基于Powell 法的末制導(dǎo)炮彈慣導(dǎo)飛行段符合方法

陳瑞軍，褚 進(jìn)，張 寶

（解放軍63850 部隊(duì)，吉林 白城 137001）

0 引言

射表編擬的基本原理是理論與試驗(yàn)相結(jié)合，體現(xiàn)在射表編擬的關(guān)鍵環(huán)節(jié)上，主要就是符合計(jì)算。符合計(jì)算是聯(lián)系彈道數(shù)學(xué)模型和試驗(yàn)結(jié)果的中間紐帶。通過符合計(jì)算，對影響彈道的某些關(guān)鍵參數(shù)調(diào)整，就可以達(dá)到理論與實(shí)踐相一致的目的。這些被調(diào)整的參數(shù)就是符合系數(shù)，而符合對象應(yīng)該是射擊結(jié)果中對命中目標(biāo)起決定作用的量，例如：地炮榴彈的射程，甲彈的立靶彈道高，高炮的空中坐標(biāo)等。

符合方法是否合理對于末制導(dǎo)炮彈射表編擬方法的優(yōu)劣起著關(guān)鍵作用。末制導(dǎo)炮彈射表試驗(yàn)的主要項(xiàng)目是慣導(dǎo)射程試驗(yàn)。對于無控段的符合，可依據(jù)豐富的射表編擬經(jīng)驗(yàn)及彈道仿真來確定其符合方法，在作者的其他論文中已有詳細(xì)介紹［1］。慣導(dǎo)飛行段的符合是末制導(dǎo)炮彈射表編擬工作中的關(guān)鍵技術(shù)難題，通常射表編擬的對象都是無控彈，有控彈道符合問題是射表編擬首次遇到的課題。在有控彈道的慣導(dǎo)段方面，宋衛(wèi)東、張進(jìn)忠等研究了彈體壓心位置、慣導(dǎo)陀螺零漂對彈道性能的影響［2-3］，以及對慣導(dǎo)飛行當(dāng)中的角運(yùn)動、末制導(dǎo)炮彈的偏流進(jìn)行了分析［4-5］；祁載康、林德福等進(jìn)行了慣性制導(dǎo)的仿真研究［6］。符合系數(shù)和符合對象的選取、符合算法的探索研究都是需要解決的問題。

通過理論分析與參數(shù)靈敏度仿真計(jì)算，確定了符合系數(shù)和符合對象。重點(diǎn)探索研究了符合算法。本文采用優(yōu)化理論［7-8］中的直接方法，如單純形法、Powell 法等求解。經(jīng)過實(shí)際應(yīng)用，單純形法符合效果不理想，而POWELL 法符合計(jì)算效果很好。

此方法充分利用慣導(dǎo)段三維坐標(biāo)測量信息校準(zhǔn)彈道模型中較多的關(guān)鍵參數(shù)，解決了末制導(dǎo)炮彈射表編擬中的關(guān)鍵難題，同時實(shí)現(xiàn)了制導(dǎo)彈藥有控彈道符合方法研究的突破。

1 慣導(dǎo)飛行工作原理簡介

1.1 慣導(dǎo)段彈道性能概述

慣性制導(dǎo)滑翔增程段是末制導(dǎo)炮彈飛行的重要階段。慣導(dǎo)段的主要控制目的是保持炮彈以基本不變的彈道傾角飛行。要實(shí)現(xiàn)這一目的，必須保證炮彈在鉛垂方向上的受力處于平衡狀態(tài)。彈道傾角的變化大小，可以根據(jù)慣導(dǎo)陀螺的定向軸與彈體縱軸之間的角度變化獲取。為保持彈體飛行攻角并產(chǎn)生升力，要靠舵片的偏轉(zhuǎn)不斷適時調(diào)整才能實(shí)現(xiàn)。從控制角度講，舵片的狀態(tài)控制取決于慣導(dǎo)陀螺外框的偏轉(zhuǎn)角度，并受自轉(zhuǎn)角調(diào)制，如圖1 所示。

