shí)段的劃分

為了更接近實(shí)際情況，可以將繁忙率進(jìn)一步按照時(shí)間、空間標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行細(xì)分。本文考慮到不同時(shí)段需求產(chǎn)生率的不同，將一天按照早、晚高峰時(shí)段共劃分為5個(gè)時(shí)段h1-h5，其中h1表示“早間時(shí)段”，h2表示“早高峰時(shí)段”，h3表示“白天非高峰時(shí)段”，h4表示“晚高峰時(shí)段”，h5表示“晚間時(shí)段”。不同時(shí)段救護(hù)車具有不同的繁忙率qh（h＝1，2，…，5）。表1列舉出多時(shí)段劃分法的基本框架。

表1 多時(shí)段的劃分及其繁忙率表

2 考慮繁忙率的多時(shí)段布局模型的構(gòu)建

模型涉及到的相關(guān)變量已經(jīng)在問題描述部分加以闡明，為了簡化分析，假設(shè)需求點(diǎn)位置及需求是確定的，且需求產(chǎn)生服從均勻分布。為解決院前急救中的救護(hù)車布局問題，本文提出以最大化全天在r1時(shí)間內(nèi)被覆蓋至少2次的期望總需求量為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型。構(gòu)建的模型如下：

在上述模型中，（5）式為目標(biāo)函數(shù)，表示在考慮救護(hù)車在不同時(shí)段繁忙率的情況下，全天能夠在r1時(shí)間內(nèi)被至少2輛救護(hù)車響應(yīng)的需求的期望最大值，其中λih表示在th-th+1時(shí)段內(nèi)，任意需求點(diǎn)vi處的需求。（6）～（13）式為約束條件。（6）式為單覆蓋要求，保證每個(gè)需求點(diǎn)vi都能被救護(hù)車在r2時(shí)間內(nèi)響應(yīng)，即雙標(biāo)準(zhǔn)覆蓋模型中的標(biāo)準(zhǔn)一。（7）式表示能被救護(hù)車在r1時(shí)間內(nèi)響應(yīng)的需求數(shù)占總需求數(shù)的比例大于α，即雙標(biāo)準(zhǔn)覆蓋模型中的標(biāo)準(zhǔn)二。（8）式約束了目標(biāo)函數(shù)中的時(shí)間限制為r1，同時(shí)它保證了當(dāng)＝1時(shí)，能在r1時(shí)間內(nèi)響應(yīng)vi處需求的救護(hù)車數(shù)量至少為1；當(dāng)＝1時(shí)，能在r1時(shí)間內(nèi)響應(yīng)vi處需求的救護(hù)車數(shù)量至少為2。約束（9）確保了當(dāng)需求點(diǎn)vi沒有被覆蓋（k-1）次時(shí)，其不可能被覆蓋k次。（10）式表明布局的救護(hù)車總數(shù)不超過現(xiàn)有救護(hù)車數(shù)。（11）式約束了每個(gè)備選站點(diǎn)安置的救護(hù)車數(shù)不超過該站點(diǎn)可安置救護(hù)車數(shù)的上限。（12）式為整數(shù)約束。（13）式表示需求點(diǎn)vi是否被覆蓋k次為0-1變量。

3 算例比較實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證模型的有效性與改進(jìn)性，將模型與傳統(tǒng)的雙覆蓋模型進(jìn)行比較。為使隨機(jī)算例具備較強(qiáng)的實(shí)際意義，本文的算例規(guī)模與上海市松江區(qū)院前急救系統(tǒng)的實(shí)際規(guī)模相當(dāng)，即24×24平方公里大小的區(qū)域被抽象成144個(gè)需求點(diǎn)，系統(tǒng)中有8個(gè)急救站點(diǎn)，每輛救護(hù)車的日繁忙率為0.1，雙覆蓋模型中兩個(gè)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)分別為r1＝8分鐘，r2＝15.6分鐘，需求比例α＝0.95。

不失一般性，本文隨機(jī)生成3個(gè)144×8的坐標(biāo)網(wǎng)絡(luò)，4種大小的急救需求規(guī)模，因此共有3×4＝12組實(shí)驗(yàn)來比較兩個(gè)模型的優(yōu)劣。

根據(jù)上海市松江區(qū)院前急救的歷史數(shù)據(jù)，每年的急救需求量大約為總?cè)丝诘?.5%?？紤]到上海市高人口密度的特點(diǎn)，4種急救需求規(guī)模的需求人口比例分別為0.5%，1%，1.5%和2%。利用ILOG CPLEX 12.0求解模型，得到的對比結(jié)果見表2。

