從“山窮水盡”到“柳暗花明”

賈玉文

在小學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)學(xué)段，教材都編排了“解決實(shí)際問(wèn)題”的內(nèi)容，著力提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要充分利用教材所提供的豐富素材，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生產(chǎn)生活實(shí)際，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出與數(shù)學(xué)有關(guān)的問(wèn)題以及分析、解決問(wèn)題的一般性能力。

筆者在教學(xué)人教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)第42頁(yè)例7的工程問(wèn)題時(shí)，讓學(xué)生親自經(jīng)歷觀察、猜想、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)，經(jīng)歷把生活問(wèn)題模型化的過(guò)程，透過(guò)各種現(xiàn)實(shí)表象，找出隱藏其后的數(shù)量關(guān)系。鼓勵(lì)學(xué)生舉一反三，形成一般性的問(wèn)題解決能力和數(shù)學(xué)建模的思想。

一、教學(xué)案例

（一）條件不足，著手難

師：同學(xué)們，前幾天我們學(xué)習(xí)了關(guān)于解決分?jǐn)?shù)的實(shí)際問(wèn)題，誰(shuí)來(lái)簡(jiǎn)單談?wù)劷獯鸫祟?lèi)問(wèn)題的思路及方法？

生1：解答分?jǐn)?shù)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我認(rèn)為最關(guān)鍵的是找準(zhǔn)單位“1”的量，建立數(shù)量關(guān)系或等量關(guān)系。

生2：如果單位“1”的量是已知的，列出乘法算式即可。

生3：如果單位“1”的量是未知的，一般列方程解答或用除法計(jì)算。（一位快嘴的同學(xué)說(shuō)，師生都笑了）

師：看來(lái)同學(xué)們對(duì)這部分內(nèi)容掌握得很好。好，今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)解決分?jǐn)?shù)的實(shí)際問(wèn)題。

師：（課件出示例7，如圖1）請(qǐng)同學(xué)們分析題意，獲取已知數(shù)學(xué)信息和所求問(wèn)題。

學(xué)生讀題，沉默片刻。

生1：老師，這條路的總長(zhǎng)沒(méi)告訴，好像不能……（滿臉難為情）

生2：是呀，我也覺(jué)得此題奇怪，已知兩個(gè)隊(duì)的工作時(shí)間，要求的也是工作時(shí)間。好像缺少條件，我也覺(jué)得不能解答。

生3：剛才我瀏覽了課本，這是課本的原題，難道書(shū)上也有錯(cuò)誤嗎？（其他學(xué)生笑了）

師：是呀，難道數(shù)學(xué)家給我們出了一道錯(cuò)題，讓大家解決？（同學(xué)們似笑非笑）對(duì)呀，可是題中沒(méi)告訴“道路的總長(zhǎng)”，怎么辦？

生4：不能算唄！（全班同學(xué)笑得非常燦爛）

（二）變換條件，方法多

師：同學(xué)們，這道題真得不能計(jì)算嗎？（全班同學(xué)再次陷入沉思）

生1：我們是否可以假設(shè)這條道路的長(zhǎng)度呢？

生2：對(duì)，好主意！這是數(shù)學(xué)老師常說(shuō)的假設(shè)法呀。

師：那我們何不嘗試一下？假設(shè)道路全長(zhǎng)為……

生2：我想假設(shè)這條道路全長(zhǎng)為x千米。老師常說(shuō)，我們遇到解答逆思考的問(wèn)題時(shí)，一般是列方程解答。

生3：我想假設(shè)道路全長(zhǎng)為36千米。

生4：為什么把道路全長(zhǎng)設(shè)為36千米，不設(shè)為其他數(shù)值呢？

生3：因?yàn)榘训缆啡L(zhǎng)設(shè)為36千米，除以天數(shù)12或18時(shí)，都可以除盡，這樣容易理解，也便于計(jì)算。

生5：既然這樣的話，能不能把道路全長(zhǎng)假設(shè)為單位“1”呢？

同學(xué)們回答：應(yīng)該可以！

生6：依據(jù)大家的想法，把這條道路假設(shè)成任意的長(zhǎng)度都可以，說(shuō)明這道題有無(wú)數(shù)種解答方法。（同學(xué)們半疑半信）

師：數(shù)學(xué)就是這樣神秘，思考不出來(lái)的時(shí)候覺(jué)得難受，甚至是煎熬，當(dāng)想出來(lái)的時(shí)候，做數(shù)學(xué)題真是人生的一種享受?。ㄍ瑢W(xué)們高興得笑了）

