基于變分正則化的混合泊松-高斯噪聲圖像去噪方法綜述

?；圪e，張 婕

（天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

在圖像觀測(cè)中，實(shí)際圖像在其形成、傳輸、接收或處理過程中會(huì)受到內(nèi)部因素或外部因素的干擾，進(jìn)而產(chǎn)生噪聲，此外，輸導(dǎo)過程中產(chǎn)生的誤差或其他人為因素也會(huì)對(duì)圖像造成不同程度的噪聲干擾.噪聲嚴(yán)重影響了圖像的視覺質(zhì)量和效果，給圖像融合、目標(biāo)識(shí)別和特征提取等后續(xù)的處理與分析工作帶來極大不便.去除圖像的噪聲，還原其原本的特征，是圖像處理領(lǐng)域中的一個(gè)重要問題.在眾多類型的噪聲中，高斯噪聲（Gaussian noise）由于在數(shù)學(xué)上的易處理性而被廣泛關(guān)注和研究.然而，在許多實(shí)際應(yīng)用中，噪聲分布更加復(fù)雜，高斯噪聲無法對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確模擬.近年來，許多研究開始關(guān)注非高斯噪聲的去除問題，大量的非高斯噪聲去噪模型被提出[1-3]，其中，基于變分正則化方法的圖像去噪模型，因其易于與圖像特征信息相結(jié)合，便于圖像信息向連續(xù)函數(shù)轉(zhuǎn)換，以及具有完備的數(shù)學(xué)理論等獨(dú)特優(yōu)勢(shì)而受到廣泛關(guān)注[4-6].

由于光子計(jì)數(shù)和熱噪聲對(duì)探測(cè)器的影響，觀測(cè)到的圖像往往會(huì)受到混合型的泊松-高斯噪聲（mixed Poisson-Gaussian noise）的破壞，因此混合泊松-高斯噪聲的去噪問題被廣泛研究[7-12].處理混合泊松-高斯噪聲通常使用基于最大后驗(yàn)估計(jì)（maximum a posteriori，MAP）的方法.如，文獻(xiàn)[13]利用MAP方法結(jié)合混合泊松-高斯噪聲的性質(zhì)提出了一個(gè)精確的泊松-高斯估計(jì)模型，證明了泊松-高斯噪聲的非負(fù)對(duì)數(shù)似然（negative log-likelihood）函數(shù)模型的凸性及其梯度的利普希茨連續(xù)性（Lipschitz differentiability），并提出了一個(gè)收斂的原始-對(duì)偶算法.為了選擇一個(gè)較為準(zhǔn)確的混合泊松-高斯噪聲模型，文獻(xiàn)[14]提出了一個(gè)基于全變分（TV）正則化的非光滑的PDE約束的優(yōu)化策略.由于利用數(shù)學(xué)方法直接對(duì)混合泊松-高斯噪聲模型進(jìn)行處理比較困難，為了簡(jiǎn)化估計(jì)，很多研究通常會(huì)利用簡(jiǎn)單的變換忽略泊松噪聲部分或者高斯噪聲部分，之后利用處理單一類型噪聲的方法對(duì)混合泊松-高斯噪聲進(jìn)行處理.如，文獻(xiàn)[15]提出了一個(gè)加權(quán)l(xiāng)2模型，該方法利用加權(quán)的高斯噪聲對(duì)泊松噪聲部分進(jìn)行估計(jì).此外，文獻(xiàn)[16]使用Shifted-Poisson的方法來估計(jì)混合泊松-高斯噪聲，通過對(duì)噪聲圖像進(jìn)行平移變換將混合泊松-高斯噪聲去噪問題轉(zhuǎn)化為泊松去噪問題.文獻(xiàn)[17-18]提出一種廣義的Anscombe變換來處理混合泊松-高斯噪聲，針對(duì)此變換，文獻(xiàn)[19]提出了一個(gè)無偏差的逆變換，大大改善了處理效果.文獻(xiàn)[20]提出了一種基于均方誤差（MSE）的線性擴(kuò)展閾值（LET）的純數(shù)據(jù)自適應(yīng)無偏估計(jì)（Poisson-Gaussian unbiased risk estimate，PURE）模型，該模型是在非貝葉斯框架下提出的.有一些較有意思的工作是基于廣義的聯(lián)合MAP估計(jì)的方法，證明了去除高斯噪聲的ROF模型[21]可以與針對(duì)泊松噪聲導(dǎo)出的TV-KL模型[1]結(jié)合在一起對(duì)混合泊松-高斯噪聲進(jìn)行處理.如，文獻(xiàn)[22]針對(duì)相應(yīng)模型提出了一個(gè)原始-對(duì)偶迭代算法；文獻(xiàn)[2]提出了TV-IC模型，其本質(zhì)上是通過松弛2個(gè)保真項(xiàng)之間的關(guān)系對(duì)文獻(xiàn)[22]的工作進(jìn)行了擴(kuò)展.最近，研究者將興趣集中在設(shè)計(jì)變分正則化模型的快速算法.如，文獻(xiàn)[23]設(shè)計(jì)了針對(duì)精確混合泊松-高斯噪聲模型求解的交替方向乘子（alternating direction method of multipliers，ADMM）算法；文獻(xiàn)[24]通過引入雙線性約束對(duì)TV-IC模型進(jìn)行改寫，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了不含內(nèi)迭代的快速ADMM算法.

