尖點(diǎn)突變理論在邊坡抗震穩(wěn)定分析中的應(yīng)用

于 勉

(高郵市水利建筑安裝工程總公司，江蘇 高郵 225600 )

當(dāng)使用強(qiáng)度折減法[1- 3]進(jìn)行邊坡動(dòng)力穩(wěn)定分析時(shí)，結(jié)果的準(zhǔn)確性與所用失穩(wěn)判據(jù)關(guān)系密切。塑性區(qū)貫通、迭代不收斂和關(guān)鍵點(diǎn)位移突變判據(jù)是目前常用的動(dòng)力失穩(wěn)判據(jù)。其中，塑性區(qū)貫通無(wú)明確客觀指標(biāo)；迭代不收斂在動(dòng)力工況下的不收斂判定標(biāo)準(zhǔn)尚不明確和統(tǒng)一；關(guān)鍵點(diǎn)位移突變判據(jù)對(duì)突變點(diǎn)位置的判定受主觀因素影響較大。為了使關(guān)鍵點(diǎn)位移突變判據(jù)結(jié)果更為客觀，部分學(xué)者利用尖點(diǎn)突變理論來(lái)判定位移突變位置，如宋鑫華、包太等[4]運(yùn)用尖點(diǎn)突變理論研究土質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性；史俊濤、孔思麗等[5]將尖點(diǎn)突變模型運(yùn)用到非均質(zhì)土坡穩(wěn)定分析中，結(jié)果表明：尖點(diǎn)突變模型求解出的安全系數(shù)精度較高；戴妙林、李強(qiáng)偉等[6]將尖點(diǎn)突變理論分別應(yīng)用于均質(zhì)土坡和巖質(zhì)邊坡，結(jié)果表明：尖點(diǎn)突變模型計(jì)算出的安全系數(shù)與極限平衡法計(jì)算出的結(jié)果相近，其在均質(zhì)土坡和巖質(zhì)邊坡中的應(yīng)用是可行的。但目前尖點(diǎn)突變理論在邊坡抗震穩(wěn)定分析中的應(yīng)用較少，文章將尖點(diǎn)突變理論應(yīng)用于邊坡動(dòng)力分析中，通過(guò)建立坡頂關(guān)鍵點(diǎn)水平向震后殘余位移與強(qiáng)度折減系數(shù)的尖點(diǎn)突變模型，進(jìn)而定量給出邊坡的動(dòng)力安全系數(shù)，并將計(jì)算結(jié)果與塑性區(qū)貫通判據(jù)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以此說(shuō)明尖點(diǎn)突變理論在邊坡抗震穩(wěn)定分析中的應(yīng)用是可行的。

1 計(jì)算理論與方法

1.1 強(qiáng)度折減法

強(qiáng)度折減法固定地震荷載不變，把邊坡現(xiàn)狀抗剪強(qiáng)度參數(shù)(c，φ)等比例折減k倍，然后用折減之后的邊坡抗剪強(qiáng)度參數(shù)(c1，φ1)進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析，計(jì)算公式如下：

(1)

定義使邊坡達(dá)到臨界動(dòng)力失穩(wěn)狀態(tài)時(shí)對(duì)邊坡抗剪強(qiáng)度參數(shù)(c，φ)的折減程度k為動(dòng)力安全系數(shù)。

1.2 失穩(wěn)突變模型

為避免人為判斷震后殘余位移突變點(diǎn)位置產(chǎn)生誤差，通過(guò)構(gòu)造尖點(diǎn)突變模型[7]用數(shù)學(xué)判別式來(lái)定量搜尋突變點(diǎn)的位置。假設(shè)震后殘余位移E是隨邊坡動(dòng)力折減系數(shù)k變化的連續(xù)函數(shù)，并進(jìn)行四次泰勒級(jí)數(shù)展開，則

E=f(k)=a4k4+a3k3+a2k2+a1k+a0

(2)

E=b4c4+b2c2+b1c+b0

(3)

式中，

(4)

對(duì)式(4)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，即得平衡曲面方程

x3+ux+v=0

(5)

其分差集方程為

4u3+27v2=0

(6)

令

Δ=4u3+27v2

(7)

當(dāng)Δ>0時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)Δ=0時(shí)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)；當(dāng)Δ<0時(shí)，系統(tǒng)失穩(wěn)破壞。

2 算例分析

2.1 計(jì)算模型

邊坡尺寸及有限元模型分別如圖1、圖2所示，強(qiáng)度準(zhǔn)則選取Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，具體材料參數(shù)見(jiàn)表1。

圖1 邊坡模型尺寸

圖2 有限元計(jì)算模型

表1 邊坡材料物理力學(xué)參數(shù)表

文章基于規(guī)范反應(yīng)譜[8]以阻尼比5%，動(dòng)力放大系數(shù)βmax=2.5合成一組水平向峰值加速度為0.2g和豎向峰值加速度為0.133g人造地震波。人造波持時(shí)20s，計(jì)算步數(shù)為2000，步長(zhǎng)0.01s，如圖3所示。

