帶跳隨機(jī)波動率模型的美式期權(quán)及美式障礙期權(quán)定價

薛廣明, 林福寧

(廣西財經(jīng)學(xué)院 信息與統(tǒng)計學(xué)院, 南寧 530003)

1 引言與預(yù)備知識

期權(quán)定價是金融數(shù)學(xué)的研究熱點, 按期權(quán)種類分為歐式期權(quán)和美式期權(quán). 目前歐式期權(quán)已有很多定價模型[1-3]. 但美式期權(quán)定價相對復(fù)雜, 一般很難得到表達(dá)式, 只能通過數(shù)值方法給出近似表達(dá)式. 目前已有很多近似逼近的方法, 如二叉樹、 有限差分法、 Monte Carlo模擬法等.

美式期權(quán)具有提前實施的權(quán)利, 因此已被廣泛關(guān)注. Kou等[4]在跳躍擴(kuò)散模型下, 利用二次逼近法研究了美式看跌期權(quán)價格的近似顯示解; 鄧國和等[5]在隨機(jī)波動率與雙指數(shù)跳躍擴(kuò)散組合模型下研究了美式期權(quán)定價; 鄧國和[6]在雙跳躍仿射擴(kuò)散模型下研究了美式看跌期權(quán)定價. 美式障礙期權(quán)不僅具有障礙期權(quán)的優(yōu)點, 還具有提前實施的權(quán)利, 目前文獻(xiàn)報道較少. Karatzas等[7]利用變分不等方程給出了美式上升敲出障礙期權(quán)的定價和套期保值策略; 霍海峰[8]在分?jǐn)?shù)次布朗運動下研究了美式障礙期權(quán)定價.

百慕大期權(quán)(Bermuda option)是一種可在到期日前所規(guī)定的一系列時間行權(quán)的期權(quán). Geske等[9]研究表明, 當(dāng)百慕大期權(quán)的可執(zhí)行點趨于無窮多時, 其價格的極限即可視為相應(yīng)美式期權(quán)的價格; MacMillan[10]將文獻(xiàn)[9]的方法應(yīng)用到標(biāo)的物為股票的期權(quán)定價研究中； Barone-Adesi等[11]應(yīng)用文獻(xiàn)[9]的方法研究了商品期貨期權(quán)定價. 令Pi為含有i個可提前執(zhí)行時間點的百慕大期權(quán)在零時刻的價格, 則P1等價于一個歐式期權(quán), 即只能在到期日T時刻執(zhí)行. 根據(jù)文獻(xiàn)[9], 美式期權(quán)PA=P∞, 但對無窮多個可執(zhí)行時間點的情形通常無法操作. Bunch等[12]研究表明, 通常情況下計算過程僅需有限步即可獲取近似解. 用執(zhí)行時間點個數(shù)分別為1,2,3的百慕大期權(quán)構(gòu)造美式期權(quán)的近似公式為

PA≈2P2-P1,

(1)

(2)

式(1),(2)分別稱為兩點G-J法和三點G-J法. 本文基于文獻(xiàn)[9], 在跳擴(kuò)散隨機(jī)波動率模型下, 利用百慕大期權(quán)的價格逼近美式期權(quán)的價格, 討論美式期權(quán)定價和美式障礙期權(quán)定價.

2 模型假設(shè)

引理1[13]設(shè)n維隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是F, 如果其密度函數(shù)f和特征函數(shù)φ(u)都是Lebesgue可積的, 即f∈Ln,φ(u)∈Ln, 則對?x=(x1,…,xn)∈n, 有

這里定義

其中:u=(u1,…,un)⊥;Δa[η(a)]=η(a)+η(-a). 根據(jù)n的奇偶性, 引理1可分為兩種情形, 即

其中: Re[·]表示函數(shù)實部; Im[·]表示函數(shù)虛部; i為虛數(shù)單位.

若F為n維隨機(jī)變量X的分布函數(shù),t(·)滿足引理1, 則對?x=(x1,x2,…,xn)∈n, 有

3 美式期權(quán)定價

下面以美式看漲期權(quán)為例給出美式看漲期權(quán)的近似解, 由式(2)可知, 要計算出美式看漲期權(quán)的近似解, 就要先分別計算可執(zhí)行時間點個數(shù)分別為1,2,3的百慕大障礙期權(quán)在0時刻的價格P1,P2,P3. 令K表示期權(quán)的執(zhí)行價格,T表示到期日, 下面考慮只有一個可執(zhí)行時間點百慕大期權(quán)在0時刻的價格, 即在到期日T時刻執(zhí)行, 其等價于歐式看漲期權(quán)的價格, 即P1=Ce.

引理2[6]跳擴(kuò)散隨機(jī)波動率模型下標(biāo)準(zhǔn)歐式看漲期權(quán)0時刻價格為

(5)

其中:

于是

(6)

同理有

(7)

對于I3, 應(yīng)用二維測度變換將測度Q變換到Q2, 其Randon-Nikodym導(dǎo)數(shù)為

于是

同理有

其中：

(10)

引理3在2個執(zhí)行時間點T/2和T的跳擴(kuò)散隨機(jī)波動率模型下, 百慕大看漲期權(quán)的0時刻價格為

其中M1,N1,ψ2定義如式(10).