正則項(xiàng)的選擇對(duì)于去噪效果有非常重要的影響.1992年，Rudin等[21]提出了基于變分法的TV正則化方法，該方法在去除圖像噪聲的同時(shí)，可以有效地保留圖像的邊界或輪廓等特征[24]，從而盡可能使去噪后的圖像與原始圖像相似，在此基礎(chǔ)上，大量的基于TV正則項(xiàng)的去噪模型被提出[2，22，26].

雖然TV正則項(xiàng)被廣泛應(yīng)用于圖像去噪中，但在實(shí)際應(yīng)用中，TV正則項(xiàng)容易引起階梯效應(yīng)（staircasing effect）.一種去除階梯效應(yīng)的方法是利用圖像梯度的Huber范數(shù)代替原有圖像梯度的歐幾里得范數(shù)，由此便導(dǎo)出了Huber正則項(xiàng)[27]，其應(yīng)用于圖像去噪的效果在文獻(xiàn)[28]中被證明；另一種去除階梯效應(yīng)的方法是利用以黑賽矩陣為基礎(chǔ)結(jié)合全變分方法的正則項(xiàng)（TVH正則項(xiàng)）[29-30]，該方法不僅能防止階梯效應(yīng)產(chǎn)生，而且可以對(duì)圖像強(qiáng)度的空間變化進(jìn)行更好地估計(jì).此外，非局部全變分（NLTV）正則項(xiàng)[31]也常應(yīng)用于圖像去噪中，該正則項(xiàng)與圖像驅(qū)動(dòng)的梯度方向有關(guān).字典學(xué)習(xí)K-SVD[32]和基于塊匹配的濾波技術(shù)BM3D[33]進(jìn)一步結(jié)合了圖像塊的稀疏性，也取得了較大的成功.近年來，隨著深度學(xué)習(xí)技術(shù)的發(fā)展，一些研究[34]基于深度學(xué)習(xí)思想的正則化提出了新的去噪方法.總之，依據(jù)圖像噪聲的特性來設(shè)計(jì)合適的正則項(xiàng)是研究圖像去噪技術(shù)的重點(diǎn)之一.

本文主要對(duì)基于變分法的混合泊松-高斯噪聲去噪模型及相應(yīng)算法進(jìn)行綜述，介紹了幾類具有代表性的基于變分正則化方法的混合泊松-高斯噪聲去噪模型，并總結(jié)了求解模型的常用高效數(shù)值算法，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)評(píng)估了不同模型的去噪效果，最后，討論了該研究領(lǐng)域存在的某些問題，并對(duì)其發(fā)展方向進(jìn)行了展望.

1 混合泊松-高斯噪聲去噪模型

首先，簡(jiǎn)要介紹圖像去噪建模中常用的MAP方法及單一噪聲處理模型；然后，重點(diǎn)介紹基于變分正則化的幾個(gè)重要的混合泊松-高斯噪聲去噪模型：（1）基于MAP估計(jì)的精確泊松-高斯噪聲估計(jì)模型[13]；（2）通過一些簡(jiǎn)單代數(shù)變換轉(zhuǎn)化為單一類型噪聲的模型，如加權(quán)l(xiāng)2模型[10，15，35-36]、Shifted Poisson模型[16，37]、廣義的Anscombe變換模型[17，19]；（3）基于泊松-高斯數(shù)據(jù)的PURE模型[20]；（4）基于廣義MAP估計(jì)的TV-IC模型[2，22].

