美式多資產(chǎn)期權(quán)定價(jià)問題的有限差分法

張 琪, 左 平, 郝永樂, 楊程博, 李婷婷

(1. 沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 沈陽 110870; 2. 吉林大學(xué) 符號(hào)計(jì)算與知識(shí)工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 長(zhǎng)春 130012;3. 空軍航空大學(xué) 基礎(chǔ)部, 長(zhǎng)春 130022; 4. 周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 周口 466001;5. 吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

美式多資產(chǎn)期權(quán)是一種特殊的期權(quán), 其標(biāo)的物是多個(gè)原生資產(chǎn)的投資組合, 收益由合約中原生資產(chǎn)價(jià)格的加權(quán)平均值確定, 具有不同于單資產(chǎn)期權(quán)的套期保值效果. 由于美式多資產(chǎn)期權(quán)不存在顯式解, 因此對(duì)其進(jìn)行數(shù)值算法的研究備受關(guān)注[1-3]. 本文以二維美式看跌期權(quán)為例, 給出一種求解該問題的有效算法. 設(shè)Si,σi,qi(i=1,2)分別表示第i個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格、 波動(dòng)率和紅利率, 則美式多資產(chǎn)看跌期權(quán)V(S1,S2,t)滿足下列線性互補(bǔ)模型[4]:

(1)

其中:

φ(S1,S2)=max{K-α1S1-α2S2,0}.

這里K,t,r,ρ,T分別表示敲定價(jià)格、 時(shí)間、 標(biāo)的資產(chǎn)的無風(fēng)險(xiǎn)利率、 標(biāo)的資產(chǎn)間的相關(guān)系數(shù)和期權(quán)到期日,αi≥0(i=1,2)表示第i種原生資產(chǎn)所占的比例, 滿足α1+α2=1.

通過變量替換

方程(1)可化為下列常系數(shù)線性互補(bǔ)問題:

(2)

相應(yīng)的初始條件和收益函數(shù)分別為

P(x,y,0)=g(x,y), (x,y)∈2,

g(x,y)=max{K-α1ex-α2ey,0}.

其中

觀察簡(jiǎn)化模型(2)易見, 在數(shù)值求解該模型時(shí), 會(huì)面臨以下難點(diǎn):

1) 該模型為線性互補(bǔ)問題, 具有高度非線性, 很難直接求解;

2) 模型的求解區(qū)域?yàn)闊o界區(qū)域, 直接設(shè)計(jì)數(shù)值格式幾乎不可能.

基于上述求解難點(diǎn), 本文分別給出相應(yīng)的處理技巧.

1 有界規(guī)則區(qū)域的定價(jià)模型

本文利用懲罰法和完全匹配層(PML)技巧將定價(jià)模型轉(zhuǎn)化為有界區(qū)域上的非線性拋物問題. 利用懲罰法求解期權(quán)定價(jià)問題[5]主要通過加懲罰項(xiàng)將線性互補(bǔ)問題轉(zhuǎn)化為拋物問題, 形式如下:

(3)

引理1[6-7]如果Pη和P分別為模型(3)和模型(2)的解, 則下列估計(jì)式成立:

處理無窮區(qū)域問題的有效方法----PML技巧[8]， 其主要思想是在求解區(qū)域的截?cái)嗵幪砑右粋€(gè)非反射的吸收層, 以減弱數(shù)值反射的影響, 進(jìn)而達(dá)到減少誤差的目的. 令有界區(qū)域?yàn)?/p>

Ω={(x,y)|-L1-δ1

則PML變換可表示為

其中：

于是模型(3)的PML截?cái)嘈问綖?/p>

(4)

其中

綜上, 通過懲罰法和PML技巧對(duì)定價(jià)問題進(jìn)行處理, 本文得到了有界區(qū)域上的非線性拋物問題. 為說明PML算法的有效性, 下面介紹遠(yuǎn)場(chǎng)估計(jì)法(DTM), 其主要思想是在無窮遠(yuǎn)處給出一個(gè)合適的截?cái)嚅L(zhǎng)度, 以保證截?cái)鄦栴}的解與原問題的解足夠接近. 不妨設(shè)截?cái)鄥^(qū)域Ωl=[-l1,l1]×[-l2,l2], 則簡(jiǎn)化模型(2)的遠(yuǎn)場(chǎng)近似解Pl(x,y,τ)有以下估計(jì)結(jié)果：

