數(shù)學(xué)“解題教學(xué)”的實踐與反思

丁稱興

江蘇省溧水高級中學(xué) (211200)

“解題是數(shù)學(xué)的心臟”，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，關(guān)鍵之一就是要學(xué)會解題.所謂“解題”，就是揭開“條件”與“結(jié)論”之間的內(nèi)在聯(lián)系，或是探索“已知”如何導(dǎo)出“未知”.數(shù)學(xué)解題通常有四個階段：理解題意→思路探究→書寫解答→回顧反思.理解題意就是審題，這是整個解題工作的第一步，而且貫穿于解題的始終.思路探究就是尋找從“已知”到“未知”的方法與途徑.筆者認(rèn)為：好的解題教學(xué)應(yīng)從以下幾個方面來開展.

一、要突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位

課堂教學(xué)的目的，在提高學(xué)生知識水平的同時，也要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力.在課堂教學(xué)中，要通過教學(xué)設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生積極參與問題的分析、解決過程，更要鼓勵學(xué)生積極思考，從多角度思考問題.

課堂上筆者給出這道例題后，學(xué)生給出了以下幾種解法.

方法4：由于(sin15°-cos15°)×(sin15°+cos15°)=sin215°-cos215°=-cos30°，所以原式的分子、分母同時乘以sin15°-cos15°得

還“老師的精辟分析、講解”于“學(xué)生的自主思考、探究”，做到教師主導(dǎo)與學(xué)生主體有機(jī)結(jié)合.多種解法揭示問題的本質(zhì)：化“非特殊角”為“特殊角”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.在教學(xué)中能夠通過問題的解決揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，就能讓學(xué)生具有一雙透過現(xiàn)象看本質(zhì)的“慧眼”，學(xué)生的思維能力就能得到充分的發(fā)展，使問題的解決變得簡單而自然.

二、教會學(xué)生思考問題

1.扎實的基礎(chǔ)才能產(chǎn)生豐富的聯(lián)想

波利亞說：貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本.數(shù)學(xué)是充滿聯(lián)系的科學(xué)，我們應(yīng)該抓住一切可能的聯(lián)系進(jìn)行聯(lián)想與轉(zhuǎn)化.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會聯(lián)想和轉(zhuǎn)化是提高解題能力和認(rèn)識數(shù)學(xué)思維特征的一個重要方法.

A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1

分析1：大部分學(xué)生看題后第一反應(yīng)是把點M代入直線方程，再想下一步.注意到等式中正、余弦的線性結(jié)構(gòu)關(guān)系，可聯(lián)想用輔助角公式合并化簡求解.

分析2:聯(lián)想圓的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化成直線與圓的位置關(guān)系問題.

分析3：觀察四個選項的二次特征，聯(lián)想柯西不等式進(jìn)行正余弦和參數(shù)a,b的分離.

解題教學(xué)中，我們不僅需要關(guān)注這道題目怎么解，更需要關(guān)注這道題目所蘊(yùn)含了哪些知識與方法.通過對這道題目的深入研究，學(xué)生能很好地對原有知識體系進(jìn)行查漏補(bǔ)缺，達(dá)到一題遷移一片，解決一類題的目的.

2.解題分析起步于觀察角度的變化

觀察是指有目的、有計劃、較持久的知覺過程，觀察具有目的性、客觀性、敏銳性、精細(xì)性和全面性.解題分析起步于對問題的有效感知與觀察，只要善于變換角度，仔細(xì)觀察，抓住要害特征，聯(lián)想大腦里已存在的知識與技能信息，就能較快地形成解題方案.

解題教學(xué)中,教師必須讓學(xué)生真正參與其中,及時地根據(jù)學(xué)生的信息反饋,對解題過程做出正確調(diào)控,盡量沿著學(xué)生的思維軌跡,對思維開展做出調(diào)控.特別是當(dāng)學(xué)生的思路與教師原先的設(shè)想有差距,但對深入地理解問題又具有一定價值時,教師要因勢利導(dǎo),幫助學(xué)生分析思路受阻的原因,教會學(xué)生尋求出路的方法,引導(dǎo)學(xué)生分析方法的優(yōu)劣.只有這樣,才能使不同層次的學(xué)生的解題能力得以提高.

