兩類帶狀態(tài)依賴脈沖效應(yīng)的捕食-食餌模型的動(dòng)力學(xué)

劉艷

【摘 要】 文章主要分析了兩類帶狀態(tài)依賴脈沖效應(yīng)的捕食-食餌模型，通過對(duì)其進(jìn)行討論分析，探究了在投放與不投放天敵狀況之下系統(tǒng)周期的穩(wěn)定性以及存在性問題，獲得了對(duì)應(yīng)的控制參數(shù)臨界值，通過對(duì)其進(jìn)行模擬分析，為相關(guān)研究提供參考與支持。

【關(guān)鍵詞】 兩類;帶狀態(tài)依賴脈沖效應(yīng)的捕食;食餌模型;動(dòng)力學(xué)

探究?jī)深悗顟B(tài)依賴脈沖效應(yīng)的捕食-食餌模型的動(dòng)力學(xué)，利用生物數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行食餌模型的分析，可以達(dá)到優(yōu)化參數(shù)的目的。對(duì)此，通過分析兩類不同的食餌模型，在生物數(shù)學(xué)的支持之下，研究分析其內(nèi)在的規(guī)律特征，有利于生態(tài)保護(hù)工作的開展。

一、兩類帶狀態(tài)依賴脈沖效應(yīng)的捕食研究分析

生物數(shù)學(xué)就是通過數(shù)學(xué)知識(shí)解決生物問題的重要學(xué)科，其融合了生物學(xué)以及數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)，主要是通過數(shù)學(xué)方法以及技巧解決生物學(xué)的問題，在理論上對(duì)其進(jìn)行深入研究，有利于當(dāng)代生物學(xué)的發(fā)展及在各個(gè)領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用。生物動(dòng)力學(xué)是生物數(shù)學(xué)中較為重要的分支學(xué)科，通過研究分析生物系統(tǒng)中相關(guān)生物以及狀態(tài)在不同時(shí)間中產(chǎn)生變化的規(guī)律特征，利用對(duì)應(yīng)的差分方程、時(shí)滯微分方程以及脈沖微分方程等相關(guān)微分動(dòng)力系統(tǒng)對(duì)生物系統(tǒng)進(jìn)行描述分析。

隨著生態(tài)問題日益嚴(yán)重，人們的生產(chǎn)生活也受到了不同程度的影響，通過微分動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行生物模型，可以充分了解生物種群以及生態(tài)系統(tǒng)中產(chǎn)生的變化規(guī)律，進(jìn)而為人力保護(hù)生態(tài)環(huán)境、害蟲治理以及預(yù)防生態(tài)系統(tǒng)等提供有效的參考與支持。對(duì)此，通過微分動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行生物模型研究具有重要的價(jià)值。

二、探究?jī)深悗顟B(tài)依賴脈沖效應(yīng)的捕食-食餌模型的動(dòng)力學(xué)

根據(jù)實(shí)際狀況分帶狀態(tài)依賴脈沖效應(yīng)的型捕食-食餌模型，利用首次積分以及數(shù)學(xué)方式分析討論此模型的正周期解及其存在的穩(wěn)定條件，證明了系統(tǒng)正周期解或者不存在及其在存在但是不穩(wěn)定狀況中的狀況，表明了此模型在生物脈沖中的必要性，也就是在害蟲數(shù)量達(dá)到特定閾值或者小于某個(gè)數(shù)值的時(shí)候，要投放特定量的天敵，則可以達(dá)到控制病蟲數(shù)量的目的，通過結(jié)果分析論證了在產(chǎn)生生物脈沖系統(tǒng)的時(shí)候正周期解的穩(wěn)定條件，在理論上優(yōu)化了傳統(tǒng)的方式。

