有限群的非交換主因子

鮑宏偉, 高百俊, 張 佳

(1. 蚌埠學(xué)院 理學(xué)院, 安徽 蚌埠 233030； 2. 伊犁師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 新疆 伊寧 835000；3. 西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院, 四川 南充 637009)

1 引言與預(yù)備知識

本文所有的群均為有限群, 所用術(shù)語和符號可參見文獻(xiàn)[1-2]. 特別地, |G|表示群G的階,p表示|G|的奇素因子, |G|p表示|G|的p-部分. 當(dāng)T≤G時,TG表示T在G中的柱心, 即其為包含在T中G的極大正規(guī)子群.M<·G表示M是G的一個極大子群,pU表示所有p-超可解群構(gòu)成的群類.

目前, 關(guān)于有限群的研究已取得了許多結(jié)果[3-7]. Vdovin等[8]研究了包含Hall子群的有限單群的一些性質(zhì), 即Eπ-群、Cπ-群和Dπ-群; Monakhov等[9]使用p-階可補子群研究了群的合成因子; Ballester-Bolinches等[10]利用G群中p′-子群H的可置換性研究了HG的主因子; Miao等[11]通過分析G的合成因子結(jié)構(gòu), 證明了G是可解的當(dāng)且僅當(dāng)G的Sylow 3-子群、 Sylow 5-子群和Sylow 7-子群在G中是可補的; 文獻(xiàn)[12]考慮了一類非可解群與M-可補子群之間的關(guān)系; 文獻(xiàn)[13]介紹了弱M-可補子群的概念, 推廣了M-可補子群[14]和c-正規(guī)子群[15]的概念, 并得到了一些關(guān)于可解群結(jié)構(gòu)的新刻畫.

6下面給出一個關(guān)于非可解群主因子結(jié)構(gòu)的實例： 考慮群T=C25×C25×C25×C25×C25和G=[T]S5, 是25階循環(huán)群和5階對稱群的圈積. 則G的每個主因子A/B都滿足下列條件之一：

1)A/B≤Φ(G/B);

2)A/B是5′-群；

3) |A/B|5=5.

定義1[13]設(shè)T是群G的子群, 如果存在G的子群B, 使得:

1)G=TB;

2) 若T1/TG是T/TG的極大子群, 則T1B=BT1

則稱T是群G的弱M-可補子群. 這里TG是T在G中的柱心.

本文利用奇素數(shù)階的弱M-可補子群給出群主因子的一些新刻畫, 并確定群非交換主因子的分類.

引理1[11]設(shè)G是有限群, 則：

1) 若T在G中弱M-可補,T≤M≤G, 則T在M中是弱M-可補的；

3) 令π是一個素數(shù)集, 設(shè)K是G的正規(guī)π′-子群, 且T是G的π-子群, 若T在G中弱M-可補, 則TK/K在G/K中弱M-可補；

4) 設(shè)R是G的可解極小正規(guī)子群,R1是R的極大子群, 若R1在G中弱M-可補, 則R是素數(shù)階循環(huán)群；

5) 設(shè)p是|G|的素因子,P是G的p-子群, 若P在G中弱M-可補, 則存在G的子群B, 使得對于P的任意包含PG的極大子群P1, 有|G∶P1B|=p.

引理2[16]設(shè)T≤G, 且Ω為T在G中的右陪集, 則G/TG同構(gòu)于Sym(Ω)的一個子群. 特別地, 如果|G∶T|=n, 則G/TG同構(gòu)于Sn的一個子群.

引理4[17]設(shè)N是群G的一個非平凡可解正規(guī)子群, 如果N∩Φ(G)=1, 則N的Fitting子群F(N)是G的包含在N中極小正規(guī)子群的直積.

引理5[1]設(shè)K和N是群G的正規(guī)子群,N≤K且K是冪零的, 如果K/N≤Φ(G/N), 則K≤Φ(G)N.