3.教師真實暴露自己的思維過程

德國教育家第斯多惠曾經(jīng)說過:一個好的教師應(yīng)該教人去發(fā)現(xiàn)真理.這就是說，教師講題始終要堅持分析地講,要充分暴露解題途徑的尋找過程,“為什么要這樣做”比“就這樣做”更重要.而有的教師常常忽視這一點,解題時總是演示“成功”,思路、方法一想就很正確、很巧妙,從不展示“失敗”,展示在思路和方法碰壁時怎么辦,如何從有限次失敗后得到正確的思路和方法,其結(jié)果只能是教師講得精彩,學(xué)生聽得輕松,但碰到條件稍加變化的問題便束手無策.日積月累,學(xué)生就不會獨立地思考和克服困難,當(dāng)然也不會有獨立的解題能力.

案例4若a,b,c成等差數(shù)列，點P(-1,2)在直線l:ax+by+c=0上的射影為M，則點N(2,0)到點M的距離的最大值為.

圖1

思路二：如圖1,嘗試著畫圖，就會有下面的猜想：如果直線l:ax+by+c=0過定點Q，則射影點M的軌跡就是“以PQ為直徑的圓”.一旦這個猜想是正確的，那么問題就很好解決了.緊接著就開始研究直線l:ax+by+c=0是否過定點.利用2b=a+c，代入直線l方程，可得ax+by+2b-a=0，所以a(x-1)+b(y-2)=0，從而得出直線l恒過定點Q(1,2).故射影點M的軌跡就是“以PQ為直徑的圓”，其方程為x2+(y-2)2=1.下面的問題就很容易就解決了.

學(xué)會從多角度思考問題(特別是從數(shù)、形兩個大的方向).以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合——解題之美，美就美在畫圖之后，借助圖形的直觀，使人產(chǎn)生豐富的聯(lián)想，有了解題的靈感，尋找到了解題的思路，從而使問題的解決進(jìn)行的很順利，達(dá)到了從“數(shù)”的角度思考所無法達(dá)到的高度.同時也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)“猜想”之美，解決問題時的“特殊與一般”的辯證之美.

在尋求解題思路時,要讓學(xué)生逐步學(xué)會怎樣分析,怎樣判斷,怎樣推理,怎樣選擇方法,怎樣解決問題,注意展現(xiàn):(1)解題的思維過程,使學(xué)生的思維與教師的思維產(chǎn)生共鳴,使教師的思維為學(xué)生的思維過渡到科學(xué)的思維架起橋梁,變傳授過程為發(fā)現(xiàn)過程;(2)嘗試探索發(fā)現(xiàn)的過程,把失敗過程和失敗到成功的過程暴露出來,從反思中使學(xué)生看到轉(zhuǎn)變思維的方向、方式、方法和策略,縮小探索范圍,盡快獲得發(fā)現(xiàn)的成功,這在發(fā)展思維能力上無疑是一種很好的體驗和進(jìn)步.

4.善于應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)解題

“思想方法”是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)思想是學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)律更進(jìn)一步的掌握和認(rèn)識，它指導(dǎo)著學(xué)生分析問題、解決問題并具體地體現(xiàn)在解決數(shù)學(xué)問題的不同方法中，掌握好數(shù)學(xué)思想也就是掌握了數(shù)學(xué)的靈魂，比單純的掌握數(shù)學(xué)知識用處更大.

案例6 已知關(guān)于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2-3=0有唯一解，則實數(shù)a的值為.

許多學(xué)生拿到題目一籌莫展，無從下手.如果你從函數(shù)的“兩域四性”這個角度去仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)=x2+2alog2(x2+2)+a2-3是R上的偶函數(shù)，由偶函數(shù)圖象的對稱性可知：若f(x)=x2+2alog2(x2+2)+a2-3有一個零點，則只能是x=0，那么問題就迎刃而解.