1.1 MAP方法及單噪聲處理模型

圖像去噪一類重要的方法是基于統(tǒng)計(jì)理論范疇的.考慮到貝葉斯理論[38-39]的重要性，本節(jié)主要對(duì)基于貝葉斯估計(jì)的圖像去噪建模方法進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹.設(shè)f為給定的被噪聲污染的圖像，u為原始的干凈圖像，則貝葉斯定理可以表述為

其中：p（f|u）為似然密度函數(shù)；p（u）為原始干凈圖像的先驗(yàn)密度函數(shù)；p（u|f）為后驗(yàn)密度函數(shù).MAP估計(jì)就是在觀測(cè)圖像f已知的條件下求出使后驗(yàn)密度函數(shù)p（u|f）取最大值的原始圖像u.由于p（f）已知，故對(duì)式（1）求p（u|f）的最大值即求下式的最大值，

式（2）兩端取負(fù)對(duì)數(shù)得

將其與相應(yīng)噪聲的概率密度函數(shù)及圖像先驗(yàn)?zāi)Ｐ拖嘟Y(jié)合，即可得到對(duì)應(yīng)的變分圖像模型.利用此方法，可推導(dǎo)出去除單一高斯噪聲的ROF模型[21]

和去除單一泊松噪聲的TV-KL模型[1]

式（4）和式（5）中，‖·‖2表示L2空間范數(shù)，由Gibbs先驗(yàn)導(dǎo)出的項(xiàng)稱為模型的TV正則項(xiàng)[21]，另外一項(xiàng)是由似然密度函數(shù)導(dǎo)出的項(xiàng)，稱為保真項(xiàng)（或數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)），其與噪聲的概率密度分布密切相關(guān).

1.2 混合泊松-高斯噪聲去噪模型

設(shè)u為原始干凈圖像，f為混合泊松-高斯噪聲污染的圖像，即：

其中：vi～Poisson（ui），ηi～N（0，σ2）.

基于MAP估計(jì)，文獻(xiàn)[13]給出了精確的泊松-高斯估計(jì)模型

其中R（u）為正則項(xiàng).該模型對(duì)于混合泊松-高斯噪聲的估計(jì)十分精確，但由于該模型需求解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的極小化問題，難以得到數(shù)值上的精確解，因此有較多工作研究低復(fù)雜度求解的近似模型，特別是借助簡(jiǎn)單的代數(shù)變換將混合噪聲轉(zhuǎn)化為單一噪聲，如加權(quán)l(xiāng)2模型、Shifted-Poisson模型、廣義的Anscombe變換模型等.

加權(quán)l(xiāng)2模型最早應(yīng)用于圖像的泊松噪聲去除，其本質(zhì)思想是將噪聲理解為一個(gè)外加的擾動(dòng)，利用高斯分布對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，相應(yīng)的模型為

廣義Anscombe變換模型[17-18]是基于對(duì)泊松分布數(shù)據(jù)“高斯化”的非線性變換[40]（即Anscombe變換）的推廣而得到的，具體的變換公式為

其中α為權(quán)重.此變換可將混合泊松-高斯噪聲的去噪問題轉(zhuǎn)化為高斯噪聲去噪問題，因而一些針對(duì)高斯噪聲的精確去噪模型[21，41]均可使用.進(jìn)一步，為了使該模型的計(jì)算結(jié)果更精確，文獻(xiàn)[19，42]提出了相應(yīng)的準(zhǔn)確的無偏逆變換，文獻(xiàn)[43]提供了混合泊松-高斯噪聲污染的熒光顯微圖像集，并利用廣義的Anscombe變換法進(jìn)行了去噪實(shí)驗(yàn)，將上述方法運(yùn)用到了實(shí)際數(shù)據(jù)分析中.