引理6[18]設(shè)p是素數(shù),E是群G的正規(guī)子群,p整除|E|,P是E的一個Sylowp-子群. 如果p階或4階(若p=2或P是非交換的)P的每個循環(huán)子群在G中都是Π-正規(guī)的, 則E≤ZpU(G).

引理7[9]設(shè)G不是p-可解群,p∈π(G). 如果任意p階子群在G中可補, 則G非交換的pd-合成因子A/B同構(gòu)于下列群之一：

1)A/B?PSL(2,7)且p=7；A/B?PSL(2,11)且p=11；

2)A/B?PSL(2,2t)且p=2t+1>3是Fermat素數(shù)；

3)A/B?PSL(n,q),n是大于2的素數(shù), (n,q-1)=1且p=qn-1/q-1；

4)A/B?M11且p=11；A/B?M23且p=23；

5)A/B?Ap且p≥5.

引理8[12]設(shè)P是群G的一個Sylowp-子群,p∈π(G). 假設(shè)1

1)A/B?PSL(2,7)且p=7；A/B?PSL(2,11)且p=11；

2)A/B?PSL(2,2t)且p=2t+1>3是Fermat素數(shù)；

3)A/B?PSL(n,q),n是大于2的素數(shù), (n,q-1)=1且p=qn-1/q-1；

4)A/B?M11且p=11；A/B?M23且p=23；

5)A/B?Ap且p≥5.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)H是G的正規(guī)子群,P是H的Sylowp-子群, 其中p是|H|的奇素因子. 如果P的每個極小子群(H∈Ep′,P的每個極大子群)在G中是弱M-可補的, 則H中的每個非交換pd-合成因子A/B都滿足引理8中的條件1)～5)之一.

證明： 用極小階反例法. 假設(shè)結(jié)論不真, (G,H)為滿足條件且|G||H|為極小的反例. 顯然, 因為p-可解群的pd-合成因子都是交換的, 且是p階的, 所以H是非p-可解群. 若Op′(H)≠1, 則由引理1可知, 商群G/Op′(H)滿足假設(shè)條件. 因此, 由極小階反例知,H/Op′(H)中的每個非交換pd-合成因子都滿足結(jié)論. 進(jìn)而,H中的每個非交換pd-合成因子都滿足結(jié)論, 矛盾. 因此,Op′(H)=1. 下面分兩種情形證明.

情形1)P的每個極小子群在G中都是弱M-可補的.

如果P的每個極小子群L都是G的正規(guī)子群, 則由引理6知(G,H)成立, 矛盾. 如果P的每個極小子群L都在G中可補, 則由引理7知(G,H)成立, 即H中的每個非交換pd-合成因子都滿足結(jié)論, 矛盾. 下面選擇G的極小子群R. 根據(jù)假設(shè),R在G中可補, 并且存在G的極大子群M, 使得G=RM,R∩M=1. 此外, 由引理2知,G/MG同構(gòu)于Sp的一個子群.

如果MG=1, 則G同構(gòu)于Sp的一個子群. 由于Sp的每個Sylowp-子群都是p階的, 且在Sp中可補, 因此由引理7知,G的每個Sylowp-子群及H的任一非交換pd-合成因子A/B必滿足上述條件之一, 矛盾. 如果MG≠1, 則

H/H∩MG?HMG/MG≤G/MG

同構(gòu)于Sp的一個子群. 由于H∩MG≤H, 由(G,H)的選擇可知(G,H∩MG)滿足假設(shè), 且H∩MG的每個非交換pd-合成因子都滿足上述條件之一. 因此, 由引理8可知,H/H∩MG任一非交換pd-合成因子都滿足上述條件之一. 從而H的任一非交換pd-合成因子都滿足上述條件之一, 矛盾.

情形2)P的任一極大子群在G中弱M-可補且H∈Ep′.

由引理8可知,Ep′-群集合對于正規(guī)子群、 商群是封閉的.

定理2設(shè)H是G的正規(guī)子群,P是H的一個Sylowp-子群,p是|H|的奇素因子. 如果P的任一極大子群在G中弱M-可補, 則H中的每個G-主因子A/B都滿足下列條件之一：

1)A/B≤Φ(G/B)；

2)A/B是p′-群；

3) |A/B|p=p.