師：好！現(xiàn)在請(qǐng)大家選擇自己喜歡的數(shù)據(jù)，嘗試解答這道題。

（三）一波三折，解疑惑

請(qǐng)剛才假設(shè)道路不同看法的三位同學(xué)上黑板計(jì)算，教師巡視。

生3：假設(shè)這條道路全長(zhǎng)為36千米。

36÷（36÷12+36÷18）=36÷5=7.2（天）

生5：假設(shè)這條道路全長(zhǎng)為單位“1”。

1÷（+）=1÷= （天）

生5：我設(shè)的是道路全長(zhǎng)為單位“1”，根據(jù)工作總量÷工作時(shí)間=工作效率，分別用單位“1”除以一隊(duì)和二隊(duì)的工作時(shí)間，得到一隊(duì)和二隊(duì)的工作效率分別是全長(zhǎng)的和全長(zhǎng)的，再用工作總量單位“1”除以一隊(duì)和二隊(duì)的工作效率和（+），得到兩隊(duì)合作完成的時(shí)間是天。

生2：老師，我假設(shè)道路全長(zhǎng)為x千米，列出算式“x÷（x÷12+x÷18）”后，怎么沒(méi)法計(jì)算呢？我感覺(jué)算式也正確呀？（看著前面兩位同學(xué)都把得數(shù)算出來(lái)，這位同學(xué)急得請(qǐng)教老師）

師：怎么辦？設(shè)道路全長(zhǎng)為x千米也不好計(jì)算啦？誰(shuí)愿意幫忙？

有一學(xué)生舉手要求板書(shū)，把這道題完成。（如圖2）

生7：老師，這種算法怎么這么巧合，正好把算式中的x約去了？但是，感覺(jué)非常蹊蹺，它又不像方程，最后還能計(jì)算出同樣的結(jié)果。

師：你觀察得仔細(xì)，思考得深入，提出的問(wèn)題很有價(jià)值。提出一個(gè)問(wèn)題要比解決一個(gè)問(wèn)題更重要！請(qǐng)同學(xué)們觀察這道算式哪兒不像方程？

生8：方程解法是根據(jù)數(shù)量關(guān)系建立等量關(guān)系，這里沒(méi)有等式，所以它不是方程解法。

師：你的思維敏捷，講解得精準(zhǔn)到位，這不叫方程解法，這叫代數(shù)式法。

下面的同學(xué)們竊竊私語(yǔ)，討論“代數(shù)式法”。

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察黑板上的幾種解法，你有何感想？

生9：為什么假設(shè)的道路全長(zhǎng)不同，算出的合作時(shí)間都是相同的呢？

生10：是呀，我也是這么想的。為什么道路全長(zhǎng)不論怎么變化，最后的合作時(shí)間卻是不變的？

師：這說(shuō)明合作時(shí)間和總路長(zhǎng)有關(guān)系嗎？

生：沒(méi)有關(guān)系。（幾乎全班同學(xué)說(shuō)）

師：這個(gè)問(wèn)題中什么東西是不變的？（同學(xué)們又陷入沉思）

忽然，一名同學(xué)小心翼翼地說(shuō)：老師，我能到黑板上講嗎？”

師：太好啦。

只見(jiàn)這位同學(xué)把前面“生3”的算式稍作修復(fù)后，讓同學(xué)們觀察三道算式，發(fā)現(xiàn)了什么？

1÷（+）

36÷[（+）×36 ]

x÷[（+）×x ]

生11：哦，我發(fā)現(xiàn)這條道路的總長(zhǎng)不論取值多少，兩隊(duì)每天修的長(zhǎng)度占總長(zhǎng)度的幾分之幾是固定的，所以合作的修路時(shí)間也是不變的。

師：大家明白嗎？（部分同學(xué)們微微點(diǎn)頭）誰(shuí)還有不同的理解？

另一同學(xué)也走上講臺(tái)，用手指著三道算式對(duì)比著講解：請(qǐng)大家觀察算式，被除數(shù)‘1擴(kuò)大36倍，除數(shù)也擴(kuò)大36倍，商當(dāng)然不變;被除數(shù)‘1擴(kuò)大x倍（x≠0），除數(shù)也擴(kuò)大x倍，商也是不會(huì)變的，這不正是除法中商不變規(guī)律的應(yīng)用嗎？

教室里響起熱烈的掌聲……

（四）峰回路轉(zhuǎn)，尋模型

師：看來(lái)同學(xué)們?cè)诮鉀Q工程問(wèn)題時(shí)，不僅找到多種算法，還明白了其中的算理，那我們應(yīng)用剛才學(xué)習(xí)的方法解決一些生活問(wèn)題，可以嗎？