與上述2種模型不同，Shifted-Poisson模型利用泊松分布估計(jì)混合泊松-高斯噪聲中符合高斯分布的部分，將混合泊松-高斯噪聲去噪問題轉(zhuǎn)化為單純的泊松去噪問題，相應(yīng)的模型為

上述3種模型都是利用簡(jiǎn)單的估計(jì)，忽略混合噪聲中的泊松噪聲部分或高斯噪聲部分，利用單一型噪聲模型對(duì)混合型噪聲進(jìn)行估計(jì)，這使得相應(yīng)的模型求解變得簡(jiǎn)單快速，但這類模型對(duì)混合噪聲的估計(jì)并不精確，因而它們的去噪效果還有進(jìn)一步提升的空間.

的最小值.在實(shí)踐中，顯然不能得到干凈的原圖像u，所以真實(shí)的MSE值也無法得出并最小化.然而，借助泊松分布或高斯分布的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，可以導(dǎo)出一個(gè)MSE值的無偏差估計(jì)

文獻(xiàn)[20]由此給出了去除混合泊松-高斯噪聲的PURE模型，該模型的求解主要使用LET方法，進(jìn)而得到PURE-LET求解方法[20].

基于廣義的聯(lián)合MAP估計(jì)，文獻(xiàn)[2，22]結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)Stirling估計(jì)[44-45]提出了TV-IC模型

其中χν（v）為集合ν={v：vi≥0，?i}的示性函數(shù)，即

該模型與精確估計(jì)模型類似，都是從MAP估計(jì)出發(fā)，且形式較為簡(jiǎn)單，因而TV-IC模型是目前計(jì)算代價(jià)較低，去噪效果較好的一個(gè)模型.該模型的推導(dǎo)過程運(yùn)用了標(biāo)準(zhǔn)的Stirling估計(jì)，即利用Stirling公式的前2項(xiàng)來近似MAP估計(jì)中出現(xiàn)的lnvi!項(xiàng)，在vi的值較小時(shí)容易造成較大誤差，因此，尋找更優(yōu)的lnvi!的估計(jì)將會(huì)有效改進(jìn)算法的圖像重建質(zhì)量.

1.3 模型小結(jié)

對(duì)前述各類基于變分法模型的保真項(xiàng)的具體形式進(jìn)行簡(jiǎn)單總結(jié)，具體見表1，包括精確泊松-高斯估計(jì)模型（EPG）、Shifted-Poisson模型（SP）、廣義的Anscombe變換模型（GAT）、PURE模型、加權(quán)l(xiāng)2模型（wl2）和TVIC模型.

表1 各種模型的保真項(xiàng)Tab.1 Fidelity terms of the models

由于篇幅有限，本文未覆蓋EXP模型[10]、基于最小誤差估計(jì)的MMSE模型[46]、將ROF與TV-KL相結(jié)合的模型[8].此外，隨著深度學(xué)習(xí)技術(shù)的發(fā)展，一些研究者開始利用深度學(xué)習(xí)技術(shù)進(jìn)行圖像去噪[34，47].

2 求解混合泊松-高斯噪聲模型的常用算法

本節(jié)介紹求解混合泊松-高斯噪聲變分正則化模型的一階優(yōu)化算法，包括原始-對(duì)偶算法[22，48-49]、交替方向乘子（ADMM）算法[50]（與之等價(jià)的有Split Bregman算法[15，48]）以及半光滑牛頓（semi-smooth Newton，SSN）算法[2，14，51-52]等.

2.1 原始-對(duì)偶算法

原始-對(duì)偶算法是計(jì)算鞍點(diǎn)問題的一類有效算法，也被成功用于求解混合泊松-高斯噪聲去噪模型，包括TV-IC模型[22]和精確的泊松-高斯估計(jì)模型[13，53]等.下面以TV-IC模型的求解[22]為例介紹該算法.

引進(jìn)約束z=u對(duì)TV-IC模型進(jìn)行改寫，并將原始-對(duì)偶算法應(yīng)用于該最優(yōu)化問題的計(jì)算，

引入TV范數(shù)的預(yù)對(duì)偶形式[54]，上述問題可以變成如下最大-最?。ɑ虬包c(diǎn)）問題

其中：div為散度，

為了求解該帶約束的最大-最小問題，進(jìn)一步引入拉格朗日乘子y建立如下增廣拉格朗日泛函優(yōu)化模型，以消去對(duì)變量z、u的約束，

其中

在具體進(jìn)行求解時(shí)，由于該算法在求解v子問題（20）時(shí)涉及一個(gè)牛頓內(nèi)迭代，故該算法比較耗時(shí).后面會(huì)介紹一種新算法[24]，該算法通過引入雙線性約束來巧妙地規(guī)避此類問題.

