兩兩NQD序列完全矩收斂的精確漸近性

盧哲昕, 譚希麗, 張 勇, 劉天澤

(1. 北華大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 吉林 吉林 132013； 2. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所, 長春 130012)

1 引言與主要結(jié)果

兩兩NQD(negatively quadrant dependent)序列[1]是一類包含兩兩獨立隨機變量序列在內(nèi)較廣泛的隨機變量序列, 許多負(fù)相協(xié)序列的概念, 如NA(negatively asscociated)和NOD(negatively orthant dependent)等相依序列的概念都由此發(fā)展而來. 目前, 關(guān)于兩兩NQD序列的研究已取得許多結(jié)果: 張金艷等[2]給出了同分布兩兩NQD 序列的中心極限定理; 楊善朝[3]給出了兩兩NQD序列的一些概率不等式和矩不等式; 夏衛(wèi)鋒[4]研究了兩兩NQD序列的矩不等式和指數(shù)不等式; 蘭沖鋒等[5]研究了同分布兩兩NQD序列部分和之和的強大數(shù)律; Wu等[6]研究了兩兩NQD隨機變量的完全收斂性與強大數(shù)定律; Yang等[7]研究了兩兩NQD隨機變量序列的幾乎處處收斂性. 另一方面, 自從Hsu等[8]提出了完全收斂的概念后, 完全收斂的精確漸近性理論得到廣泛關(guān)注： Jiang等[9]得到了獨立同分布隨機變量序列部分和在對數(shù)律下完全收斂性的精確漸近性； 鄧小芹等[10]研究了NA序列完全矩收斂的精確漸近性.

定義1[1]若?x,y∈, 有

P(X

則稱隨機變量X和Y是NQD的. 若?i≠j,Xi和Yi是NQD的, 則稱隨機變量序列{Xi,i≥1}是兩兩NQD序列.

其中N表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量.

其中N表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量.

2 引 理

引理1[2]設(shè)隨機變量{Xn,n≥1}為同分布的兩兩NQD序列, 且有

則：

3 定理2的證明

不失一般性, 不妨設(shè)σ2=1, 取b(ε)=exp{M/ε1/d}, 其中M>4, 0<ε<1/4.

命題1對任意的M>4, 有

證明: 易見

可得

(2)

當(dāng)ε→0時, 有b(ε)→∞, 在式(2)中取m=[b(ε)], 則有

對于H2有

對于H3, 取2≤q<2+δ, 由Markov不等式、 引理2和Toepliz引理, 有

類似H3的證明, 可證當(dāng)ε→0時,H4→0. 從而由式(4)得H2→0, 結(jié)合式(1),(3), 可得結(jié)論.

命題2在定理2的條件下, 有

證明: 取max{(b+1)/d,2}

證畢.

命題3對任意的d≥1/2,b>d-1, 有

證明: 取p>(b+1)/d, 由Markov不等式, 類似命題2的證明, 有

證畢.

命題4對任意的d≥1/2,b>d-1, 有

證明: 易見

證畢.

下面證明定理2. 易見