理清思路，志在必得

劉佳

“一元二次方程”安排在九年級(jí)上冊(cè)第一章，是初中階段學(xué)習(xí)的最后一類(lèi)方程，同時(shí)也為后面二次函數(shù)的學(xué)習(xí)做了鋪墊。在學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，我們的研究路徑一般是“概念—解法—應(yīng)用”。一元二次方程與之前所學(xué)的方程又有不同之處，即一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系作為每年中考必考知識(shí)點(diǎn)，簡(jiǎn)單，易得分。下面圍繞這個(gè)知識(shí)點(diǎn)介紹幾種類(lèi)型的題目，希望同學(xué)們能熟練運(yùn)用。

例1 已知關(guān)于x的方程x²-6x+m²-3m-5=0的一個(gè)根是-1，求方程的另一個(gè)根和m的值。

【分析】這道題方法不唯一，你是怎么思考的？

方法一：把X=-1代入原方程，得到關(guān)于m的一元二次方程。求出m的值，再代入原方程求解。該方法沒(méi)有用到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，僅利用解一元二次方程解決的。

方法二：由題意，可知a=1，b=-6，c=m²-3m-5。由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=-b/a=6，x₁·x₂=c/a=m²-3m-5，尋求到突破口，解決問(wèn)題。

解法一：把X=--1代入原方程，得1+6+m²-3m-5=0。

整理，得m²-3m+2=0。

解這個(gè)方程，得m₁=2，m₂=1。

把m₁=2代入原方程，得x²-6x-7=0。

解這個(gè)方程，得x₁=-1，x₂=7。

所以方程的另一個(gè)根是7，m的值是1或2。

解法二：由題意，得a=1，b=-6，c=m²-3m-5。

x₁+x₂=b/a=6。

把x=-1代入，得另一個(gè)根為7。

由x₁·x₂=c/a，得

m²-3m-5=-1×7=-7。

解這個(gè)方程，得m₁=2，m₂=1。

所以方程的另一個(gè)根是7，m的值是1或2。

例2 已知關(guān)于x的方程x²+px+q=0的兩根為-3和-1，求p、q的值。

【分析】方法一：把兩根分別代入原方程，得到關(guān)于p、q的二元一次方程組，解這個(gè)方程組即可。

方法二：由題可知a=1，b=p，c=q，由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=-b/a=-p=-4，x₁·x₂=c/a=q=3，進(jìn)而求解。