生：可以。

師：請(qǐng)同學(xué)們打開(kāi)數(shù)學(xué)課本的第45頁(yè)，完成第9題，老師巡視。（如圖3）

一段時(shí)間后，尋找?guī)孜煌瑢W(xué)上黑板計(jì)算。

生1：300÷（300÷8+300÷10）= 300÷67.5 =4 （天）

生2：假設(shè)要種40棵樹(shù)。

40÷（40÷8+40÷10）=40÷9=4 （天）

生3：假設(shè)要種x棵樹(shù)。

x÷（x÷8+x÷10）=x÷（+）=x×=4（天）

生4：假設(shè)要種的棵樹(shù)為單位“1”，5天種樹(shù)：

（+）×5=? ?因?yàn)?1

生5：假設(shè)要種的棵樹(shù)為單位“1”。

1÷（+）=4 （天）

生6：? ==4 （天）

“哇塞！這么多種算法？”下面的同學(xué)驚奇地說(shuō)。

師：請(qǐng)大家觀察以上幾位同學(xué)的算法，談?wù)勀銈兊南敕ā?/p>

生7：第六種算法我看不懂，方法六的同學(xué)能為大家講講嗎？

生6：剛才我看到兩隊(duì)每天修的長(zhǎng)度占總長(zhǎng)度的幾分之幾是固定的，忽然想到：在前面學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，我們總結(jié)過(guò)分子是1的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加的規(guī)律：只要將分母相乘的積作分母，分母相加的和作分子，計(jì)算后能約分的要約分，這種算法正相當(dāng)于工程問(wèn)題的工作效率和。我們把工作總量看作單位“1”，工作總量“1”÷工作效率和=合作時(shí)間，所以只要我們求出工作效率和的倒數(shù)，就是合作時(shí)間。也就是，只要將兩隊(duì)單干工作時(shí)間的和作分母，兩隊(duì)單干時(shí)間的積作分子，這樣就能很快求出合作時(shí)間，列出算式是：==4（天）。（個(gè)別幾人鼓掌）

師：同學(xué)們清楚這樣的算法嗎？（沒(méi)幾人點(diǎn)頭）

師：如果一隊(duì)單干a天完成，二隊(duì)單干b天完成，兩隊(duì)合干，幾天完成任務(wù)？用字母能表示你的想法嗎？（我趁機(jī)追問(wèn)）

生6：兩隊(duì)單干時(shí)間和作為分母，單干時(shí)間積作為分子，用字母表示合干的時(shí)間應(yīng)該是： （天）。

師：同學(xué)們明白嗎？（教室里鴉雀無(wú)聲）實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，我們可以舉例驗(yàn)證這種算法正確與否，請(qǐng)大家課下驗(yàn)證他的算法。

二、課后感悟

（一）探討“變中有不變”，抽象數(shù)學(xué)本質(zhì)

在總結(jié)例7的不同算法時(shí)，學(xué)生通過(guò)假設(shè)不同的總路長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)總路長(zhǎng)不同，算出的合作時(shí)間都是相同的。于是引導(dǎo)學(xué)生思考：合作時(shí)間和總路長(zhǎng)有什么關(guān)系嗎？（沒(méi)有關(guān)系）為什么總路長(zhǎng)改變，得到的合作時(shí)間卻是不變的？這個(gè)問(wèn)題中什么東西是不變的？通過(guò)交流討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“變中有不變”是指：無(wú)論道路怎么變化，兩隊(duì)每天修的長(zhǎng)度占總長(zhǎng)度的幾分之幾是不變的。因此，很自然地想到可以把道路長(zhǎng)度假設(shè)成單位“1”或者其他數(shù)據(jù)。

讓學(xué)生親自經(jīng)歷這一從具體數(shù)量逐步抽象的過(guò)程，對(duì)于提高學(xué)生問(wèn)題解決的能力至關(guān)重要。這時(shí)，教師繼續(xù)追問(wèn)：“誰(shuí)還有不同的理解？”逼著學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來(lái)是“應(yīng)用除法中商不變的性質(zhì)”這一規(guī)律，從學(xué)生的表情可以看出，大部分學(xué)生完全明白“變中有不變”的真正原因，讓學(xué)生實(shí)實(shí)在在感受到數(shù)學(xué)知識(shí)源于生活，生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化，也讓數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)得以升華。

（二）尋找解決問(wèn)題途徑，體會(huì)模型思想

本節(jié)課在引導(dǎo)學(xué)生尋找多種解題方法的同時(shí)，注重加強(qiáng)學(xué)生的類(lèi)比、歸納、抽象及概括等思維能力的訓(xùn)練。

在教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化、猜想、推理等基本的數(shù)學(xué)思想，經(jīng)歷這樣的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，遠(yuǎn)比給予同學(xué)們現(xiàn)成的結(jié)論要有效果、有價(jià)值。同時(shí)，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷自主探究、交流討論、解決問(wèn)題的過(guò)程后，掌握并運(yùn)用了假設(shè)、驗(yàn)證等方法解決問(wèn)題的基本策略，從而讓學(xué)生體會(huì)到了抽象數(shù)學(xué)的建模思想。此外，我們也沒(méi)有必要把總長(zhǎng)度假設(shè)成單位“1”的方法或套用“”方法看成是最優(yōu)方法，避免學(xué)生對(duì)解題思路過(guò)度單一而思維僵化，形成“套路化”。練習(xí)中仍要允許學(xué)生不求方法單一性和最優(yōu)化，但求方法開(kāi)放性和多樣化，讓不同的學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題上得到不同的發(fā)展。為個(gè)性化思維的學(xué)生提供廣闊的思維空間，從而挖掘?qū)W生的潛能，提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。