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    根的判別式在解題中的應(yīng)用

    2020-09-21 08:43:33張?zhí)锾?/span>
    初中生世界·九年級(jí) 2020年9期
    關(guān)鍵詞:判別式菱形邊長

    張?zhí)锾?/p>

    一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式Δ=b2-4ac在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有非常重要的地位,它是解決一元二次方程相關(guān)問題的重要工具,也是中考的必考知識(shí)點(diǎn)。利用根的判別式可以判斷一元二次方程的根的情況,在解決方程、函數(shù)、不等式等問題時(shí)也有廣泛的應(yīng)用。下面就根的判別式在解題中的應(yīng)用舉例說明,以期對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

    蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)“一元二次方程”第20頁的習(xí)題中有這樣一題:

    例1 k取什么值時(shí),關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?沒有實(shí)數(shù)根?

    【分析】本題主要考查的是一元二次方程的根的判別式的知識(shí)。一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況可以由根的判別式b2-4ac的符號(hào)來判定。當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根。故先用含k的代數(shù)式表示b2-4ac,再分別用b2-4ac=0,b2-4ac>0,b2-4ac<0求出相應(yīng)的k的取值范圍。

    變式1 (2020·江蘇南京)關(guān)于x的方程(x-1)(x+2)=p2(p為常數(shù))的根的情況,下列結(jié)論中正確的是( )。

    A.兩個(gè)正根

    B.兩個(gè)負(fù)根

    C.一個(gè)正根,一個(gè)負(fù)根

    D.無實(shí)數(shù)根

    【分析】本題考查一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)。先把方程(x-1)(x+2)=p2化為一般式,根據(jù)根的判別式A=b2-4ac的符號(hào)來判斷方程根的個(gè)數(shù),再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a來判斷根的正負(fù)性,即可求解。

    解:將原方程化為x2+x-2-p2=0,

    則Δ=b2-4ac=1+8+4p2=9+4p20,可知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

    因?yàn)閤1·x2=c/a=-2-p2<0,

    所以此方程有一個(gè)正根,一個(gè)負(fù)根,故選C。

    變式2 已知關(guān)于x的方程mx2+(3m-2)x+2m-2=0。

    (1)求證:方程總有實(shí)數(shù)根;

    (2)若方程有兩個(gè)整數(shù)根,求整數(shù)m的值。

    【分析】本題考查含字母系數(shù)方程的根的情況。(1)對(duì)于此類問題,首先要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論,先確定方程的類型。若m=0,方程是一元一次方程,有實(shí)數(shù)根;若m≠0,方程是一元二次方程,則需由根的判別式Δ=b2-4ac進(jìn)行判定,確定根的判別式的符號(hào),從而得知方程根的情況。(2)把mx2+(3m-2)x+2m-2=0因式分解得到方程的兩個(gè)根,再根據(jù)題意求整數(shù)m的值。

    (1)證明:當(dāng)m=0時(shí),原方程可化為-2x-2=0,方程有實(shí)數(shù)根X=-1;

    當(dāng)m≠0時(shí),mx2+(3m-2)x+2m-2=0是關(guān)于x的一元二次方程,

    由題意,得a=m,b=3m-2,c=2m-2。

    因?yàn)椤?b2-4ac=(3m-2)2-4m(2m-2)=m2-4m+4=(m-2)2≥0,

    所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

    綜上所述,不論m為何值,方程總有實(shí)數(shù)根。

    (2)解:由題意知方程有兩個(gè)整數(shù)根,故m≠0。

    因?yàn)閙x2+(3m-2)x+2m-2=0,

    所以(mx+2m-2)(x+1)=0,

    所以x1=-1,x2=-2+2/m。

    因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)整數(shù)根且m是整數(shù),

    所以m=±2或m=±1。

    二、判別式在實(shí)際問題中的應(yīng)用

    蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)“一元二次方程”第24頁問題1:

    例2 用一根長22cm的鐵絲:

    (1)能否圍成面積是30cm2的矩形?

    (2)能否圍成面積是32cm2的矩形?

    【分析】本題考查列一元二次方程解決實(shí)際問題、根的判別式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)。(1)設(shè)圍成的矩形的長是xcm,根據(jù)矩形的面積公式列出方程,解方程即可;(2)同第1問,列出方程,要判斷能否圍成矩形,需要判斷方程根的情況,借助根的判別式b2-4ac即可得到結(jié)論。

    解:設(shè)這根鐵絲圍成的矩形的長是xcm,則矩形的寬是(11-x)cm。

    (1)根據(jù)題意,得x(11-x)=30,

    即x2-11x+30=0。

    解這個(gè)方程,得x1=5,x2=6。

    當(dāng)x=5時(shí),11-x=6;當(dāng)x=6時(shí),11-x=5。

    答:用一根長22cm的鐵絲能圍成面積是30cm2的矩形。

    (2)根據(jù)題意,得x(11-x)=32,

    即x2-11x+32=0。

    因?yàn)閎2-4ac=(-11)2-4×1×32=121-128=-7<0,

    所以此方程沒有實(shí)數(shù)根。

    答:用一根長22cm的鐵絲不能圍成面積是32cm2的矩形。

    變式1 把一根長32cm的鐵絲剪成兩段,并把每一段各圍成一個(gè)正方形。問:這兩個(gè)正方形面積的和可能等于30cm2嗎?

    【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用,利用正方形的周長表示出正方形的邊長進(jìn)而列出方程,然后可以利用一元二次方程的根的判別式判斷方程是否有解,若無解,則不可能;若有解,先求解,再根據(jù)實(shí)際問題來驗(yàn)證解是否符合條件。

    解:設(shè)其中一個(gè)正方形的邊長是xcm,則另一個(gè)正方形的邊長是(8-x)cm。

    根據(jù)題意,得x2+(8-x)2=30,

    即x2-8x+17=0。

    因?yàn)閎2-4ac=(-8)2-4×1×17=64-68=-4<0.

    所以此方程沒有實(shí)數(shù)根。

    答:這兩個(gè)正方形面積的和不可能等于30cm2。

    變式2 已知EYABCD的兩邊AB、AD的長是關(guān)于x的方程x2+m/2-1/4=0的兩個(gè)根。問:m為何值時(shí),◇ABCD是菱形?并求出菱形的邊長。

    【分析】本題考查菱形的性質(zhì)。若◇ABCD為菱形,則邊長相等,那么一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即可以得到根的判別式b2-4ac=0,進(jìn)而求出m的值,最后通過解一元二次方程的根求出菱形的邊長即可。

    解:∵四邊形ABCD是菱形,

    ∴AB=AD。

    ∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,即b2-4ac=0。

    故b2-4ac=m2-4(m/2-1/4)=0,

    解這個(gè)方程,得m=1。

    當(dāng)m=1時(shí),原方程為x2-x+1/4=0,

    解這個(gè)方程,得x1=x2=0.5。

    答:當(dāng)m為1時(shí),平行四邊形ABCD是菱形,菱形的邊長為0.5。

    總而言之,根的判別式的應(yīng)用在歷年的中考題中都有所體現(xiàn),它不僅可以用來判斷一元二次方程根的情況,也可以解決如函數(shù)、方程、不等式、幾何等很多其他的問題。許多表面與一元二次方程無關(guān)的數(shù)學(xué)問題,如完全平方式、二次三項(xiàng)式的因式分解等,都可以通過構(gòu)造一元二次方程,把原問題轉(zhuǎn)化為討論方程根的性質(zhì)的相關(guān)問題進(jìn)行解決。

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