變槳距四旋翼無人飛行器航跡跟蹤控制

王 振，劉蘋妮，馬國亮

（空軍工程大學(xué)空管領(lǐng)航學(xué)院，西安 710051）

0 引言

對(duì)定槳距小型四旋翼飛行器的研究已經(jīng)有十幾年的歷史。加拿大的A Tayebi 和S McGilvary 證明了使用四旋翼設(shè)計(jì)可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定飛行［1］。澳大利亞的Phillip McKerrow 對(duì)其進(jìn)行了精確的建模［2］。國內(nèi)學(xué)者對(duì)定槳距四旋翼飛行器的研究集中在飛行器控制算法方面［3-4］。然而，定槳距四旋翼飛行器由于定槳距機(jī)構(gòu)的限制，導(dǎo)致其只能通過改變直流電機(jī)的轉(zhuǎn)速來改變旋翼產(chǎn)生的升力，并且只能產(chǎn)生方向向上的升力。同時(shí)，由于電機(jī)存在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，改變直流電機(jī)兩端的電壓，若要得到期望的轉(zhuǎn)速則需要較長時(shí)間。因此，定槳距機(jī)構(gòu)的限制將限制四旋翼飛行器的機(jī)動(dòng)性能。

變槳距技術(shù)通過控制槳葉自動(dòng)旋轉(zhuǎn)到主控制器設(shè)定的角度，使葉片的迎風(fēng)角始終保持在最佳位置，從而獲得更好的空氣動(dòng)力學(xué)性能［1-2］。變槳距調(diào)節(jié)技術(shù)分為同步變槳距調(diào)節(jié)技術(shù)和獨(dú)立變槳距調(diào)節(jié)技術(shù)［3-4］，已被廣泛應(yīng)用于風(fēng)力［5-6］、潮流［7］發(fā)電機(jī)組。將變槳距技術(shù)應(yīng)用于微小型四旋翼飛行器控制系統(tǒng)，可極大地減小飛行器的控制延遲，提高姿態(tài)響應(yīng)，增加飛行器的機(jī)動(dòng)性和靈活性，因此，變槳距四旋翼飛行器控制技術(shù)逐漸成為研究熱點(diǎn)［8-11］。

針對(duì)四旋翼飛行器系統(tǒng)多變量、欠驅(qū)動(dòng)、強(qiáng)耦合以及干擾敏感等特性［12］，本文在電機(jī)旋翼系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)變槳距電機(jī)旋翼系統(tǒng)控制律，基于牛頓-歐拉方程和四元數(shù)運(yùn)動(dòng)學(xué)，建立四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)模型，推導(dǎo)槳距角分配矩陣，設(shè)計(jì)航跡跟蹤控制律，實(shí)現(xiàn)對(duì)變槳距四旋翼飛行器的高精度航跡跟蹤控制。

1 變槳距電機(jī)旋翼系統(tǒng)控制模型

1.1 電機(jī)旋翼系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

四旋翼飛行器采用無刷直流電機(jī)作為驅(qū)動(dòng)器來控制螺旋槳的轉(zhuǎn)速ω：

式中，v 為電機(jī)的終端電壓，KV為電機(jī)電壓常數(shù)，R為電機(jī)轉(zhuǎn)子的總阻抗，i0為空轉(zhuǎn)電流，KQ為電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)，MD為電機(jī)的阻力矩。

根據(jù)葉素理論和動(dòng)量理論，旋翼轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的升力和阻力矩分別為：

式中，ρ 為空氣密度，σ 為旋翼槳距角，c 為旋翼弦寬，R 為旋翼弦長，CLα為旋翼升力系數(shù)，CDα為旋翼阻力系數(shù)。

將式（3）代入式（1）可得：

將式（4）在四旋翼飛行器懸停時(shí)所需的槳距角σ0與轉(zhuǎn)速ω0進(jìn)行小擾動(dòng)線性化：

從式（5）可以看出，對(duì)于定槳距電機(jī)旋翼系統(tǒng)，升力的增加是通過增加直流電機(jī)兩端的電壓Δυ 得到的，升力的改變速度受到電機(jī)響應(yīng)速度的影響。而變槳距電機(jī)旋翼系統(tǒng)的升力可以通過改變電壓Δυ 和槳距角Δσ 兩個(gè)因素來改變，如果只考慮改變槳距角，則升力改變的速度將不受限于電機(jī)的響應(yīng)速度。