證明： 用極小階反例法. 假設(shè)結(jié)論不真, (G,H)為滿足假設(shè)且|G||H|極小的反例. 下面分兩種情形討論.

情形1)Op(H)=1.

如果H∩T=1, 則由H?HT/T≤G/T同構(gòu)于Sp×Sp×…×Sp的一個子群易得矛盾. 下面假設(shè)H∩T≠1. 如果|(H∩T)p|<|P1|, 則存在P的極大子群U, 使得(H∩T)p

U=(H∩T)pU1,

G=US=(H∩T)pU1S=U1S,

矛盾. 此外, 根據(jù)引理1,U∩(H∩T)≤Φ(U)且H∩T是p-冪零的. 如果(H∩T)p′≠1, 則由引理1中3)及(G,H)的選擇可知, (G/(H∩T)p′,H/(H∩T)p′)成立, 從而(G,H)成立, 矛盾. 因此,H∩T是一個p-群, 其與Op(H)=1和H∩T≠1矛盾. 如果|(H∩T)p|=|P1|, 則存在P的極大子群X, 使得X≤T. 因為X在G中M-可補, 從而存在G的子群K, 使得G=XK, 且對X的任一極大子群Xi, 都有XiK

X≤T,X≤(XiK)G≤XiK,XiK=G,

與XiK

情形2)Op(H)≠1.

假設(shè)Op(H)∩Φ(G)≠1, 則在Op(H)∩Φ(G)中存在G的極小正規(guī)子群R. 如果|R|=|P|, 則H/R是p′-群, 從而(G,H)成立, 即H中的每個G-主因子都滿足結(jié)論, 矛盾. 因此|R|<|P|, 并且存在P的極大正規(guī)子群P1, 使得R≤P1. 由引理1中2)及(G,H)的極小性可知, (G/R,H/R)成立. 又因為R≤Φ(G), 所以H中的每個G-主因子都滿足結(jié)論, 矛盾.

下面假設(shè)Op(H)∩Φ(G)=1. 若Φ(Op(G))≠1, 則由引理4可知, 對G包含在Op(H)中的極小正規(guī)子群L1,…,Lt,Op(H)=L1×…×Lt.

斷言O(shè)p(H)是G的極小正規(guī)子群. 否則, 可選擇G包含在Op(H)中兩個不同的極小正規(guī)子群L1和L2, 由引理1中2)及(G,H)的選擇可知, (G/Li,H/Li)(i=1,2)成立. 如果L1L2/L2≤Φ(G/L2), 則由引理5可得L1L2≤Φ(G)L2. 因為L1L2≤Op(H), 所以

L1L2≤Op(H)∩Φ(G)L2=(Op(H)∩Φ(G))L2=L2,

矛盾. 由L1≤Op(H)和L1?L1L2/L2知, |L1|=p, 從而(G,H)成立, 即H中的每個G-主因子都滿足結(jié)論, 矛盾.

L

矛盾. 因此(P2)G=1. 由假設(shè)知,P2在G中M-可補, 從而存在G的子群K2, 使得G=P2K2, 且有WK2

由定理1和定理2, 可得本文的主要結(jié)果：

定理3設(shè)H是G的正規(guī)子群,H∈Ep′,P是H的Sylowp-子群, 其中p是|H|的奇素因子. 如果P的每個極大子群都在G中是弱M-可補的, 則H中的每個非交換pd-G-主因子A/B都滿足引理8中的條件1)～5)之一.

推論1設(shè)G是p-可解群,P是G的Sylowp-子群, 其中p是|G|的奇素因子. 如果P的每個極大子群在G中都是弱M-可補的, 則G∈pU.

推論2設(shè)E是G的p-可解正規(guī)子群,P是E的Sylowp-子群, 其中p是|E|的奇素因子. 如果P的每個極大子群在G中都是弱M-可補的, 則

E/Op′(E)≤ZpUΦ(G/Op′(E)).