2.2 ADMM算法

ADMM算法是圖像處理的常用算法之一，它結(jié)合了對(duì)偶分解[55]和增廣拉格朗日算法[56-58]的優(yōu)點(diǎn)，是求解帶約束優(yōu)化問題的一種有效算法.文獻(xiàn)[23]將ADMM算法應(yīng)用于精確混合泊松-高斯噪聲模型的求解.文獻(xiàn)[37]將其應(yīng)用于對(duì)懲罰加權(quán)的最小二乘模型的求解，該模型屬于加權(quán)l(xiāng)2模型中的一種.TV-IC模型是目前對(duì)于混合泊松-高斯噪聲刻畫較好，較為成熟的方法，文獻(xiàn)[24]通過引入雙線性約束改寫該模型，并利用ADMM算法求解新的模型，其相應(yīng)算法如下.

通過引入雙線性約束ui=viwi，將式（13）改寫為如下等價(jià)的約束優(yōu)化問題

顯然，此優(yōu)化問題中vilnvi消失，因此，可以針對(duì)具有顯式解的v子問題和w子問題設(shè)計(jì)快速算法.引入乘子Λ，上述約束優(yōu)化問題的廣義拉格朗日函數(shù)為

其中α>0為算法的罰參數(shù).

已知前一次的迭代值（uk，vk，wk），ADMM算法通過求解如下3個(gè)分別關(guān)于u、v、w的子問題及乘子更新得到新的迭代值（uk+1，vk+1，wk+1）：

u子問題為

其中1∈Rn是一個(gè)所有元素均為1的向量.這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的TV-L2問題[21]，可以利用針對(duì)原始-對(duì)偶形式的全變分最小化問題的梯度投影算法[54]進(jìn)行求解.

v子問題為

在這個(gè)最優(yōu)化問題中，可以分別對(duì)v的每一個(gè)元素進(jìn)行獨(dú)立求解，即可以考慮簡(jiǎn)化的優(yōu)化問題

v子問題的最優(yōu)解為

vk+1=max（?1，k+1）

其中

對(duì)應(yīng)于無約束最優(yōu)解.

w子問題為

這是一個(gè)凸優(yōu)化問題，其簡(jiǎn)化的優(yōu)化問題為

簡(jiǎn)化問題的最優(yōu)條件為

由此可得其顯式解為

由此可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化v子問題的計(jì)算，將式（31）寫為如下形式，

因此有

通過上述展示不難看出，基于雙線性約束的ADMM算法的每個(gè)子問題都具有閉形式的解，與文獻(xiàn)[22]中針對(duì)TV-IC模型設(shè)計(jì)的原始-對(duì)偶算法相比，該算法不包含任何內(nèi)迭代，計(jì)算速度更快，更有效.此外，在解決一些凸優(yōu)化問題及非凸優(yōu)化問題時(shí)，ADMM算法的收斂性及收斂速度均可得到[59].另一種常用的Split Bregman算法與之等價(jià)，文獻(xiàn)[15]利用Split Bregman算法求解了加權(quán)l(xiāng)2模型.

2.3 SSN算法

文獻(xiàn)[2]提出了TV-IC模型，并運(yùn)用SSN算法對(duì)其進(jìn)行了求解.為方便，文獻(xiàn)[2]用Huber正則函數(shù)[27]作為模型的正則項(xiàng)，并在模型中加入懲罰項(xiàng)來代替約束項(xiàng).原模型被改寫為如下形式

其中：‖Δu‖1，γ為Huber正則項(xiàng)，矩陣間的所有運(yùn)算均為對(duì)應(yīng)元素的點(diǎn)點(diǎn)運(yùn)算.上式對(duì)應(yīng)的最優(yōu)性條件為

其中：χFu和χFv分別為集合Fu={u：u＜0}和Fv={v：v＜0}的示性函數(shù).

2.4 算法小結(jié)

對(duì)于求解混合泊松-高斯噪聲變分正則化模型，一階優(yōu)化算法的優(yōu)點(diǎn)是每次迭代的代價(jià)較低，模型能夠在很少的迭代步數(shù)內(nèi)得到較好的重建圖像.