圖1 陀螺外框角隨彈滾轉(zhuǎn)角的變化曲線示意圖

在重力補(bǔ)償技術(shù)［1］上采用在慣導(dǎo)陀螺外框軸上安裝一個接觸式傳感器，它由與外框軸固連的電刷和彈體上的4 個導(dǎo)電片組成，如圖2 所示。當(dāng)外框軸擺角在一個方向擺過22°時，使舵打正舵；當(dāng)外框軸擺角在另一個方向擺過24°時，使舵機(jī)打反舵。其本質(zhì)都是通過舵片產(chǎn)生向上的控制力和相應(yīng)的控制力矩，讓彈體保持正攻角，從而形成向上的升力，以平衡彈體的重力，達(dá)到滑翔增程的目的。

圖2 慣導(dǎo)陀螺擺動（電刷）位置示意圖

1.2 慣導(dǎo)陀螺零漂對末制導(dǎo)炮彈控制過程的影響

高速旋轉(zhuǎn)陀螺的轉(zhuǎn)子具有良好的定向性，可將其作為測角的基準(zhǔn)。末制導(dǎo)炮彈慣導(dǎo)陀螺解鎖后轉(zhuǎn)子軸存在縱向和側(cè)向的漂移，稱為零漂。零漂的存在，使測角的基準(zhǔn)產(chǎn)生了誤差，必將引起控制的誤差。零漂之所以會產(chǎn)生，主要由于質(zhì)量偏心。當(dāng)然，導(dǎo)致零漂產(chǎn)生的原因還有其他一些因素，如轉(zhuǎn)子的動不平衡現(xiàn)象等。

由于零漂的存在改變了慣導(dǎo)陀螺外框偏轉(zhuǎn)角度的大小，從而使按照外框軸偏轉(zhuǎn)角度形成的控制指令不再單純反映彈體姿態(tài)的信息，同時還將受到零漂因素的調(diào)制。其結(jié)果是舵片控制指令的超前或滯后。使得舵片的控制力和控制力矩不再左右基本對稱，對末制導(dǎo)炮彈的彈道性能產(chǎn)生影響。

2 慣導(dǎo)段彈道模型簡介

慣導(dǎo)段采用剛體彈道模型，并加入慣導(dǎo)控制關(guān)系模型，這里簡單描述一下。剛體外彈道方程可寫為以下的矢量形式：

慣導(dǎo)段控制關(guān)系模型，包括以下3 個方面內(nèi)容：

1）慣導(dǎo)陀螺為了保持自身的定軸性，必須不斷地擺動其內(nèi)外框，因此，推導(dǎo)了內(nèi)外框擺動角與彈體姿態(tài)、慣導(dǎo)陀螺姿態(tài)的關(guān)系式。

2）慣導(dǎo)陀螺有定軸性，首先必須確定慣導(dǎo)陀螺啟動時的初始姿態(tài)角。

3）舵片的偏轉(zhuǎn)由慣性陀螺輸出的信號實(shí)施控制，給出了慣性陀螺輸出信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

3 慣導(dǎo)段符合系數(shù)、符合對象的確定

傳統(tǒng)無控彈箭一般采取單點(diǎn)綜合符合法，一方面，影響無控彈箭彈道的主要因素不是很多，單點(diǎn)符合已基本解決主要矛盾；另一方面，受限于當(dāng)時的測試水平。末制導(dǎo)炮彈慣導(dǎo)段是有控彈道，與普通彈的無控彈道有質(zhì)的區(qū)別，工作過程復(fù)雜，含有控制過程，彈道特性也不同。通過慣導(dǎo)段參數(shù)靈敏度仿真計(jì)算，可以看出影響彈道的主要因素較多，符合系數(shù)除了氣動力參數(shù)外，還有控制參數(shù)，比如陀螺漂移參數(shù)等。為了校準(zhǔn)慣導(dǎo)段彈道模型中的多個關(guān)鍵參數(shù)，僅靠落點(diǎn)符合是不夠的。基于現(xiàn)有測試能力，利用某型經(jīng)緯儀可精確測量慣導(dǎo)飛行段的三維坐標(biāo)。理想的符合效果是什么呢？不僅僅是落點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算值與實(shí)測值一致，更應(yīng)該是彈道形狀很好吻合，這樣能符合更多的關(guān)鍵參數(shù)，提高符合系數(shù)精度，降低系統(tǒng)誤差。符合對象即確定為慣導(dǎo)段三維坐標(biāo)。

