非奇異M-矩陣Hadamard積的最小特征值的下界估計(jì)

李 華，穆靜靜，李永獻(xiàn)，蘭奇遜

(河南城建學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,河南 平頂山 467036)

Cn×n(Rn×n)表示n階復(fù)(實(shí))矩陣集, 記Zn為所有非對(duì)角元素都為非正數(shù)的方陣的集合。設(shè)A=(aij)∈Zn如果A=αI-P,其中P>0,α≥ρ(P)則稱矩陣A為M-矩陣.如果α>ρ(P)稱矩陣A為非奇異M-矩陣. 非奇異M-矩陣的集合記為Mn·稱τ(A)=min{|λ|:λ∈σ(A)}為矩陣 的最小特征值, 其中σ(A)為矩陣A的譜集合.

設(shè)A∈Mn且不可約, 則存在正向量v使得vA=τ(A)v,稱向量v為A的左Perron特征向量.

先引入以下記號(hào)：設(shè)A=(aij)∈Rn×n,aii≠0,?i,j,k∈N,j≠i,t=1,2,…,

設(shè)A=(aij),B=(bji)∈Cn×n，稱矩陣C=A。B=(cij)=aijbij為矩陣A與B的Hadamard積.

由文獻(xiàn)[1]知, 如果A和B都是M-矩陣, 則B。A-1也是M-矩陣. 若A∈Mn則存在一個(gè)正對(duì)角矩陣D,使得D-1AD是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的M-矩陣.

設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Mn,A-1=(aij),對(duì)于τ(B。A-1)的估計(jì)，有如下結(jié)果：

2017年趙建興等[5]得到：

本文繼續(xù)對(duì)非奇異M-矩陣B和非奇異M-矩陣A的逆矩陣A-1的Hadamard積的最小特征值進(jìn)行估計(jì)，得到τ(B。A-1)的單調(diào)遞增收斂的下界序列，且新的估計(jì)式改進(jìn)了文獻(xiàn)[3-5]的相應(yīng)結(jié)果.

1 非奇異M-矩陣研究的主要結(jié)果

引理1[1]設(shè)A,B∈Rn×n,D,E為兩個(gè)正對(duì)角矩陣, 則有

D(A。B)E=(DAE)。B=(DA)。(BE)=(AE)。(DB)=A。(DBE)

引理2[6]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,xi>0,i=1,…n,則矩陣A的所有特征值位于下列區(qū)域的并集中:

引理 3[2]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,xi>0,i=1,…n,則矩陣A的所有特征值位于下列區(qū)域的并集中:

引理 4[5]設(shè)A=(aij)是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的矩陣, 則?i,j∈N,j≠i,t=1,2,…,有

定理1 設(shè)矩陣A=(aij),B=(bij)∈Mn,A-1=(αij),則對(duì)任意的t=1,2,…,有

證明：當(dāng)n=1時(shí), 顯然成立，假設(shè)n≥2.

則有：

若A和B中至少有一個(gè)是可約矩陣,設(shè)D=(dij)為置換矩陣, 其中d12=d23=…dn-1,n=dn1=1,其余的dij=0,則對(duì)任何正實(shí)數(shù)t,A-tD,B-tD的所有順序主子式是正的,從而A-tD,B-tD為非奇異不可約M-矩陣,用A-tD,B-tD分別代替A,B, 讓t→0由于連續(xù)性, 則可得到上述同樣的結(jié)果.

定理2 序列{δt}是單調(diào)遞增且有上界的序列，因此是收斂的.

定理3 設(shè)矩陣A=(aij),B=(bij)∈Mn,A-1=(αij),則對(duì)任意的t=1,2,…,有

證明：當(dāng)n=1時(shí), 顯然成立.假設(shè)n≥2.

由于A∈Mn,則存在正對(duì)角矩陣D,使得D-1AD為行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的 矩陣.由于D-1(B。A-1)D=B。D-1A-1D=B。(D-1AD)-1,即τ(B。A-1)=τ(B。(D-1AD-1)).不失一般性,可設(shè)A為行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的M-矩陣.

若A和B中至少有一個(gè)是可約矩陣,設(shè)D=(dij)為置換矩陣, 其中d12=d23=…=dn-1,n=dn1=1,其余的dij=0則對(duì)任何正實(shí)數(shù)t,A-tD,B-tD的所有順序主子式是正的, 從而A-tD,B-tD為非奇異不可約M矩陣, 用A-tD,B-tD分別代替A,B,讓t→0由連續(xù)性, 則可得到上述同樣的結(jié)果.

定理4 序列{γt}是單調(diào)遞增且有上界的序列，因此是收斂的.

定理5 設(shè)矩陣A=(aij),B=(bij)∈Mn,A-1=(αij),則有

證明: 不失一般性, 當(dāng)i≠j時(shí), 假設(shè)

定理6. 設(shè)矩陣A=(aij)∈Mn,A-1=(αij),則有

即定理5的結(jié)果優(yōu)于文獻(xiàn)[5]中定理1的結(jié)果.

注2：由文獻(xiàn)[5]的定理3和定理4知，當(dāng)A=(aij),B=(bij)∈Mn有：

當(dāng)A-1是雙隨機(jī)矩陣時(shí)，有：

即定理5的結(jié)果要優(yōu)于文獻(xiàn)[3]～[5]的相應(yīng)結(jié)果.

2 數(shù)值算例分析

表1 τ(A。A-1)的下界估計(jì)

事實(shí)上，τ(A。A-1)=1。從表1可以看出：

(1)從定理5得到的τ(A。A-1)的下界序列是單調(diào)遞增且有極限的序列;

(2)由定理5得到的τ(A。A-1)的下界優(yōu)于文獻(xiàn)[5]中相關(guān)結(jié)果得到的下界;

(3)在當(dāng)前精度下，當(dāng)?shù)螖?shù)為12的時(shí)候，下界序列有極限值.

3 結(jié)論

本文給出了非奇異M-矩陣B和非奇異M-矩陣A的逆矩陣A-1的Hadamard積的最小特征值τ(B。A-1)下界的估計(jì)式，估計(jì)式是單調(diào)遞增收斂的下界序列，數(shù)值算例表明新的估計(jì)式在一定條件下改進(jìn)了已有結(jié)果.