基于運(yùn)算素養(yǎng)探尋一道高考真題的源與流*

洪麗敏

福建省南安第一中學(xué) (362300)

數(shù)學(xué)運(yùn)算作為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)，它不僅是現(xiàn)代人賴以生存的必備素質(zhì)之一，也影響著其他素養(yǎng)的培養(yǎng).在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)中，每個(gè)主題的學(xué)業(yè)要求重點(diǎn)必定包含培養(yǎng)或提高數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

在高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)過(guò)程中，教材是最基本、最重要的載體，課堂教學(xué)是訓(xùn)練場(chǎng)，高考則是主戰(zhàn)場(chǎng)．近年來(lái)，高考命題已從基于“能力”到基于“素養(yǎng)”考試評(píng)價(jià)的轉(zhuǎn)變，逐步樹(shù)立“以素養(yǎng)立意命題”的指導(dǎo)思想，注重考查學(xué)生的核心素養(yǎng).比如2019年全國(guó)卷Ⅰ做了較大形式的調(diào)整，導(dǎo)致相當(dāng)一部分考生不適應(yīng)，但卻很好的傳遞了一個(gè)信息——不可忽視教材和運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng).且不說(shuō)網(wǎng)紅考題“斷臂維納斯”問(wèn)題其實(shí)就在初中9年級(jí)上冊(cè)“平行線分線段成比例”的閱讀材料“黃金分割”，單說(shuō)其理20題，就是教材兩道習(xí)題基于運(yùn)算的組裝.

下面，筆者以2019年全國(guó)Ⅰ卷理20題為例，基于運(yùn)算素養(yǎng)下，談?wù)勗摳呖荚囶}的源與流，意在拋磚引玉.

1.高考真題展示

本題用證明的形式探求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，形式新穎，卻容易造成多數(shù)考生的不適應(yīng)，其原因主要有：一不適應(yīng)：雖是研究零點(diǎn)問(wèn)題，但卻不是常見(jiàn)的“已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)，逆向求參”問(wèn)題；二不適應(yīng)：函數(shù)f(x)的形式在全國(guó)Ⅰ卷不多見(jiàn)，容易蒙圈；三不適應(yīng)：因題序改變，以往導(dǎo)數(shù)題都為21題，多數(shù)學(xué)生對(duì)(2)問(wèn)本持著“放棄”的想法，如今雖調(diào)整為20題，但因沒(méi)有心理準(zhǔn)備，學(xué)生容易缺乏繼續(xù)求解的欲望.以上種種原因?qū)е卤绢}得分率低下.

2.源之探——飲水思源

本題真的如考生所反應(yīng)的那樣難嗎？其實(shí)不然！

讓我們先回顧一下人教A版選修2-2:第32頁(yè)B組第一題：

利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過(guò)函數(shù)的圖象直觀驗(yàn)證：

(1)sinx0,x∈(0，1).(3)ex>1+x,x≠0；(4)lnx0．

由(3)我們知道由ex>1+x,x≠0可得到ex≥x+1(x∈R)，兩邊取對(duì)數(shù)x≥ln(x+1)(x>-1)，如圖1；由(1)可知sinxx,x∈(-π，0),進(jìn)而可得y=x與y=sinx在R上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖2；

把兩張圖整到同一坐標(biāo)系，如圖3；再去掉直線y=x，如圖4.

此時(shí)我們不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問(wèn)題就是2019年全國(guó)卷Ⅰ理20題的第(2)問(wèn)了.我們無(wú)法得知高考命題者是如何命制本試題的，但我們卻清楚試題的題源，那就是人手一冊(cè)的教材！

可見(jiàn)，無(wú)論是基礎(chǔ)年級(jí)的教學(xué)，或是高三年的全面復(fù)習(xí)，在培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過(guò)程中，教材是最基本、最重要的載體，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生重視教材，切不可盲目涮題，陷于“題海”而不能自拔.

3.流之拓——源遠(yuǎn)流長(zhǎng)

3.1 流之拓1——解題策略

(2)略.