1.2 變槳距電機(jī)旋翼系統(tǒng)控制律

如果不考慮舵機(jī)的執(zhí)行速度，通過直接改變槳距角可瞬間得到需求的升力改變量ΔFLd：

則

根據(jù)式（7），若瞬間得到需求的升力改變量ΔFLd，則需要實(shí)時(shí)對(duì)狀態(tài)Δω 進(jìn)行反饋，這會(huì)使控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜。

現(xiàn)將槳距角改變量Δσ 變?yōu)殚_環(huán)形式：

對(duì)比式（8）與式（7）可知，若使Δω 盡快保持為0，升力的改變量也會(huì)迅速達(dá)到ΔFLd。那么，問題轉(zhuǎn)化為將式（8）代入式（5）后，調(diào)節(jié)電機(jī)兩邊的電壓Δυ，使轉(zhuǎn)速的改變量Δω 迅速變?yōu)?。

此時(shí)，

基于狀態(tài)方程式（10）可將變槳距電機(jī)旋翼系統(tǒng)控制問題建模為典型的連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)有限時(shí)間狀態(tài)跟蹤問題：

式中，p、q、r 分別為正實(shí)數(shù)，該模型是在滿足狀態(tài)方程約束與終端約束的條件下，使性能指標(biāo)Γ最小。

根據(jù)最小二次型最優(yōu)控制求解方法，可得：

式中，K（t）滿足一階黎卡提微分方程：

K（t）的邊界條件K（tf）=p。

標(biāo)量函數(shù)g（t）滿足微分方程：

基于上述模型可得到變槳距電機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 變槳距電機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2 變槳距四旋翼飛行器航跡跟蹤控制

2.1 四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)模型

定義如圖2 所示的地面坐標(biāo)系OdXdYdZd和機(jī)體坐標(biāo)系ObXbYbZb，其中ObXb軸取為飛行器的速度方向。

圖2 四旋翼飛行器坐標(biāo)系

四旋翼飛行器動(dòng)力學(xué)模型的建立基于以下假設(shè)：

1）飛行器機(jī)體為一個(gè)剛體；

2）不考慮電機(jī)、機(jī)架的安裝誤差，認(rèn)為飛行器機(jī)體為對(duì)稱分布。

根據(jù)牛頓-歐拉方程和四元數(shù)運(yùn)動(dòng)學(xué)，建立模型如下［13］：

從四旋翼飛行器的特點(diǎn)可知，飛行器受到的除重力外的合外力為4 個(gè)旋翼產(chǎn)生的升力之和，方向?yàn)檠刂S或其反方向，即

合外力矩Mb有3 個(gè)分量，分別為俯仰力矩，橫滾力矩和偏航力矩。

式中，MDi為4 個(gè)電機(jī)旋翼產(chǎn)生的阻力矩，d 為升力矢量到坐標(biāo)軸的徑向矢量距離。

將式（3）代入式（16）、式（17）可得：

定義控制量U：

則

根據(jù)式（19），若給定槳距角σ 與電機(jī)轉(zhuǎn)速ω 的關(guān)系，即可通過U 反求出4 個(gè)槳距角與4 個(gè)轉(zhuǎn)速。前面已證明，變槳距電機(jī)旋翼系統(tǒng)使電機(jī)轉(zhuǎn)速一直穩(wěn)定在某一個(gè)值時(shí)，升力的響應(yīng)最快，因此，本文假設(shè)4 個(gè)電機(jī)轉(zhuǎn)速全部穩(wěn)定在固定值ω0。此時(shí)，可求解出4 個(gè)槳距角：

2.2 四旋翼飛行器航跡跟蹤控制律

四旋翼飛行器的航跡點(diǎn)為空間離散的狀態(tài)點(diǎn)，包括位置、速度、加速度信息。本文采用四元數(shù)方法來推導(dǎo)四旋翼的航跡跟蹤控制律。假設(shè)為飛行器提供目標(biāo)點(diǎn)位置矢量和飛行器的目標(biāo)偏航角，通過推導(dǎo)控制律，得到飛行器需產(chǎn)生的力與力矩。