1.HollingII型捕食-食餌模型分析

治理害蟲是生態(tài)學(xué)以及生物數(shù)學(xué)中較為復(fù)雜的問題，在環(huán)境變化、人類行為的作用與影響之下，會(huì)造成生物數(shù)量出現(xiàn)不同程度的變化，這種變化會(huì)產(chǎn)生不同程度的影響。對(duì)此，可將動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)與脈沖融合，將常微分系統(tǒng)轉(zhuǎn)化處理形成對(duì)應(yīng)的脈沖微分系統(tǒng)。同理，治理害蟲中通過噴灑農(nóng)藥以及投放天敵的方式會(huì)在短時(shí)間中減少害蟲數(shù)量，這樣就會(huì)產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的帶脈沖效應(yīng)的捕食-食餌模型。多數(shù)系統(tǒng)分析的都是固定時(shí)刻中產(chǎn)生的脈沖，也就是在固定的時(shí)刻中進(jìn)行處理，每次采取措施的時(shí)間也是固定的。在一些生物模型中，在害蟲數(shù)量達(dá)到某個(gè)特定閾值的時(shí)候才會(huì)采取一些措施。對(duì)此，一些學(xué)生就對(duì)狀態(tài)依賴脈沖微分系統(tǒng)進(jìn)行了研究分析，在害蟲數(shù)量達(dá)到閾值的同時(shí)噴灑農(nóng)藥或者投放天敵，就會(huì)忽略殺蟲劑對(duì)天敵產(chǎn)生的影響，也就是殺蟲劑在殺死害蟲的同時(shí)也會(huì)殺死天敵，這樣就會(huì)增加成本。同時(shí)，忽略天敵對(duì)害蟲產(chǎn)生的控制與影響，只要害蟲數(shù)量已經(jīng)達(dá)到了閾值就進(jìn)行處理，此種方式缺乏合理性，主要是因?yàn)橐恍┖οx數(shù)量雖然達(dá)到了閾值要求，但是并沒有達(dá)到必須要應(yīng)用殺蟲劑控制的時(shí)候，可以通過生物方式進(jìn)行控制，這樣就會(huì)減少農(nóng)藥造成的污染與影響，也可以有效地控制害蟲數(shù)量。因此，在不同時(shí)刻中投放天敵以及噴灑農(nóng)藥的生物模型便產(chǎn)生了。在害蟲數(shù)量達(dá)到閾值的時(shí)候，通過投放天敵的方式可以有效地減少害蟲的增加速度;在害蟲數(shù)量呈現(xiàn)持續(xù)增加并達(dá)到了更大的閾值的時(shí)候再噴灑農(nóng)藥，就會(huì)在短時(shí)間內(nèi)減少害蟲的數(shù)量。在噴灑農(nóng)藥之后也會(huì)減少天敵的數(shù)量，其主要生物模型如下：

害蟲數(shù)量在達(dá)到一定閾值的時(shí)候投放天敵，則害蟲數(shù)量不變，但是天敵數(shù)量增加，就會(huì)減少害蟲數(shù)量增加的速度。在害蟲數(shù)量增加到一定閾值的時(shí)候通過殺蟲劑進(jìn)行控制處理，就會(huì)減少害蟲的數(shù)量以及天敵的數(shù)量。

通過構(gòu)建Poincare的方式映射，通過定性分析的方式進(jìn)行處理，則可以確定系統(tǒng)在半平凡周期解中存在以及穩(wěn)定狀況之下的正周期解存在的條件參數(shù)，為了驗(yàn)證結(jié)論是否正確，就要對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬分析。通過分析可以發(fā)現(xiàn)，不投放天敵狀況之下，每次噴灑殺蟲劑數(shù)量對(duì)于害蟲的控制系數(shù)較大的時(shí)候，可以將害蟲的數(shù)量控制在（0.3，0.6）的區(qū)間范圍內(nèi)，殺蟲劑也會(huì)對(duì)天敵產(chǎn)生影響。因此，天敵數(shù)量在時(shí)間的推移之下會(huì)逐漸趨于零，系統(tǒng)呈現(xiàn)平衡的狀態(tài)。但是，如果每次噴灑殺蟲劑數(shù)量較小，其對(duì)于天敵的作用不大，在此種狀況之下，天敵會(huì)呈現(xiàn)自然繁衍狀況，害蟲則會(huì)被有效消滅。而天敵數(shù)量的增加也會(huì)造成系統(tǒng)崩潰的問題出現(xiàn)，因此，如果想要合理地控制害蟲的數(shù)量，保持系統(tǒng)平衡性，就要合理控制殺蟲劑數(shù)量，將害蟲與天敵的數(shù)量控制在可控的范圍內(nèi)。

