Banach空間中分?jǐn)?shù)階脈沖積-微分方程的e指數(shù)型Ulam-Hyers穩(wěn)定性

趙彥霞, 楊 和

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

分?jǐn)?shù)階微積分在控制系統(tǒng)、 統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程、 黏彈性力學(xué)、 人口動(dòng)力學(xué)、 化學(xué)技術(shù)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 關(guān)于其穩(wěn)定性的研究已取得許多成果[1-7]. Alsina等[8]研究了微分方程的Ulam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性; Jung[9]研究了一階線性微分方程φ(t)y′(t)=y(t)的穩(wěn)定性; Popa等[10]討論了線性微分方程的廣義Ulam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性; Wang等[11-12]討論了整數(shù)階脈沖微分方程

和非線性分?jǐn)?shù)階脈沖微分方程

的廣義Ulam-Hyers-Rassias穩(wěn)定性, 其中:cDq為q∈(0,1)階Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù);f:J×→;Ik:→.

受上述研究結(jié)果的啟發(fā), 本文首先在Banach空間X中考慮分?jǐn)?shù)階脈沖積-微分方程Cauchy問(wèn)題

(1)

其次, 討論分?jǐn)?shù)階脈沖積-微分方程

(2)

的e指數(shù)型Ulam-Hyers穩(wěn)定性.

Balachandran等[6]在非線性項(xiàng)f:J×X×X→X連續(xù)且滿足一致Lipschitz條件的情形下, 討論了Banach空間中非線性分?jǐn)?shù)階積-微分方程(非局部)Cauchy問(wèn)題

解的存在唯一性, 并考慮了其脈沖影響; 文獻(xiàn)[7]用相同方法討論了Cauchy問(wèn)題(1)解的存在唯一性. 本文用完全不同于文獻(xiàn)[7]的方法, 去掉了一致Lipschitz連續(xù)的條件, 用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理和廣義Gronwall不等式分別證明Cauchy問(wèn)題(1)解的存在性和唯一性, 并討論問(wèn)題(2)的e指數(shù)型Ulam-Hyers穩(wěn)定性.

1 預(yù)備知識(shí)

‖A‖B(X)=sup{‖A(y)‖: ‖y‖=1}

構(gòu)成的Banach空間.

對(duì)于可測(cè)函數(shù)ψ:J→, 定義范數(shù)為

關(guān)于分?jǐn)?shù)階積分和Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的概念參見文獻(xiàn)[13].

引理2(Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理)[14]設(shè)B為Banach空間X中的一個(gè)非空閉凸子集, 若算子P,Q: B→X滿足如下條件:

1) 對(duì)?x,y∈B, 有Px+Qy∈B;

2)P是壓縮算子;

3)Q是全連續(xù)算子.

則P+Q在B內(nèi)至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

引理3(Gronwall不等式)[12]設(shè)α>0,a(t)為[0,T)上局部可積的非負(fù)函數(shù), 且g(t)為[0,T)上非負(fù)不減的連續(xù)函數(shù),g(t)≤l, 若u(t)非負(fù), 在[0,T)上局部可積且滿足

則

注1[12]在引理3的假設(shè)條件下, 取a(t)為[0,T)上的不減函數(shù), 則有

|u(t)|≤a(t)Eα(g(t)Γ(α)tα),

2 存在性和唯一性

對(duì)?r,η>0, 記

Br∶={u∈PC(J,X): ‖u-u0‖PC≤r},

Dη={u∈PC(J,X): ‖u‖PC≤η}.

假設(shè):

(H1)f:J×X×X→X連續(xù), 且存在常數(shù)q1∈(0,q)和函數(shù)h*(t)∈L1/q1(J), 使得

‖f(t,u,Hu(t))‖≤h*(t), ?t∈J,u∈Br;

(H2) 函數(shù)Ik:X→X連續(xù), 且存在常數(shù)L1>0, 使得

‖Ik(u)-Ik(v)‖≤L1‖u-v‖, ?u,v∈X,k=1,2,…,m;

(H3)f:J×X×X→X連續(xù), 且存在常數(shù)L>0, 使得

‖f(t,x,u)-f(t,y,v)‖≤L(‖x-y‖+‖u-v‖), ?x,y,u,v∈Dη;

(H4)A:J×X→B(X)為連續(xù)線性算子, 且存在常數(shù)M>0, 使得

‖A(t,u)-A(t,v)‖B(X)≤M‖u-v‖,t∈J,u,v∈Dη;

(H5)h:Δ×X→X連續(xù), 且存在常數(shù)L2>0, 使得

‖h(t,s,u)-h(t,s,v)‖≤L2‖u-v‖, ?u,v∈Dη, (t,s)∈Δ.

為敘述方便, 記

M*∶=‖A(t,u)‖B(X)≤M(‖u0‖+r)+N,N1=2Mη+N+L+LL2T,

定理1如果假設(shè)條件(H1),(H2)成立, 且

成立, 則Cauchy問(wèn)題(1)在PC(J,X)中至少有一個(gè)解.