表2 傳統(tǒng)雙覆蓋模型與本文模型計(jì)算結(jié)果對比

表2中列出了通過傳統(tǒng)雙覆蓋模型與本文模型計(jì)算得到的需求覆蓋率及相應(yīng)的運(yùn)算時(shí)間，可以看出，在不同的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)下，利用本文提出的模型得到的需求覆蓋率均高于傳統(tǒng)雙覆蓋模型的結(jié)果，證明了本模型的有效性及改進(jìn)性。運(yùn)算時(shí)間幾乎與需求的規(guī)模大小呈正相關(guān)關(guān)系，但本文提出的模型由于引入了繁忙率這一因素，在運(yùn)算時(shí)間上較傳統(tǒng)雙覆蓋模型略長，在之后的研究中可以通過設(shè)計(jì)合理的算法來縮短運(yùn)算時(shí)間。

4 實(shí)例分析

本文以上海市松江區(qū)2014年120急救中心數(shù)據(jù)為例進(jìn)行分析。松江區(qū)位于上海西南部，近年來經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速，大量企業(yè)入駐，外來人口增加，急救需求也隨之增加。松江區(qū)人口總量為1，755，900，覆蓋面積達(dá)24×25平方公里。通過對2014年急救中心數(shù)據(jù)的預(yù)處理，得到該年共發(fā)生25，841起急救事故。為了便于之后的計(jì)算，現(xiàn)將松江區(qū)劃分為12×12個(gè)正方形，統(tǒng)計(jì)每個(gè)正方形內(nèi)的需求量并將其集中于小正方形的某一點(diǎn)，這里選取每個(gè)小正方形的中心作為需求點(diǎn)，該點(diǎn)的需求量即為該小正方形的需求量。急救系統(tǒng)中共有8個(gè)備選站點(diǎn)，27輛救護(hù)車，假定這些救護(hù)車為相同型號并具有相同的繁忙率，每個(gè)備選站點(diǎn)停放救護(hù)車不得超過4輛。每個(gè)備選站點(diǎn)的位置可由圖1形象化表示。圖中A點(diǎn)為中心總站，B點(diǎn)為九亭分站，C點(diǎn)為佘山分站，D點(diǎn)為葉榭分站，E點(diǎn)為新浜分站，F(xiàn)點(diǎn)為泗涇分站，G點(diǎn)為老城區(qū)分站，H點(diǎn)為車墩分站。

圖1 松江區(qū)備選站點(diǎn)位置圖

救護(hù)車的平均行駛速度由歷史數(shù)據(jù)得知為每小時(shí)50公里，行駛距離通過起始點(diǎn)的經(jīng)緯度進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算公式如下：

Lat1表示地點(diǎn)1的緯度，Lon1表示地點(diǎn)1的經(jīng)度，地點(diǎn)2同理。

在上海市市委、市政府的重視下，近年來上海急救系統(tǒng)得到了較快的發(fā)展，以松江區(qū)為例，2005年松江區(qū)救護(hù)車響應(yīng)急救需求的時(shí)間為20分鐘，2010年為15～18分鐘，到2014年已達(dá)到12～18分鐘?；诖饲闆r，本文設(shè)定雙覆蓋模型中兩個(gè)時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)分別為r1＝8分鐘，r2＝15.6分鐘，需求比例α＝0.95。

通過向?qū)＜壹跋嚓P(guān)人員的咨詢，結(jié)合掌握的歷史數(shù)據(jù)，現(xiàn)設(shè)每輛救護(hù)車的日繁忙率為0.1，利用ILOG CPLEX 12.0求解模型，得到新的救護(hù)車布局方案。表3列舉了松江區(qū)救護(hù)車原始布局方案、傳統(tǒng)雙覆蓋模型求解方案與本文模型求解方案的結(jié)果對比。

表3 三種救護(hù)車布局方案

經(jīng)計(jì)算，在救護(hù)車日繁忙率為0.1的情況下，應(yīng)用本文提出的布局方案比應(yīng)用原始方案得到的期望覆蓋需求量提高了3.19%，比傳統(tǒng)雙覆蓋模型的解得到的期望覆蓋需求量提高了0.54%，這充分證明了模型引入繁忙率后的有效性與改進(jìn)性。從結(jié)果中也可以看出，A站點(diǎn)（即中心總站）由原來8輛車減少至2輛車，表明雖然站點(diǎn)處于松江區(qū)中心地段，但通過科學(xué)計(jì)算得到該處并不需要安置過多的救護(hù)車，原布局方案下極易產(chǎn)生偏遠(yuǎn)地區(qū)救護(hù)車數(shù)量不足，對產(chǎn)生的需求應(yīng)接不暇，而中心總站處救護(hù)車閑置的現(xiàn)象，這無疑是一種對資源的浪費(fèi)。

為了進(jìn)一步探究繁忙率對救護(hù)車布局的影響，令q分別為0.05，0.15，0.25，0.35，得到相應(yīng)4種布局方案，結(jié)果見表4。

表4 不同繁忙率下的布局方案

根據(jù)表4可知，當(dāng)繁忙率從0.05變?yōu)?.15時(shí)，需從A站點(diǎn)調(diào)離1輛救護(hù)車到D站點(diǎn)。繁忙率為0.15與0.25時(shí)的救護(hù)車布局方案相同，無需調(diào)動救護(hù)車。當(dāng)繁忙率從0.25變?yōu)?.35時(shí)，需從D站點(diǎn)調(diào)離1輛救護(hù)車至G站點(diǎn)。