圖3 地震加速度時(shí)程曲線

文章采用黏彈性邊界[9]來(lái)模擬遠(yuǎn)域地基輻射阻尼對(duì)地震波的影響，并將地震波轉(zhuǎn)換成等效節(jié)點(diǎn)力[10]施加在邊界上。

2.2 位移突變判據(jù)

提取關(guān)鍵點(diǎn)A的水平向震后殘余位移并分繪制其與動(dòng)力折減系數(shù)的關(guān)系曲線(圖4)，從圖4中可以看出關(guān)鍵點(diǎn)A位移突變的位置處于k=1.35～1.4之間，具體突變位置需根據(jù)尖點(diǎn)突變理論來(lái)判定。

圖4 關(guān)鍵點(diǎn)水平向殘余位移與動(dòng)力折減系數(shù)關(guān)系曲線

圖5和圖6分別為k=1.38和k=1.39時(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)殘余位移與動(dòng)力折減系數(shù)的擬合曲線，可以看出兩條擬合曲線的R2分別為0.9979和0.9946，都很接近1，說(shuō)明擬合效果較好。

圖5 k=1.38時(shí)關(guān)鍵點(diǎn)水平向殘余位移與動(dòng)力折減系數(shù)擬合曲線

圖6 k=1.39時(shí)關(guān)鍵點(diǎn)水平向殘余位移與動(dòng)力折減系數(shù)擬合曲線

根據(jù)圖5，當(dāng)動(dòng)力折減系數(shù)k=1.38時(shí)，根據(jù)式(2)～式(7)對(duì)前10個(gè)包括k=1.38共11個(gè)動(dòng)力折減系數(shù)進(jìn)行四次多項(xiàng)式擬合，得到下式：

E=54.385k4-248.1k3+423.66k2-
320.83k+90.895

(8)

簡(jiǎn)化后代入式(4)得突變模型標(biāo)準(zhǔn)式：

(9)

得到：Δ=4u3+27v2=4·(-0.10443)+27·0.03042=0.02。

根據(jù)圖6，當(dāng)動(dòng)力折減系數(shù)k=1.39時(shí)，同上，對(duì)前12個(gè)包括k=1.39共13個(gè)動(dòng)力折減系數(shù)進(jìn)行四次多項(xiàng)式擬合，得到下式：

E=80.397k4-370.14k3+637.46k2-
486.62k+138.91

(10)

簡(jiǎn)化后代入式(4)得突變模型標(biāo)準(zhǔn)式：

(11)

得到：Δ=4u3+27v2=4·(-0.17553)+27·0.02352=-0.0067。

結(jié)果顯示：當(dāng)k=1.38時(shí),Δ=0.02>0，此時(shí)邊坡結(jié)構(gòu)穩(wěn)定；當(dāng)k=1.39時(shí),Δ=-0.0067<0，此時(shí)邊坡失穩(wěn)破壞。所以邊坡動(dòng)力安全系數(shù)處于1.38～1.39之間，為了安全考慮，動(dòng)力安全系數(shù)定為1.38。

2.3 塑性區(qū)貫通判據(jù)

隨著折減系數(shù)的增大，巖土材料在不斷軟化，塑性區(qū)從邊坡最薄弱的地方慢慢開展直至貫通。如圖7所示，當(dāng)k=1時(shí)，塑性區(qū)只產(chǎn)生于坡腳一小塊區(qū)域內(nèi)，隨著k的不斷增大，塑性區(qū)慢慢向坡頂擴(kuò)展；當(dāng)k=1.32時(shí)，塑性區(qū)延伸到坡頂，邊坡產(chǎn)生了貫通坡頂和坡腳的滑裂帶。

圖7 邊坡塑性應(yīng)變?cè)茍D

由塑性區(qū)貫通判據(jù)計(jì)算出的邊坡安全系數(shù)為1.32，小于位移突變判據(jù)給出的安全系數(shù)1.38，說(shuō)明塑性區(qū)剛剛貫通時(shí)，邊坡還具有一定的承載力，并未整體失穩(wěn)，正好印證了塑性區(qū)貫通是邊坡失穩(wěn)的必要非充分條件這一觀點(diǎn)[11]。

3 結(jié)論

(1)通過(guò)建立坡頂關(guān)鍵點(diǎn)水平向震后殘余位移與折減系數(shù)的尖點(diǎn)突變模型，可以定量給出邊坡的動(dòng)力安全系數(shù)，所得結(jié)果稍大于塑性區(qū)貫通判據(jù)結(jié)果，證明了尖點(diǎn)突變模型在邊坡動(dòng)力穩(wěn)定分析中的應(yīng)用是可行的。

(2)由于邊坡動(dòng)力問(wèn)題的復(fù)雜性，建議在確定邊坡動(dòng)力安全系數(shù)時(shí)綜合運(yùn)用位移突變判據(jù)和塑性區(qū)貫通判據(jù)。