證明: 將式(6)～(9)代入式(5)可得結(jié)論.

記P3為該期權(quán)的價格, 于是被限制的百慕大看漲期權(quán)的價值等于ST/3-K,S2T/3-K和ST-K分別在T/3,2T/3和到期日T時間點的折項期望之和, 即

其中:

下面根據(jù)引理1分別計算I5～I(xiàn)10. 對于I5, 類似求I1的過程, 應(yīng)用測度變換可得

同理有

(12)

對于I7, 類似求I1,I3的過程, 應(yīng)用測度變換可得

同理有

其中：

(15)

為方便, 先給出下式:

對于I9, 應(yīng)用三維測度變換將測度Q變換到Q2, 其Randon-Nikodym導(dǎo)數(shù)為

于是

對于I11, 應(yīng)用二維測度變換得

其中M2，N2定義如式(15).I12由式(16)可得. 同理有

其中M2，N2定義如式(15).I14由式(16)可得.

引理43個執(zhí)行時間點T/3,2T/3,T的跳擴(kuò)散隨機(jī)波動率模型下, 百慕大看漲期權(quán)的0時刻價格為

證明: 綜合式(9)～(20)可得結(jié)論.

定理13個執(zhí)行時間點T/3,2T/3,T的跳擴(kuò)散隨機(jī)波動率模型下, 美式看漲期權(quán)的0時刻價格為式(2).

證明: 由引理2～引理4及三點G-J法可得結(jié)論.

4 美式障礙期權(quán)定價

引理5對于執(zhí)行時間點為到期日T時刻的跳擴(kuò)散隨機(jī)波動率模型, 百慕大下降敲出看漲障礙期權(quán)在0時刻的價格為

其中:

(21)

(22)

ψn(u1,…,un)表示在測度QS下的特征函數(shù), 即

(23)

證明: 設(shè)障礙值SB=L為常數(shù), 下面以S0>L>K為例證明. 考慮離散時間歐式下降敲出看漲障礙期權(quán)的價格, 根據(jù)風(fēng)險中性定價原理知,

其中tQ(x1,…,xn)定義如式(22). 對于I15的計算, 應(yīng)用二維測度變換同理可得

其中tQ2(x1,…,xn)定義如式(21),

其中:

下面分別計算I17～I(xiàn)20. 對于I17, 應(yīng)用測度變換可得

其中

(26)

同理有

其中

(27)

(28)

對于I19, 應(yīng)用測度變換同理可得

其中：

這里tQ2(x1,…,xn)定義如式(21);

這里tQ2(x1,…,xn+1)定義如式(26). 同理有

其中:

這里tQ(x1,…,xn)定義如式(22),ψn(u1,…,un-1,un)定義如式(23);

這里tQ(x1,…,xn+1)定義如式(27),ψn+1(u1,…,un,un+1)定義如式(28).

引理6在跳擴(kuò)散隨機(jī)波動率模型下, 對于2個執(zhí)行時間點T/2和T的百慕大下降敲出看漲障礙期權(quán)的0時刻價格為

由引理5和引理6可得:

5 應(yīng)用實例

下面應(yīng)用數(shù)值方法分析跳擴(kuò)散隨機(jī)波動率模型下美式期權(quán)和美式下降敲出障礙期權(quán)權(quán)利金, 其中美式下降敲出障礙期權(quán)以K>L時為例, 計算軟件選用MATLAB 7.0和Mathematica 5.0. 為便于解釋和分析, 模型(3),(4)中的參數(shù)取值列于表1.

表1 模型(3),(4)的基本參數(shù)值

表2列出了跳擴(kuò)散隨機(jī)波動率模型下美式期權(quán)與美式障礙期權(quán)的價格比較, 其中參數(shù)取值見表1. 美式障礙期權(quán)的目的是把投資者的收益或損失控制在一定范圍內(nèi). 由表2可見, 當(dāng)參數(shù)取值相同時, 美式期權(quán)價格略高于美式障礙期權(quán)價格, 這與障礙期權(quán)的本質(zhì)相符.

表2 跳擴(kuò)散隨機(jī)波動率模型下美式期權(quán)與美式障礙期權(quán)的價格比較

綜上, 本文在隨機(jī)波動率和股價滿足跳擴(kuò)散模型的環(huán)境下, 應(yīng)用隨機(jī)分析、 Fourier反變換等方法給出了美式看漲期權(quán)和美式障礙看漲期權(quán)的近似價格公式. 這類定價模型能較好地擬合金融實際數(shù)據(jù)中利率、 股價的運動行為, 捕捉金融市場中突發(fā)事件和波動的聚集性. 最后, 應(yīng)用數(shù)值實例分析了美式期權(quán)與美式障礙期權(quán)的價格差異, 結(jié)果表明, 當(dāng)參數(shù)取值相同時, 美式期權(quán)價格略高于美式障礙期權(quán)價格, 與障礙期權(quán)的定義相符.