為了更接近實(shí)際情況，考慮將一天劃分為“早間時(shí)段”、“早高峰時(shí)段”、“白天非高峰時(shí)段”、“晚高峰時(shí)段”、“晚間時(shí)段”5個(gè)時(shí)段，不同時(shí)段救護(hù)車繁忙率及救護(hù)車平均行駛速度由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理后獲得。表5列舉了5個(gè)時(shí)段詳細(xì)的時(shí)間劃分及該時(shí)段下系統(tǒng)的繁忙率及救護(hù)車的平均行駛速度。

表5 一天不同時(shí)段的劃分及其繁忙率、行駛速度表

因此，根據(jù)上述結(jié)論，可以得到一天5個(gè)不同時(shí)段下的救護(hù)車布局方案，詳見表6。

表6 一天不同時(shí)段下救護(hù)車布局方案

可以看出“早間時(shí)段”與“晚間時(shí)段”的布局方案相同，其余三個(gè)時(shí)段布局方案相同。調(diào)度僅發(fā)生在中心總站（即A站點(diǎn)）與葉榭分站（即D站點(diǎn)）之間。當(dāng)時(shí)間由“早間時(shí)段”變?yōu)椤霸绺叻鍟r(shí)段”時(shí)，應(yīng)從中心總站派1輛車至葉榭分站；而當(dāng)時(shí)間由“晚高峰時(shí)段”變?yōu)椤巴黹g時(shí)段”時(shí)，應(yīng)從葉榭分站調(diào)1輛車到中心總站。為了更直觀地表現(xiàn)繁忙率q對需求覆蓋率的影響，選擇這兩種不同的布局方案（即表6中的“早間時(shí)段”方案與“早高峰時(shí)段”方案），探究在應(yīng)用這兩種方案的情況下，需求覆蓋率隨q的變化。利用Matlab計(jì)算出結(jié)果，繪制出圖2，q根據(jù)實(shí)際情況，定義為從0到0.4。

圖2 需求覆蓋率與繁忙率的關(guān)系圖

明顯可以看出，需求覆蓋率曲線隨繁忙率q的增加而減小，意味著救護(hù)車處于待命時(shí)間的比例越小，其可服務(wù)的需求越少，這與實(shí)際意義完全相符。同時(shí)也可以看出，在0＜q≤0.3時(shí)，兩種布局方案下的需求覆蓋率具有很小的差異。這表明在繁忙率低于0.3的情況下，當(dāng)遇到突發(fā)狀況導(dǎo)致無法按原計(jì)劃對救護(hù)車進(jìn)行再布局時(shí)，對需求覆蓋率的影響在可接受范圍內(nèi)。

5 結(jié)論

本文針對院前急救中救護(hù)車布局問題，通過引入繁忙率的概念，對傳統(tǒng)的雙覆蓋模型加以改進(jìn)，并將模型應(yīng)用于上海市松江區(qū)，基于已有站點(diǎn)對救護(hù)車進(jìn)行合理布局，驗(yàn)證了改進(jìn)后模型的優(yōu)越性，具有較強(qiáng)的可行性與應(yīng)用性。同時(shí)，為了更貼合實(shí)際，考慮到一天中不同時(shí)段救護(hù)車繁忙率的差異，本文提出了多時(shí)段布局方案，以“早高峰”和“晚高峰”為界點(diǎn)，將一天劃分為5個(gè)時(shí)段，通過本文模型得到5個(gè)時(shí)段下分別的最優(yōu)布局方案，保證了期望覆蓋需求量的最大化，更利于決策者做出合理決策。最后，本文驗(yàn)證了繁忙率與需求覆蓋率之間的關(guān)系，即繁忙率越大，需求覆蓋率越小。需要指出的是，本文假設(shè)救護(hù)車行駛速度是恒定的，在今后的研究中可以考慮多時(shí)段下救護(hù)車速度的不同，使研究結(jié)果更為精準(zhǔn)。也可以從救護(hù)車響應(yīng)急救需求時(shí)間的角度考慮問題，保證需求被快速響應(yīng)。在本文多時(shí)段布局的結(jié)論基礎(chǔ)上，也可以根據(jù)救護(hù)車布局方案，進(jìn)一步探究救護(hù)車工作人員的排班情況。這些都是未來研究中可以考慮的研究方向。

院前急救服務(wù)能力可以體現(xiàn)出一座城市，乃至一個(gè)國家的急救醫(yī)療水平與社會安全保障程度。雖然近年來，我國的院前急救服務(wù)水平已經(jīng)得到了很大的提升，但由于起步晚、基礎(chǔ)弱等歷史原因，較之于西方發(fā)達(dá)國家，我們的服務(wù)水平還處于相對落后的狀態(tài)。因此，要進(jìn)一步加快和保障急救系統(tǒng)健康發(fā)展，提升急救服務(wù)水平與應(yīng)急救援能力，為創(chuàng)造和諧社會提供有力的保障。