2019年全國(guó)Ⅰ卷不等式選做題的探究與啟示

谷留明

安徽省合肥市第一中學(xué) (230601)

2011-2018年全國(guó)卷一選做題選修4-5考點(diǎn)均為絕對(duì)值函數(shù)與不等式解集、求值、恒成立問(wèn)題,而今年突然考查了基本不等式與三個(gè)正數(shù)的算數(shù)-幾何平均不等式,值得探究,給教學(xué)帶來(lái)一些啟示.

原題呈現(xiàn)

已知為a,b,c正數(shù),且滿足abc=1．證明:

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24．

評(píng)析:從如何在待證式中出現(xiàn)已知式的結(jié)構(gòu)出發(fā),觀察到對(duì)左式通分,分母上就會(huì)出現(xiàn)abc,將已知條件abc=1正向代入,即發(fā)現(xiàn)是證如下結(jié)論:bc+ac+ab≤a2+b2+c2.

評(píng)析：對(duì)已知式和待證式觀察對(duì)比,發(fā)現(xiàn)已知式可變形代入,即要證bc+ac+ab≤a2+b2+c2,然后結(jié)合重要不等式,用分析法證明.

評(píng)析：由待證式聯(lián)想到常用結(jié)論:a2+b2+c2≥bc+ac+ab,并用柯西不等式證明,由已知式abc=1想到“1”的靈活運(yùn)用，將bc+ac+ab看作分母為1,進(jìn)行1的逆代.

評(píng)析：對(duì)左側(cè)三個(gè)分子中的1進(jìn)行逆代.

評(píng)析：將待證式左側(cè)看作有系數(shù)1,進(jìn)行逆代.

評(píng)析：從右邊入手,看作有分母為1,并逆代為a2b2c2,然后同法6,或者直接用結(jié)論:a2+b2+c2≥bc+ac+ab的變形形式.

評(píng)析：局部代換,出現(xiàn)分子、分母中部分可約.

總評(píng)：以上方法看似相近,尤其是法1～5和法6～8,實(shí)則思路的出發(fā)點(diǎn)、切入點(diǎn)不同,很好的體現(xiàn)出證明不等式的常見(jiàn)經(jīng)驗(yàn):左往右、右往左、左右往中間；綜合法、分析法、分析綜合相結(jié)合；1的靈活運(yùn)用(分母看作1、系數(shù)看作1等)；已知條件、公式、常用結(jié)論的正用、逆用、變形用；整體、局部代換.另外此問(wèn)的證明不需要a,b,c為正數(shù),即結(jié)論對(duì)于滿足abc=1的實(shí)數(shù)a,b,c均成立.

評(píng)析：直接運(yùn)用三個(gè)正數(shù)的均值不等式,再對(duì)三個(gè)因式各用基本不等式,很是流暢.此問(wèn)看似簡(jiǎn)潔,實(shí)則左側(cè)式子與右邊結(jié)果相隔較遠(yuǎn),考生在有限時(shí)間內(nèi),尤其是考試的靠后階段不一定能想到流暢的法1思路.

法2:(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥

評(píng)析:與法1相反,先對(duì)三個(gè)加式各用基本不等式,對(duì)結(jié)果再用三個(gè)正數(shù)的均值不等式.

評(píng)析:對(duì)待證式左側(cè)的三個(gè)加式局部展開(kāi),局部運(yùn)用基本不等式進(jìn)行放縮.再充分利用abc=1,進(jìn)行局部代換,化為齊次式,重組后再用基本不等式.全程只用到基本不等式,非常巧妙.

評(píng)析:法4～6思路相近,都是先將和的立方展開(kāi),合理分組,綜合使用基本不等式和三個(gè)正數(shù)的均值不等式.體現(xiàn)出此問(wèn)證明的靈活性,只要熟練掌握均值不等式,至于怎么、哪里使用,條條大路通羅馬,給學(xué)生很大的嘗試、發(fā)揮空間.

題根探源

上述兩個(gè)問(wèn)題,均可在人教A版選修4-5習(xí)題1.1的三道題中找到蹤影.題目如下：

第6題設(shè)a,b,c是不全相等的正數(shù),求證:

(1)(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc;

第7題求證a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.

其中題6(2)、題7、題11和上述高考題(1)問(wèn)除abc=1外,本質(zhì)相同都是在證上文中提到的二級(jí)結(jié)論,只需分別a,b,c換成a2,b2,c2；a,b,c,d減少為a,b,c；1逆代為(a+b+c)2.高考題(1)問(wèn)中1的靈活運(yùn)用,在題11中有很好的體現(xiàn).題6(1)和高考題(2)問(wèn)法1中第二步完全一樣.

教學(xué)啟示

2019年考試說(shuō)明中對(duì)不等式選講中不等式證明的表述是“通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法”.面對(duì)紛雜的教輔和試卷,要精選深耕,更要回歸課本,課本才是最好的“教輔”.上述高考題,再次表明高考題不神秘,就來(lái)源于課本習(xí)題.每年高考總要穩(wěn)重有變,不變的是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想與能力、數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)的考查驗(yàn)收.教與學(xué)都要從題海戰(zhàn)術(shù)、硬套模型中走出來(lái),真正地以培養(yǎng)能力與素養(yǎng)為目標(biāo),方能以不變應(yīng)萬(wàn)變.