全等變換萬千題源頭卻在課本中

錢小強

“全等三角形”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在中考中占比很大。三角形的全等變換主要有平移、翻折、旋轉(zhuǎn)三大類，只改變?nèi)切蔚奈恢?，不改變?nèi)切蔚男螤詈痛笮?。仔細研究課本你會發(fā)現(xiàn)，無論問題如何變化，這類問題的根其實就在課本之中，有的直接來自課本原題，有的則是將課本原題適當改編。課本是萬題之源，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之根本。

一、平移型全等變換

例1 （2019·江蘇連云港）如圖1，在△ABC 中，AB=AC。將△ABC 沿著BC 方向平移得到△DEF，其中點E 在邊BC 上，DE與AC 相交于點O。（1）求證：△OEC 為等腰三角形;（2）連接AE、DC、AD，當點E 在什么位置時，四邊形AECD 為矩形，并說明理由。

【試題追蹤】本題源自蘇科版教材八（上）第21頁例6：

已知，如圖2，點A、B、C、D 在一條直線上，EA//FB，EC//FD，EA=FB。求證：AB=CD。

【特點比較】兩題本質(zhì)上都考查了三角形全等的知識，比較發(fā)現(xiàn)：連云港試題考查了全等三角形的性質(zhì)，直接將“三角形平移”作為條件，根據(jù)平移的性質(zhì)可以直接得到兩個三角形全等，然后借助等腰三角形的性質(zhì)解答;課本例題呈現(xiàn)的是一個靜態(tài)圖形，既考查了全等三角形的判定，也考查了全等三角形的性質(zhì)，由題目條件可以得到△AEC≌△BFD，雖然條件中沒有“平移”二字，但本質(zhì)上也是三角形的平移。兩題如出一轍。解題過程留給同學(xué)們探索。

二、翻折型全等變換

例2 （2019·江蘇常州）如圖3，把平行四邊形紙片ABCD 沿BD 折疊，點C 落在點C′處，BC′與AD 相交于點E。（1）連接AC′，則AC′與BD 的位置關(guān)系是;（2）EB 與ED 相等嗎？證明你的結(jié)論。

【試題追蹤】本題源自蘇科版教材八（上）第28頁例8：

已知，如圖4，AD、BC 相交于點O，AD=BC，∠C=∠D=90°。求證：AO=BO，CO=DO。

【特點比較】比較兩題，發(fā)現(xiàn)兩題都屬于三角形的翻折，它們的證明方法類似，而且都可以變式、拓展，具有較大的發(fā)展空間。兩題的不同之處是所給條件不同。常州試題從圖形變換的角度直接給出翻折的條件，課本例題則是從靜態(tài)的角度給出了翻折后的圖形;常州試題給的是一般三角形，課本例題中是直角三角形。解題過程同樣留給同學(xué)們自行探索。

三、旋轉(zhuǎn)型全等變換

例3 （2019·江蘇蘇州）如圖5，△ABC 中，點E 在BC 邊上，AE=AB，將線段AC 繞A 點旋轉(zhuǎn)到AF 的位置，使得∠CAF=∠BAE，連接EF，EF 與AC 交于點G。（1）求證：EF=BC;（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC 的度數(shù)。

【試題追蹤】本題源自蘇科版教材八（上）第21頁“討論”的第1題：

如圖6，∠A= ∠B，∠AEB= ∠CED，EA=EB，你能證明AC=BD 嗎？

【特點比較】蘇州試題與課本例題圖形較為接近，但又有所區(qū)別。兩題的結(jié)論基礎(chǔ)都與三角形全等緊密相關(guān)，都可以從結(jié)論著手分析，找出要證明的兩條邊所在的三角形的全等關(guān)系。蘇州試題要證EF=BC，只要證△AEF≌△ABC;而課本例題要證AC=BD，只需證△AEC≌△BED。兩題圖形中的一個三角形都可以看成由另一個三角形繞某一點旋轉(zhuǎn)而成，可運用旋轉(zhuǎn)的有關(guān)知識解決。兩題不同之處在于呈現(xiàn)的方式不同，蘇州試題直接將旋轉(zhuǎn)變換作為條件，課本例題中條件沒有指明旋轉(zhuǎn)，但本質(zhì)也是三角形旋轉(zhuǎn)變換。同學(xué)們可以試著寫出解題過程。

從上述試題追蹤與特點比較可以看出，盡管中考試題千變?nèi)f化，但它們的源頭離不開課本，即課本的基礎(chǔ)知識、基本方法與基本圖形。我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，一定要充分發(fā)揮課本的作用，以不變應(yīng)萬變，避免陷入“題海”之中。