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      全等變換萬千題源頭卻在課本中

      2020-09-22 20:56:45錢小強
      初中生世界·八年級 2020年9期
      關(guān)鍵詞:兩題蘇科版本題

      錢小強

      “全等三角形”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,在中考中占比很大。三角形的全等變換主要有平移、翻折、旋轉(zhuǎn)三大類,只改變?nèi)切蔚奈恢?,不改變?nèi)切蔚男螤詈痛笮?。仔細研究課本你會發(fā)現(xiàn),無論問題如何變化,這類問題的根其實就在課本之中,有的直接來自課本原題,有的則是將課本原題適當改編。課本是萬題之源,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之根本。

      一、平移型全等變換

      例1 (2019·江蘇連云港)如圖1,在△ABC 中,AB=AC。將△ABC 沿著BC 方向平移得到△DEF,其中點E 在邊BC 上,DE與AC 相交于點O。(1)求證:△OEC 為等腰三角形;(2)連接AE、DC、AD,當點E 在什么位置時,四邊形AECD 為矩形,并說明理由。

      【試題追蹤】本題源自蘇科版教材八(上)第21頁例6:

      已知,如圖2,點A、B、C、D 在一條直線上,EA//FB,EC//FD,EA=FB。求證:AB=CD。

      【特點比較】兩題本質(zhì)上都考查了三角形全等的知識,比較發(fā)現(xiàn):連云港試題考查了全等三角形的性質(zhì),直接將“三角形平移”作為條件,根據(jù)平移的性質(zhì)可以直接得到兩個三角形全等,然后借助等腰三角形的性質(zhì)解答;課本例題呈現(xiàn)的是一個靜態(tài)圖形,既考查了全等三角形的判定,也考查了全等三角形的性質(zhì),由題目條件可以得到△AEC≌△BFD,雖然條件中沒有“平移”二字,但本質(zhì)上也是三角形的平移。兩題如出一轍。解題過程留給同學(xué)們探索。

      二、翻折型全等變換

      例2 (2019·江蘇常州)如圖3,把平行四邊形紙片ABCD 沿BD 折疊,點C 落在點C′處,BC′與AD 相交于點E。(1)連接AC′,則AC′與BD 的位置關(guān)系是;(2)EB 與ED 相等嗎?證明你的結(jié)論。

      【試題追蹤】本題源自蘇科版教材八(上)第28頁例8:

      已知,如圖4,AD、BC 相交于點O,AD=BC,∠C=∠D=90°。求證:AO=BO,CO=DO。

      【特點比較】比較兩題,發(fā)現(xiàn)兩題都屬于三角形的翻折,它們的證明方法類似,而且都可以變式、拓展,具有較大的發(fā)展空間。兩題的不同之處是所給條件不同。常州試題從圖形變換的角度直接給出翻折的條件,課本例題則是從靜態(tài)的角度給出了翻折后的圖形;常州試題給的是一般三角形,課本例題中是直角三角形。解題過程同樣留給同學(xué)們自行探索。

      三、旋轉(zhuǎn)型全等變換

      例3 (2019·江蘇蘇州)如圖5,△ABC 中,點E 在BC 邊上,AE=AB,將線段AC 繞A 點旋轉(zhuǎn)到AF 的位置,使得∠CAF=∠BAE,連接EF,EF 與AC 交于點G。(1)求證:EF=BC;(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC 的度數(shù)。

      【試題追蹤】本題源自蘇科版教材八(上)第21頁“討論”的第1題:

      如圖6,∠A= ∠B,∠AEB= ∠CED,EA=EB,你能證明AC=BD 嗎?

      【特點比較】蘇州試題與課本例題圖形較為接近,但又有所區(qū)別。兩題的結(jié)論基礎(chǔ)都與三角形全等緊密相關(guān),都可以從結(jié)論著手分析,找出要證明的兩條邊所在的三角形的全等關(guān)系。蘇州試題要證EF=BC,只要證△AEF≌△ABC;而課本例題要證AC=BD,只需證△AEC≌△BED。兩題圖形中的一個三角形都可以看成由另一個三角形繞某一點旋轉(zhuǎn)而成,可運用旋轉(zhuǎn)的有關(guān)知識解決。兩題不同之處在于呈現(xiàn)的方式不同,蘇州試題直接將旋轉(zhuǎn)變換作為條件,課本例題中條件沒有指明旋轉(zhuǎn),但本質(zhì)也是三角形旋轉(zhuǎn)變換。同學(xué)們可以試著寫出解題過程。

      從上述試題追蹤與特點比較可以看出,盡管中考試題千變?nèi)f化,但它們的源頭離不開課本,即課本的基礎(chǔ)知識、基本方法與基本圖形。我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時,一定要充分發(fā)揮課本的作用,以不變應(yīng)萬變,避免陷入“題海”之中。

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