評(píng)析：本題(1)、(2)的解題思路類似，且對(duì)廣大師生而言并不陌生，它們都是零點(diǎn)問(wèn)題，都離不開(kāi)“零點(diǎn)存在定理”和“設(shè)而不求思想”，而這兩者在高考試題中屢見(jiàn)不鮮，如2012年全國(guó)卷Ⅰ文21題、2013年全國(guó)卷Ⅱ理21題、2015年全國(guó)卷Ⅱ理21題、2015年全國(guó)卷Ⅰ文21題、2016年全國(guó)卷Ⅱ理21題文20題、2019年全國(guó)卷Ⅰ文20題、理20題、2019年全國(guó)卷Ⅱ文21題、理20題.可見(jiàn)，零點(diǎn)問(wèn)題是利用導(dǎo)數(shù)解決問(wèn)題的重要內(nèi)容，應(yīng)引起廣大師生足夠的重視.

3.2 流之拓2——題源再探

從上，我們看到本題的題源之一為ex>1+x,x≠0，這是一個(gè)值得深究的問(wèn)題，以該題為背景的題目比比皆是，這里不一一贅述.

教學(xué)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生往兩條線展開(kāi)思考與探究：

一是代數(shù)運(yùn)算方面——數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

探究1 由ex≥x+1(x∈R)到x≥ln(x+1)(x>-1)，其實(shí)就是常見(jiàn)的“指對(duì)數(shù)互化運(yùn)算”，借助“指對(duì)數(shù)互化運(yùn)算”實(shí)現(xiàn)ex,x,lnx，…之間的轉(zhuǎn)化，在各地省市質(zhì)檢，乃至高考命題中都屢見(jiàn)不鮮.比如

(2013年全國(guó)卷Ⅱ理21)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m)．

(Ⅰ)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(Ⅱ)當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0．

略解：(Ⅰ)略．(Ⅱ)當(dāng)m≤2時(shí)，x∈(-m,+∞)時(shí)，ln(x+m)≤ln(x+2)，則要證明f(x)>0，只需證明當(dāng)m=2時(shí)f(x)>0(加強(qiáng)不等式思想)．即證：f(x)=ex-ln(x+2)>0．

別證：①當(dāng)-20成立；

②易證當(dāng)x>-1時(shí)有ex≥1+x(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立，過(guò)程略)，則有x≥ln(x+1)，則有x+1>ln(x+2)(當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)等號(hào)成立)，即當(dāng)x>-1時(shí)，有f(x)=ex-ln(x+2)≥(1+x)-ln(x+2)>0成立．

綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f(x)>0成立．

探究2 加減乘除四則運(yùn)算可以使數(shù)學(xué)運(yùn)算更為豐滿，構(gòu)造更多的函數(shù)模型.

比如由ex>1+x,x≠0可得到：①ex≥x+1，進(jìn)而替換得到②ex-1≥x，兩邊取對(duì)數(shù)得③x-1≥lnx(x>0)，移項(xiàng)可得到④x≥lnx+1=ln(ex)，再取指數(shù)可得到⑤ex≥ex，…

二是借助圖象直觀呈現(xiàn)——直觀想象素養(yǎng).

把探究2中5個(gè)問(wèn)題用圖形表示，依次為以下圖5-圖9.

最后提煉本質(zhì)——數(shù)學(xué)抽象：以上問(wèn)題的本質(zhì)都是研究切線問(wèn)題，都可借助導(dǎo)數(shù)加以研究，這里就不一一探究.

面對(duì)精彩紛呈的試題，“問(wèn)渠哪得清如許，為有源頭活水來(lái)”，源頭就是教材．?dāng)?shù)學(xué)教材為“教”與“學(xué)”活動(dòng)提供學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源，也是高考命題的一個(gè)重要取材渠道.

值得一提的是，立足數(shù)學(xué)運(yùn)算，對(duì)教材的進(jìn)行開(kāi)發(fā)性研究，是一種普遍適用的研究方法，也是教師教學(xué)能力自我提升的一種有效手段.教師必須在重視課本的鉆研和探究的同時(shí)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，這樣，數(shù)學(xué)教學(xué)方可“源遠(yuǎn)流長(zhǎng)”、創(chuàng)新發(fā)展．