定理4設(shè)E是G的正規(guī)子群,P是E的Sylowp-子群, 其中p是|E|的奇素因子. 如果P的每個極小子群在G中都是弱M-可補的, 則E中的每個G-主因子A/B都滿足下列條件之一：

1)A/B是p′-群；

2) |A/B|p=p.

證明： 假設(shè)結(jié)論不真, 且對于|G||E|極小的(G,E)為極小階反例. 設(shè)δ={M<·G| |G∶M|=p}, 對任意M∈δ,T=∩MG. 下面分3種情形證明.

情形1)P中任一極小子群L在G中正規(guī).

如果P中任一極小子群L在G中正規(guī), 則由引理6知(G,E)成立, 矛盾.

情形2)P中任一極小子群L在G中可補.

如果P中任一極小子群L在G中可補, 則存在G的子群M, 使得G=LM,L∩M=1. 根據(jù)引理2,G/T同構(gòu)于Sp×Sp×…×Sp的子群. 如果T=1, 則由引理2知,E同構(gòu)于Sp×Sp×…×Sp的一個子群, 從而(G,E)成立, 矛盾. 因此T≠1.

斷言E∩T≠1. 否則,E∩T=1, 且E?ET/T≤G/T同構(gòu)于Sp×Sp×…×Sp的子群, 矛盾. 進(jìn)一步, 斷言E∩T是一個p′-群. 否則存在包含于P中E∩T的子群H, 其中|H|=p. 根據(jù)假設(shè), 存在M1∈δ, 使得G=HM1=M1, 矛盾. 由引理1中3)知, (G/(E∩T)p′,E/(E∩T)p′)成立, 從而(G,E)成立, 矛盾.

情形3) 存在P的一些極小子群在G中正規(guī), 且其他子群在G中可補.

根據(jù)情形1)和情形3)的假設(shè), 顯然E∩T

如果E∩T=1, 則E?ET/T≤G/T同構(gòu)于Sp×Sp×…×Sp的子群, 矛盾. 假設(shè)1

由定理1和定理4可得：

定理5設(shè)H是G的正規(guī)子群,H∈Ep′,P是H的Sylowp-子群, 其中p是|H|的奇素因子. 如果P的每個極小子群在G中都是弱M-可補的, 則H中的每個非交換pd-G-主因子A/B都滿足引理8中的條件1)～5)之一.

推論3設(shè)G是p-可解群,P是H的Sylowp-子群, 其中p是|H|的奇素因子. 如果P的每個極小子群在G中都是弱M-可補的, 則G∈pU.

推論4設(shè)E是G的p-可解正規(guī)子群,P是E的Sylowp-子群, 其中p是|E|的奇素因子. 如果P的每個極小子群在G中都是弱M-可補的, 則E/Op′(E)≤ZpU(G/Op′(E)).

3 應(yīng) 用

由定理1～定理5可得如下推論：

推論5[19]設(shè)G是p-可解群,P是G的Sylowp-子群, 其中p是|G|的奇素因子. 如果P的每個極大子群在G中都是弱M-可補的, 則G∈pU.

推論6設(shè)G是p-可解群,P是G的Sylowp-子群, 其中p是|G|的奇素因子. 如果P的每個極大子群在G中都是c-正規(guī)的, 則G∈pU.

推論7設(shè)E是G的p-可解正規(guī)子群,P是E的Sylowp-子群, 其中p是|E|的奇素因子. 如果P的每個極小子群在G中都是M-可補的, 則E/Op′(E)≤ZpU(G/Op′(E)).

推論8設(shè)E是G的p-可解正規(guī)子群,P是E的Sylowp-子群, 其中p是|E|的奇素因子. 如果P的每個極小子群在G中都是c-正規(guī)的, 則E/Op′(E)≤ZpU(G/Op′(E)).

感謝日本千葉大學(xué)李想教授對張佳博士提供合作項目的支持及悉心指導(dǎo).