3.1 彈道坐標(biāo)對關(guān)鍵參數(shù)的敏感程度

表1 某遠(yuǎn)區(qū)射程各系數(shù)敏感特性對比

3.2 符合系數(shù)與符合對象

符合對象選取慣導(dǎo)飛行段三維坐標(biāo)實(shí)測值。

確定符合系數(shù)時要注意以下問題［9］：

1）符合系數(shù)應(yīng)是相對獨(dú)立的。

2）符合系數(shù)應(yīng)該選擇對目標(biāo)函數(shù)影響較大的。

3）把符合系數(shù)對目標(biāo)函數(shù)影響的重要程度依次排序，對直接方法尋優(yōu)過程是十分有利的。

4）符合系數(shù)要進(jìn)行無量綱化，并盡量將它們約化在同一數(shù)量范圍內(nèi)變化，這有利于尋優(yōu)收斂且使程序有較好通用性。

4 Powell 方法和單純形法簡介

在確定了符合系數(shù)、符合對象后，需要探索研究符合算法。無控彈箭的綜合符合法對應(yīng)于單點(diǎn)符合，不適合慣導(dǎo)段一系列多點(diǎn)三維坐標(biāo)符合，且慣導(dǎo)陀螺漂移等制導(dǎo)工具參數(shù)的符合系數(shù)不含在飛行動力學(xué)的微分方程組中，很難由解析法求其導(dǎo)數(shù)。其他利用差商求導(dǎo)數(shù)的算法因?yàn)樵诜舷禂?shù)較多時，有時會遇到矩陣病態(tài)等一些數(shù)值上的困難。所以，需要探索新的符合算法。本文采用優(yōu)化理論中的直接方法，如單純形法、Powell 法等求解。直接法不用導(dǎo)數(shù)值，也不用差商近似導(dǎo)數(shù)值，只假定指標(biāo)函數(shù)連續(xù)，因而應(yīng)用范圍廣，可靠性好，對于不可微或者導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的函數(shù)常常也相當(dāng)有效。

4.1 Powell 方法簡介

Powell 方法［10］（方向加速法）是由M.J.D.Powell首先提出的一種直接搜索方法?？梢宰C明：在一定條件下，它是一種共軛方向法。Powell 方法充分利用了目標(biāo)函數(shù)的性態(tài)，利用目標(biāo)函數(shù)值的變化構(gòu)造共軛方向，尋優(yōu)方法是以共軛方向?yàn)榛A(chǔ)，迭代過程中通過一維搜索找到共軛方向，再沿共軛方向前進(jìn)，所以該方法對初始點(diǎn)要求不高，優(yōu)化效果較為滿意，解題效率也較高。Powell 方法被認(rèn)為是直接搜索法中比較有效的一種方法。

Powell 方法的計(jì)算步驟如下。

設(shè)要求解的問題為：

4.2 單純形法簡介

在n 維空間中，由n+1 個點(diǎn)所構(gòu)成的體積不為零的形狀是個單純形，這n+1 個點(diǎn)是此單純形的頂點(diǎn)。單純形尋優(yōu)法的基本思想是：給定初始點(diǎn)，產(chǎn)生初始單純形，通過反射、擴(kuò)張、壓縮、收縮一系列動作將單純形翻滾、變形，從而產(chǎn)生一系列單純形，逐漸向極小點(diǎn)靠攏。滿足某個條件時停止，取當(dāng)前單純形的“最好”頂點(diǎn)（目標(biāo)函數(shù)值最?。┳鳛闃O小點(diǎn)的近似。