通過設(shè)置兩個(gè)脈沖面的方式進(jìn)行模型改進(jìn)優(yōu)化，利用幾何方法以及定性分析幾何的方式研究系統(tǒng)，是一種全新的方式。

2.一類帶脈沖狀態(tài)依賴的一型捕食-食餌模型的動(dòng)力學(xué)分析

捕食-食餌模型動(dòng)力學(xué)分析是研究的重點(diǎn)內(nèi)容。為了達(dá)到減少病蟲數(shù)量的目的，人們通過定期噴灑農(nóng)藥或者投放天敵的方式進(jìn)行處理，通過在固定的時(shí)刻中同時(shí)投放天敵或者噴灑農(nóng)藥的方式進(jìn)行處理是研究的重點(diǎn)。但是如果沒有分析害蟲數(shù)量，就盲目地定期處理缺乏實(shí)踐性，不僅會(huì)增加成本，也會(huì)造成環(huán)境污染。因此，相關(guān)學(xué)者提出在害蟲數(shù)量達(dá)到一定數(shù)值的時(shí)候再進(jìn)行控制的狀態(tài)依賴脈沖控制系統(tǒng)，此種方式雖然有效，但是因?yàn)槠錄]有分析農(nóng)藥對(duì)天敵產(chǎn)生的影響，導(dǎo)致農(nóng)藥造成天敵的死亡。分析在不同時(shí)刻中噴灑農(nóng)藥以及投放天敵的模型則被提出，如下：

通過帶脈沖狀態(tài)依賴的一型捕食-食餌模型研究論證在不發(fā)生生物脈沖狀況之下，此系統(tǒng)正周期解或者不存在，分析是否穩(wěn)定性，利用數(shù)值模擬的方式證實(shí)分析其結(jié)論信息，利用映射或者首次積分的方式獲得其發(fā)生生物脈沖，通過分析在投放天敵狀況之下系統(tǒng)在正周期解的條件之下生物脈沖量屬于控制便令，通過證明確定在其小于特定的閾值條件之下系統(tǒng)正周期解是存在的。同時(shí)，在其初始值滿足特定條件的狀態(tài)之下，系統(tǒng)正周期解是呈現(xiàn)局部軌道穩(wěn)定狀態(tài)的，系統(tǒng)則呈現(xiàn)平衡的狀態(tài)。

通過分析如何保障系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性，在系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)之下通過映射以及首次積分、定性分析等方式獲得控制變量的臨界值。

通過脈沖微分方程描述生物系統(tǒng)構(gòu)建的模型更加符合實(shí)際狀況，模型有效性相對(duì)較高，主要是因?yàn)槊}沖微分系統(tǒng)可以綜合瞬間的突發(fā)狀況對(duì)于生態(tài)系統(tǒng)中各個(gè)生物以及狀態(tài)產(chǎn)生的即時(shí)影響，其更為深刻，可以精準(zhǔn)地反映此種狀況之下生物的變化，符合生物系統(tǒng)。對(duì)此，在生物系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用脈沖微分系統(tǒng)，在種群生態(tài)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)以及微生物連續(xù)培養(yǎng)模型、藥物動(dòng)力學(xué)模型等領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛，效果顯著。