證明: 取

定義算子P,Q:Br→PC(J,X)如下:

由引理1可知, Cauchy問(wèn)題(1)的解等價(jià)于算子P+Q的不動(dòng)點(diǎn), 下面分3步證明P+Q在Br中至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

1) 對(duì)?u,v∈Br, 有Pu+Qv∈Br.

由f,Ik,A的連續(xù)性可知,Pu+Qv∈PC(J,X), 且對(duì)?t∈J, 用H?lder不等式, 有

即Pu+Qv∈Br.

2)Q是壓縮算子.

對(duì)?u,v∈Br及?t∈J, 有

所以‖Qu-Qv‖PC≤r*‖u-v‖PC. 故Q為壓縮算子.

3)P為全連續(xù)算子.

由f的連續(xù)性可知, 顯然P是連續(xù)的, 且P在Br上是有界的. 因此由Arzela-Ascoli定理, 只需證明P是等度連續(xù)的.

對(duì)?0≤τ1<τ2≤T, 有

當(dāng)τ2→τ1時(shí), 式(3)的右端趨于0, 故P是等度連續(xù)的.

從而由P的連續(xù)性知P全連續(xù), 進(jìn)而由引理2知,P+Q在Br上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn), 該不動(dòng)點(diǎn)即為Cauchy問(wèn)題(1)的解. 證畢.

定理2若假設(shè)條件(H2)～(H5)成立, 則Cauchy問(wèn)題(1)有唯一解.

證明: 設(shè)u,v分別為問(wèn)題(1)關(guān)于初值u(0)=u0和v(0)=v0的解. 由(H4)可得

則

故

由引理3可知

對(duì)式(4)取上確界, 可得

因此當(dāng)u0=v0時(shí), 有u=v, 所以Cauchy問(wèn)題(1)有唯一解. 證畢.

3 e指數(shù)型Ulam-Hyers穩(wěn)定

設(shè)ε>0, 考慮下列不等式組:

(5)

定義1[12]如果存在一個(gè)常數(shù)c>0, 使得對(duì)每個(gè)ε>0及不等式組(5)的每個(gè)解y∈PC(J,X), 都存在問(wèn)題(2)的一個(gè)解x∈PC(J,X), 滿足不等式

‖y(t)-x(t)‖≤cε,t∈J,

則稱問(wèn)題(2)是Ulam-Hyers穩(wěn)定的.

定義2[15]如果存在一個(gè)常數(shù)c>0, 使得對(duì)每個(gè)ε>0及不等式組(5)的每個(gè)解y∈PC(J,X), 都存在問(wèn)題(2)的一個(gè)解x∈PC(J,X), 滿足不等式

‖y(t)-x(t)‖≤cεe(λ/α)t,t∈J,

則稱問(wèn)題(2)是e指數(shù)型Ulam-Hyers穩(wěn)定的.

注2[12]y∈PC(J,X)為不等式組(5)的解的充要條件是存在g∈PC(J,X)和一個(gè)序列{gk}(k=1,2,…,m, 與y有關(guān)), 使得：

1) ‖g(t)‖≤ε,t∈J, ‖gk‖≤ε,k=1,2,…,m;

注3設(shè)y∈PC(J,X)是不等式組(5)的一個(gè)解, 則y滿足積分不等式:

事實(shí)上, 由注2可得

當(dāng)t∈(tk,tk+1]時(shí), 有

則

定理3假設(shè)條件(H2)～(H5)成立, 則問(wèn)題(2)是e指數(shù)型Ulam-Hyers穩(wěn)定的.

證明: 設(shè)y∈PC(J,X)是不等式組(5)的解, 由定理2可知, 存在唯一的x是Cauchy問(wèn)題

的解. 則有

對(duì)?t∈(tk,tk+1], 下列結(jié)果成立:

將式(6)兩邊同乘e-(λ/α)t后取上確界, 可得

整理得

[1-γ(m+1)N2-mL1]‖x-y‖λ/α≤[m+(m+1)γ]ε,

即

‖x-y‖λ/α≤N3ε.

因此

‖y(t)-x(t)‖≤N3εe(λ/α)t.

故問(wèn)題(2)是e指數(shù)型Ulam-Hyers穩(wěn)定的. 證畢.

4 應(yīng) 用

例1考慮下列分?jǐn)?shù)階脈沖積-微分方程(其中0

(7)

和不等式組

(8)

設(shè)y∈PC([0,1],X)為不等式組(8)的解, 則存在g∈PC([0,1],X)和g1∈X, 使得:

‖g(t)‖≤ε,t∈[0,1], ‖g1‖≤ε;

(10)

取

設(shè)x,y∈PC([0,1],X),t∈[0,1], 由假設(shè)(H2)～(H4)可得

‖y‖PC,‖x‖PC≤η=1,

由式(9),(10)及分?jǐn)?shù)階積分的定義, 有

設(shè)式(7)的唯一解為

因此對(duì)?t∈[0,1], 有

將式(11)兩邊同乘e-(λ/α)t后取上確界, 可得

整理得

即

因此

故由定理3可知, 問(wèn)題(4)是e指數(shù)型Ulam-Hyers穩(wěn)定的.