SSN算法收斂速度快，較少的幾步便可收斂到模型最優(yōu)解（誤差小于機(jī)器精度），但是其內(nèi)存消耗較大，每步的計(jì)算代價(jià)較高.因而，在將來的研究中，值得探索如何設(shè)計(jì)低求解復(fù)雜度、收斂速度快的新算法.同時(shí)，在算法推導(dǎo)的過程中，不可避免地引入了一些人工參數(shù)，這些參數(shù)影響了實(shí)際的圖像重建效果和算法的收斂速度.因而，在實(shí)現(xiàn)算法時(shí)不得不面臨調(diào)參的問題，影響了算法的推廣和應(yīng)用.

在現(xiàn)有的一階算法中，ADMM算法是目前圖像處理中常用的算法之一.近來一些學(xué)者將ADMM算法應(yīng)用于非凸優(yōu)化模型的求解[60-62].文獻(xiàn)[24]引進(jìn)雙線性約束對(duì)TV-IC模型進(jìn)行改寫，并利用ADMM算法求解改寫后的模型，在保證求解效果的情況下大大提升了求解速度.然而，由于雙線性約束的存在，改寫后的模型是非凸的，現(xiàn)有的針對(duì)求解非凸問題ADMM算法的收斂性分析并不能直接應(yīng)用于該問題的分析，特別是受限于現(xiàn)有的收斂性證明技術(shù)，無法在理論上證明相應(yīng)提出的全分裂算法的收斂性.因此，針對(duì)求解非凸問題的ADMM算法的收斂性分析具有非常重要的意義.

此外，還有一些算法被應(yīng)用于混合泊松-高斯噪聲模型的求解，如閾值函數(shù)的線性展開方法[20]、EM（expectation-maximization）算法[7]、小波變換和余弦變換[20]，以及基于熱流（heat flow）的算法[63]等，這些算法不具有一般性，這里不再詳述.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了對(duì)去噪效果進(jìn)行更加客觀地比較和描述，采用信噪比（SNR）對(duì)相關(guān)圖像的噪聲水平進(jìn)行估計(jì)，其定義為

其中ug為未被噪聲污染的干凈的圖像.

泊松噪聲是依賴于圖像強(qiáng)度的，噪聲的大小取決于像素點(diǎn)的值，本文取一個(gè)度量因子η∈（0，+∞）來控制圖像中泊松噪聲的大小，η越大，泊松噪聲越小，此外，采用高斯噪聲分布的方差σ2控制高斯噪聲的大小.實(shí)驗(yàn)采用的圖像見圖1.

圖1 測(cè)試圖Fig.1 Testing images

本文設(shè)計(jì)3組噪聲水平（η=1、4、16，σ=0.1），其中高斯噪聲水平固定，通過改變泊松噪聲的水平控制混合噪聲中泊松分布噪聲和高斯分布噪聲的相對(duì)強(qiáng)度.使用表1中涉及的6種模型對(duì)圖1（a）進(jìn)行處理，其中TV-IC模型結(jié)合了最新的ADMM算法，得到的SNR見表2，各模型的去噪效果見圖2.由表2和圖2可見，TV-IC模型優(yōu)于其他模型，隨著泊松噪聲部分相對(duì)影響的減弱，Shifted-Poisson模型的效果相對(duì)減弱，廣義的Anscombe變換模型和加權(quán)l(xiāng)2模型的效果逐漸增強(qiáng)，精確泊松-高斯估計(jì)模型和PURE模型的效果相對(duì)穩(wěn)定.

圖2 各模型去噪效果Fig.2 Denoising performance for the models

表2 各模型去噪后圖像的SNRTab.2 SNR of denoised images for different models

此外，本文還探討了不同正則項(xiàng)對(duì)去噪效果的影響.選擇3類有代表性的正則項(xiàng)，包括局部低階正則化（TV）、高階局部正則化（HTV）和非局部塊稀疏正則化（NLTV）.為了體現(xiàn)非局部正則化的效果，選擇一副包含較多紋理結(jié)構(gòu)的圖像（圖1（b））進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，使用Shifted-Poisson模型，噪聲水平統(tǒng)一設(shè)置為η=4，σ=0.1.實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖3.