引理3[12]對(duì)固定的時(shí)間τ∈(0,T]、 固定的點(diǎn)(x,y)∈2及充分小的數(shù)ε>0, 若滿足

li≥lmax,i=1,2,

則有

|P(x,y,τ)-Pl(x,y,τ)|≤ε,

其中

2 半隱式有限差分法

圖1 空間區(qū)域Ω的三角剖分Fig.1 Triangulation of spatial region Ω

考慮非線性微分方程(4). 半隱式有限差分法的主要思想與經(jīng)典有限差分法相似, 唯一區(qū)別是方程中的非線性項(xiàng)采用顯式格式, 線性項(xiàng)采用θ-格式. 令時(shí)間剖分

Jτ: 0=τ0<τ1<…<τM=T,

τm=mΔτ,m=0,1,…,M,

定義差分形式為

從而方程(4)在(xi,yj,τm)處的離散格式為

其中:

下面給出算法的誤差估計(jì)及所得解Um+1的非負(fù)性證明. 為簡(jiǎn)便, 考慮未加PML技巧的半隱式有限差分方法的誤差估計(jì).

證明： 方程(4)在節(jié)點(diǎn)(xi,yj,τm)處可表示為

(6)

利用Taylor展開可得:

對(duì)于混合交叉項(xiàng), 由Taylor展開得:

故有

下面給出數(shù)值解的非負(fù)性證明. 為簡(jiǎn)便, 對(duì)于兩個(gè)相互獨(dú)立(ρ=0)標(biāo)的資產(chǎn)的美式期權(quán)定價(jià)問題, 考慮應(yīng)用未加PML技巧的半隱式有限差分法(θ=0)所得解的非負(fù)性, 對(duì)于其他情形有類似結(jié)論.

證明： 當(dāng)條件ρ=0,θ=0成立時(shí), 方程(5)轉(zhuǎn)化為

其中:

a1=-l3+l5;a2=-l2+l4;b=2l2+2l3+1+rΔτ;a3=-l2-l4;a4=-l3-l5;

觀察方程的系數(shù)和右端, 把所有系數(shù)都乘以h2/Δτ, 當(dāng)h足夠小時(shí), 可得

3 數(shù)值算例

下面通過數(shù)值算例驗(yàn)證所給算法的有效性. 考慮一年期的美式多資產(chǎn)看跌期權(quán), 模型(1)中參數(shù)分別取為σ1=0.2,σ2=0.3,q1=0.05,q2=0.01,α1=0.6,α2=0.4,θ=0.5,r=0.05, 敲定價(jià)格K=1, 懲罰法系數(shù)為η=10-2. PML模型中的系數(shù)為λ1=λ2=10,β1=β2=3,δ1=δ2=10h.

圖2為遠(yuǎn)場(chǎng)截?cái)喾椒?DTM)和PML方法的誤差關(guān)于截?cái)嚅L(zhǎng)度L的變化曲線. 由圖2可見, PML方法誤差更小. 隨著截?cái)嚅L(zhǎng)度L的減小, PML方法的誤差并未隨之顯著增大, 表明PML方法并非絕對(duì)依賴于截?cái)嚅L(zhǎng)度,是一種處理無窮區(qū)域問題的有效方法. 圖3為本文算法在τ=T及截?cái)嚅L(zhǎng)度L=0.5lmax時(shí)的三維圖像.

圖2 DTM和PML方法截?cái)嚅L(zhǎng)度L的誤差曲線Fig.2 Error curves of truncation length Lof DTM and PML methods

圖3 本文算法期權(quán)價(jià)格的三維圖像Fig.3 Three-dimensional image of option price of proposed algorithm