運(yùn)用PID 控制方法［14］，反饋加速度矢量可以表示為：

其中，e 為誤差距離矢量，rd為當(dāng)前的位置矢量，為目標(biāo)位置矢量。進(jìn)而，可以求出四旋翼受到的合外力Fd：

將式（24）代入式（15）可得：

加入目標(biāo)航偏角，得到目標(biāo)四元數(shù)qd：

姿態(tài)誤差四元數(shù)qe：

式中，q*為q 的共軛四元數(shù)。

下面，推導(dǎo)誤差角速度。

于是，姿態(tài)誤差角速度Ωd為

其中

由于單位四元數(shù)空間是SO（3）的雙覆蓋，因此，單位四元數(shù)表示姿態(tài)誤差可能出現(xiàn)標(biāo)量部分為負(fù)的情況，此時(shí)可直接將四元數(shù)表示的誤差轉(zhuǎn)換為其等效表示即可。

根據(jù)姿態(tài)誤差四元數(shù)qe與姿態(tài)誤差角速度Ωd，設(shè)計(jì)四旋翼飛行器的姿態(tài)控制器為：

變槳距四旋翼飛行器系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 變槳距四旋翼飛行器系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 變槳距電機(jī)旋翼系統(tǒng)控制仿真

對(duì)提出的變槳距電機(jī)旋翼系統(tǒng)控制策略的控制性能進(jìn)行仿真，并與只改變槳距角或只改變電機(jī)電壓兩種控制策略的控制性能進(jìn)行對(duì)比，仿真在MATLAB/Simulink 環(huán)境中進(jìn)行，仿真所用參數(shù)如表1 所示。

表1 變槳距電機(jī)旋翼系統(tǒng)參數(shù)表

從圖4、圖5 所示升力變化曲線、電機(jī)轉(zhuǎn)速變化曲線可以看出，只改變槳距角會(huì)導(dǎo)致電機(jī)轉(zhuǎn)速降低，升力出現(xiàn)較大的超調(diào)；而只改變電機(jī)兩端電壓，由于電機(jī)的固有動(dòng)態(tài)響應(yīng)，升力變化緩慢。而本文給出的基于最優(yōu)控制方法同時(shí)改變槳距角和電機(jī)電壓的控制策略，升力的暫態(tài)響應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于前兩者。

圖4 升力變化曲線圖

圖5 電機(jī)轉(zhuǎn)速變化曲線圖

3.2 航跡跟蹤控制仿真

航跡跟蹤控制性能仿真所用的四旋翼飛行器參數(shù)如表2 所示。

表2 四旋翼飛行器參數(shù)表

圖6 Z 軸位置變換曲線圖

仿真2：基于提出的航跡跟蹤控制律計(jì)算變槳距四旋翼對(duì)給定航路的跟蹤性能。圖7 給出了軌跡跟蹤三維圖，圖8、圖9 分別給出了飛行器x 與y 方向的速度位移曲線，仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)基于航跡跟蹤控制律能夠?qū)崿F(xiàn)變槳距四旋翼飛行器對(duì)給定航路的高精度追蹤，具有良好的魯棒飛行能力。

圖7 飛行軌跡跟蹤三維圖

圖8 x 方向速度、位移曲線

圖9 y 方向速度、位移曲線

4 結(jié)論

本文在變槳距電機(jī)旋翼系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，基于最優(yōu)控制理論推導(dǎo)出其控制律；運(yùn)用四元數(shù)方法建立了四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)了航跡跟蹤控制律，通過仿真驗(yàn)證了變槳距四旋翼飛行器在機(jī)動(dòng)性上要優(yōu)于定槳距四旋翼飛行器，提出的控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)變槳距四旋翼飛行器的高精度航跡跟蹤控制。盡管性能上具有明顯優(yōu)勢，但變槳距控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)比定槳距控制系統(tǒng)復(fù)雜，因此，下一步將從飛行試驗(yàn)的層面深入研究變槳距技術(shù)在微小型四旋翼飛行器的工程應(yīng)用問題。