4.3 慣導(dǎo)段初步符合方案

由上述分析可初步確定如表2 所示的符合方案，符合算法中的目標(biāo)函數(shù)取慣導(dǎo)飛行段全部三維坐標(biāo)的實(shí)測值與計(jì)算值的殘差平方和。

表2 慣導(dǎo)段符合方案

5 算例

在某型末制導(dǎo)炮彈靶場試驗(yàn)中，利用某型經(jīng)緯儀精確測量了慣導(dǎo)飛行段的三維坐標(biāo)。采用POWELL 方法對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，符合效果普遍較好，采用單純形法的符合效果較差。這里選取了2發(fā)彈的符合計(jì)算結(jié)果，見表3，表中的目標(biāo)函數(shù)已換算成平均每個點(diǎn)的三維坐標(biāo)殘差絕對值，以便直觀理解。氣動力參數(shù)的原始數(shù)據(jù)為吹風(fēng)數(shù)據(jù)，慣導(dǎo)陀螺漂移的原始數(shù)據(jù)為地面靜測值。對于無控段的符合，在作者的其他論文中已有詳細(xì)介紹。

表3 慣導(dǎo)段符合方案符合結(jié)果表

把符合結(jié)果代入彈道方程計(jì)算彈道，并與彈道實(shí)測坐標(biāo)比對，見圖3～圖6。為了便于對比兩種符合算法的效果，把三維彈道分成兩個平面彈道，即：彈道高度曲線及其殘差圖、彈道橫偏曲線及其殘差圖。這里的殘差是指彈道計(jì)算值與彈道實(shí)測值的減差。由圖可知，對于彈道高度曲線，兩種方法的符合效果相差不多，曲線幾近重合，只有當(dāng)局部放大時，才能看出其差別，見圖3、圖4；但對于彈道橫偏曲線，兩種方法的符合效果差別很大，見圖5、圖6。

圖3 某遠(yuǎn)區(qū)射程彈道高度曲線

圖4 某遠(yuǎn)區(qū)射程慣導(dǎo)段彈道高度殘差曲線

由圖中曲線對比可見，單純形法符合效果較差，慣導(dǎo)段橫偏殘差甚至達(dá)200 m 左右（見圖5、圖6）。Powell 法效果很好，不但落點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算與實(shí)測值一致，而且慣導(dǎo)段飛行三維坐標(biāo)計(jì)算值與實(shí)測值吻合非常好。平均彈道坐標(biāo)殘差絕對值基本在5 m、6 m之內(nèi)，有的甚至在1 m 之內(nèi)，對末端制導(dǎo)炮彈來說，符合精度已很高。上述結(jié)果以同樣的初值、步長比較了POWELL 法和單純形法，發(fā)現(xiàn)單純形法很容易陷于局部極小值，受初值、步長影響較大，計(jì)算的彈道曲線與測量值相差甚遠(yuǎn)。而Powell 法效果很好，對初始點(diǎn)要求不高，適用范圍更廣，這也與目標(biāo)函數(shù)的性能相關(guān)。

圖5 某遠(yuǎn)區(qū)射程彈道橫偏曲線

圖6 某遠(yuǎn)區(qū)射程慣導(dǎo)段彈道橫偏殘差曲線

6 結(jié)論

本文研究了末制導(dǎo)炮彈射表編擬工作中的關(guān)鍵技術(shù)難題——慣導(dǎo)飛行段的符合方法。面對首次遇到的有控彈道符合問題，通過理論分析與仿真計(jì)算，確定了符合系數(shù)和符合對象，并探索研究了符合算法。經(jīng)過實(shí)際符合驗(yàn)證，單純形法符合效果不理想，而POWELL 法符合計(jì)算效果很好。

本符合方法充分利用慣導(dǎo)段測量信息校準(zhǔn)了彈道模型中較多的關(guān)鍵參數(shù)，取得了很好的效果，解決了末制導(dǎo)炮彈射表編擬中的關(guān)鍵難題。同時在制導(dǎo)彈藥有控彈道符合方法研究中實(shí)現(xiàn)了突破，也對其他無控彈道充分利用彈道測量信息符合校模具有一定參考價值。