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅是指數(shù)學(xué)知識的獲得與積累，更重要的是使個體形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成有序的、起作用的、有著生長點和開放面的認(rèn)知結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)思想方法就是一個很好的切入點：(1)強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合意識，進(jìn)行直觀感知；(2)強(qiáng)化化歸意識，分散難點，實現(xiàn)多題歸一；(3)學(xué)會用函數(shù)觀點看待方程與不等式問題，突出體現(xiàn)函數(shù)方程思想.

三、解題教學(xué)的反思

數(shù)學(xué)解題的基本思維模式：觀察——聯(lián)想——變換.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，我們不僅需要關(guān)注這道題怎么解，還需關(guān)注這道題還有沒有其他的解法.通過教師引導(dǎo)，學(xué)生嘗試從不同角度、不同方向分析問題，從而得到不同的解法.這對開拓優(yōu)化學(xué)生的解題思路、拓寬學(xué)生的視野、提升學(xué)生思維的靈活性有很好的幫助.當(dāng)然，教師在講解題目時一定要突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，提高課堂學(xué)生的參與度，讓學(xué)生成為課堂的真正主人.好的解題教學(xué)除關(guān)注以上幾個方面外，筆者認(rèn)為還需兼顧以下幾點：

1.突出數(shù)學(xué)思想方法的提煉

布魯納說過：掌握數(shù)學(xué)思想方法可使得數(shù)學(xué)更容易理解和更容易記憶,更重要的是領(lǐng)會基本思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”.因此，解題過程中,教師應(yīng)有目標(biāo)、有計劃地引導(dǎo)學(xué)生體會、提煉其隱含的數(shù)學(xué)思想、方法,使學(xué)生在接受知識的同時,受到數(shù)學(xué)思想方法的熏陶和啟迪,這樣才能把提高學(xué)生的能力落到實處.

2.尊重學(xué)生的思維選擇

教學(xué)活動遵循內(nèi)在規(guī)律,只有當(dāng)一切外在事實(知識)通過教師的主導(dǎo)作用,最后被主體(學(xué)生)認(rèn)識之后,這外在的東西才會為主體真正占有,這種轉(zhuǎn)化只有在參與實踐中才能體會并完成.

3.正確處理好通法與巧法的關(guān)系

所謂通法,就是在解決問題(通常是某類問題)中具有普遍意義的方法.這種方法通常是以基礎(chǔ)知識為依據(jù),以基本方法為技能,它的解法思想合乎一般的思維規(guī)律,其具體操作過程必須為全體學(xué)生所掌握.巧法,著眼于提高.巧法的靈魂在于“巧”,即在于它整體地把握問題,靈活地運用雙基,巧妙地使用條件,是抽象、概括、發(fā)散、合情推理的產(chǎn)物.當(dāng)然,作為教師必須認(rèn)識到,巧法中的“關(guān)鍵一著”有不少不屬于學(xué)習(xí)內(nèi)容的主體,更有不少是一般學(xué)生不易掌握的,加之“巧”便意味著運用面相對過窄,影響面小,所以教學(xué)中教師必須立足通法,兼顧巧法.

4.重視對典型錯誤的辨析

筆者認(rèn)為,教師有意識地給學(xué)生設(shè)置解題陷阱,讓學(xué)生陷進(jìn)去,把典型錯誤暴露出來,引導(dǎo)學(xué)生積極思考,探索出正確的解題途徑,是消除錯誤、治根治本的有效方法.教學(xué)的理論與實踐表明,處理學(xué)生的解題錯誤,有很強(qiáng)的藝術(shù)性,處理得好,可讓學(xué)生從錯誤中悟出新意,感受到探究問題的樂趣,從中學(xué)到比原間題更深更廣的內(nèi)容,既增強(qiáng)防止錯誤的免疫力,又能發(fā)展學(xué)生的智力.

解題教學(xué)是一門科學(xué),也是一門藝術(shù).“解題活動是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最具有獨立性的創(chuàng)造性活動,它對發(fā)展學(xué)生的思維,培養(yǎng)學(xué)生的能力,促進(jìn)學(xué)生良好品質(zhì)結(jié)構(gòu)方面具有重大的作用.