圖3 Shifted-Poisson模型結(jié)合不同正則項(xiàng)的去噪效果Fig.3 Denoising performance for Shifted-Poisson model with different regularization terms

由圖3可見，NLTV正則項(xiàng)的效果要優(yōu)于HTV和TV正則項(xiàng).NLTV正則項(xiàng)對(duì)紋理處理的效果較好，若要進(jìn)一步提升圖像重建效果，還可以考慮采用深度學(xué)習(xí)技術(shù)進(jìn)行優(yōu)化.

4 研究展望

關(guān)于混合泊松-高斯噪聲去噪的變分正則化模型和算法的研究，本文認(rèn)為有如下幾個(gè)方面的問題值得繼續(xù)探索.

（1）設(shè)計(jì)更有效的模型.雖然針對(duì)該類型噪聲去噪的模型和算法比較豐富，但現(xiàn)有的模型都有一定的局限性.精確混合泊松-高斯估計(jì)模型雖然對(duì)噪聲進(jìn)行了較為精確的估計(jì)，但由于其目標(biāo)函數(shù)為一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，因此很難求出精確解；加權(quán)l(xiāng)2模型和Shifted-Poisson模型相較于精確混合泊松-高斯估計(jì)模型求解簡(jiǎn)單，但其只著重考慮混合噪聲中的高斯分布部分或泊松分布部分，對(duì)混合噪聲的估計(jì)不夠精確；廣義的Anscombe變換模型對(duì)逆變換的要求較高，簡(jiǎn)單的代數(shù)逆變換會(huì)造成很大的誤差；基于均方誤差估計(jì)的PURE模型對(duì)混合泊松-高斯噪聲的概率分布性質(zhì)考慮不充分，故其結(jié)果不夠準(zhǔn)確；TV-IC模型雖然充分考慮了混合噪聲中的2種類型噪聲的分布性質(zhì)，但其應(yīng)用的標(biāo)準(zhǔn)Stirling估計(jì)在vi的值較小時(shí)容易造成較大誤差.綜上，針對(duì)混合泊松-高斯噪聲設(shè)計(jì)更加合理有效的去噪模型依舊是未來一個(gè)值得重視的研究方向.

（2）設(shè)計(jì)有收斂性保證的快速算法.得益于算子分裂算法的收斂性理論在非凸優(yōu)化問題方面的進(jìn)展，研究者可以刻畫此類算法在該問題相關(guān)模型的收斂性，如，基于廣義Anscombe變換可以設(shè)計(jì)新型的變分正則化模型，但是直接設(shè)計(jì)相應(yīng)的算子分裂算法時(shí)，并不能保證每個(gè)子問題都有閉形式解.因此如何給出子問題的有效求解并保證其收斂性值得進(jìn)一步探索.對(duì)于TV-IC模型，文獻(xiàn)[24]引入了新型的約束條件，因而導(dǎo)出的算子分裂算法非常簡(jiǎn)單有效.然而，雙線性約束的引入給分析算法（特別是全分裂格式）的收斂性帶來了新的困難.因此，如何在理論上保證基于雙線性約束優(yōu)化的算子分裂算法的收斂性也是一個(gè)值得探索的方向.

（3）設(shè)計(jì)自動(dòng)調(diào)參策略.本文回顧的模型和算法中不可避免存在多個(gè)參數(shù)，這對(duì)算法在處理實(shí)際數(shù)據(jù)中的實(shí)用性造成了影響，其中最基本的信息就是噪聲分布的方差信息，因而如何自動(dòng)估計(jì)實(shí)際污染圖像的噪聲分布信息是非常值得研究的.在此基礎(chǔ)上，還需要進(jìn)一步探索變分正則化模型的自動(dòng)調(diào)參策略[52，64-66]，與之相關(guān)的一個(gè)研究方向則是如何設(shè)計(jì)參數(shù)更少的快速收斂算法.

（4）研究高維以及非線性反問題成像.對(duì)于高維問題，如三維CT重建[41]、高光譜去噪[67]等，某些重要的成像問題[37，60，68]，其測(cè)量數(shù)據(jù)與待重建的圖像之間是非線性關(guān)系，其噪聲也是直接作用于對(duì)變換域的非線性運(yùn)算之后的，因而對(duì)于非線性反問題的研究也具有較高的應(yīng)用價(jià)值.如何克服非線性和高維帶來的困難，設(shè)計(jì)有快速收斂保證的算法是未來一個(gè)非常有意義的研究方向.