例析四類“隱形圓”問(wèn)題

葉 珊

福建省福安市第一中學(xué) (355000)

近年來(lái)，隨著對(duì)圓的方程加大的考查力度，許多“隱形圓”的問(wèn)題不斷呈現(xiàn)．所謂的“隱形圓”，就是在條件中沒(méi)有直接給出有關(guān)圓的信息，而是隱藏在題目的信息中，要通過(guò)分析和轉(zhuǎn)化，才能發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而可以利用圓的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題．下面舉例介紹四類常見(jiàn)類型，供參考．

一、隱含著圓的定義或圓的方程

例1 若圓C:(x-2a)2+(y-a-3)2=4上，總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

評(píng)注：從題設(shè)中找到了動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)，這就是圓的定義，抓住它建立圓的方程，從而再利用兩圓相交的性質(zhì)列出不等式求出參數(shù)范圍就變得很容易了．

評(píng)注：依據(jù)題設(shè)中的平方和的條件得到了點(diǎn)A在一個(gè)已知圓上運(yùn)動(dòng)，再由給出的向量的線性關(guān)系，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化D點(diǎn)在另一個(gè)已知圓上運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)B固定，則就變成一個(gè)非常熟悉的問(wèn)題了．

二、含有線段長(zhǎng)的比式

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)“阿波羅斯尼圓”的問(wèn)題，解題中抓住了給出的線段長(zhǎng)等式，通過(guò)設(shè)動(dòng)點(diǎn)，建立方程，然后再化簡(jiǎn)方程找到了一個(gè)隱含圓，這就將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點(diǎn)問(wèn)題了．

評(píng)注：要求直線PN的方程，由于N點(diǎn)坐標(biāo)知道，則只需再求出點(diǎn)P坐標(biāo)就行了，由給出的線段比可得點(diǎn)P在一個(gè)“阿波羅斯尼圓”上，又點(diǎn)P在直線PM上，將二者的方程求出，然后聯(lián)立就能得到點(diǎn)P坐標(biāo)，問(wèn)題就能順利解決了．

三、含有向量的?；驍?shù)量積等式

評(píng)注：本題中的解題核心，就是抓住所給的含向量數(shù)量積的等式，建立一個(gè)圓類方程，這為后續(xù)利用直線與圓相交解決問(wèn)題提供了重要的支撐作用．

圖1

評(píng)注：題中沒(méi)有點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)抓住單位向量設(shè)坐標(biāo)，引出了直角坐標(biāo)系，再設(shè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)已知條件得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，求出圓的方程后再運(yùn)用圓心到直線的距離解決了問(wèn)題，其中得到圓的方程并加以運(yùn)用是解題核心．

四、挖掘四點(diǎn)共圓問(wèn)題

例7 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)

A(-4，0)，B(0，4)，從直線AB上一點(diǎn)P向圓x2+y2=4引兩條切線PC,PD，切點(diǎn)分別為C,D.設(shè)線段CD的中點(diǎn)為N，求線段AN的長(zhǎng)度的最大值．

圖2

解析：如圖2，AB所在的直線方程是x-y+4=0，設(shè)P(x0,y0)，則y0=x0+4①.

因?yàn)镻C,PD是圓O的兩條切線，所以P,C,O,D四點(diǎn)共圓，直徑為PO，故此的圓的方程是x(x-x0)+y(y-y0)=0，即x2+y2-xx0-yy0=0，聯(lián)立

評(píng)注：通過(guò)對(duì)已知的兩個(gè)切線條件的分析，得到了P,C,O,D四點(diǎn)共圓，并求出了此圓的方程，這是問(wèn)題解決的關(guān)鍵，而本題中運(yùn)用了設(shè)而不求、整體求解的方法是解決圓的問(wèn)題的常用求解方法．

評(píng)注：抓住一個(gè)圓的兩條切線是找到四點(diǎn)共圓的重要特征，還可以利用同弧(弦)所對(duì)的圓周角相等判斷點(diǎn)共圓，在解題中靈活利用此類條件及時(shí)地求出圓的方程，然后再利用圓的方程解題，可降低難度，優(yōu)化解題過(guò)程．

上面以例題說(shuō)事，解析了四類常見(jiàn)問(wèn)題，只是拋磚引玉而已，關(guān)于“隱形圓”問(wèn)題比較多見(jiàn)，其中心思想是發(fā)現(xiàn)圓，然后再利用圓去解題，在平時(shí)的教學(xué)中，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在這兩個(gè)方面多下點(diǎn)功夫，會(huì)對(duì)學(xué)生以后應(yīng)付各類考試有所幫助的．