例談中考題中的變化率問題

文 曹 丹

建立一元二次方程模型可以解決日常生活和社會實踐中的許多問題，求變化率問題是一元二次方程的主要應(yīng)用。下面，我們結(jié)合中考真題，談?wù)勛兓蕟栴}的解題策略。

例1（2019·黑龍江哈爾濱）某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，售價由原來的每件25元降到每件16元，則平均每次降價的百分率為（ ）。

A.20% B.40% C.18% D.36%

【解析】本題是典型的平均降低率問題，可通過列表的方法來構(gòu)建出問題變化的本質(zhì)。設(shè)平均每次降價的百分率為x。

則25（1-x）2=16，解這個方程，得x1=20%，x2=180%（不符合題意，舍去），選A。

【點評】增長（降低）率問題的一般規(guī)律是：假設(shè)起始數(shù)為a，每次增長（降低）率為x，n為增長（降低）的次數(shù)，則一次變化后的數(shù)據(jù)是a×（1±x），2次變化后的數(shù)據(jù)是a×（1±x）2，n次變化后的數(shù)據(jù)是a×（1±x）n。設(shè)終端數(shù)為b，則我們得到一個模型：a×（1±x）n=b，那么對于平均增長（降低）率問題，應(yīng)用模型可直接列方程解決。

例2（2019·湖南長沙）近日，長沙市教育局出臺《長沙市中小學(xué)教師志愿輔導(dǎo)工作實施意見》，鼓勵教師參與志愿輔導(dǎo)。某區(qū)率先示范，推出名師公益大課堂，為學(xué)生提供線上線下免費輔導(dǎo)。據(jù)統(tǒng)計，第一批公益課受益學(xué)生2萬人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬人次。

（1）如果第二批、第三批公益課受益學(xué)生人次的增長率相同，求這個增長率。

（2）按照這個增長率，預(yù)計第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到多少萬人次？

【解析】（1）設(shè)這個增長率為x，則2×（1+x）2=2.42，

解這個方程，得x1=10%，x2=-210%（不符合題意，舍去）。

答：增長率是10%。

（2）2.42×（1+10%）=2.662（萬人次）。

答：預(yù)計第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到2.662萬人次。

【點評】問題（1）是一個標(biāo)準(zhǔn)的平均增長率問題，解決此類問題的關(guān)鍵是要弄清楚增長（降低）的含義是什么，問題的起始數(shù)是什么，經(jīng)過幾次變化后的終端數(shù)是什么。這幾個問題弄清楚了，利用平均增長率模型：a×（1±x）n=b，就可以很快解決問題。問題（2）要求出第四批人數(shù)，第一問已經(jīng)將平均增長率求出來了，此題就是個純計算問題了。

例3（2019·四川達(dá)州）某公司今年4月的營業(yè)額為2500萬元，按計劃第二季度的總營業(yè)額要達(dá)到9100萬元。設(shè)該公司5月、6月這兩個月的營業(yè)額的月平均增長率為x。根據(jù)題意列方程，則下列方程正確的是（ ）。

A．2500（1+x）2=9100

B．2500（1+x%）2=9100

C．2500（1+x）+2500（1+x）2=9100

D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=9100

【解析】由題設(shè)可得5月營業(yè)額為2500（1+x）萬元，6月營業(yè)額為2500（1＋x）2萬元，具體如下表：

第二季度包括4月、5月和6月，故第二季度的總營業(yè)額為［2500+2500（1+x）+2500（1+x）2］萬元，所以可列方程為2500+2500（1+x）+2500（1+x）2=9100。選D。

【點評】本題不能錯誤地將方程列為2500（1+x）2=9100。這里的9100是第二季度的總營業(yè)額，也就是4、5、6三個月的總營業(yè)額，并非“終端數(shù)”。“終端數(shù)”是指某一個數(shù)量經(jīng)過一次或多次變化后的數(shù)量，而不是變化后幾個數(shù)量的和，這個我們一定要分清楚。

例4（2020·重慶）“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”，為優(yōu)選品種，提高產(chǎn)量，某農(nóng)業(yè)科技小組對A、B兩個小麥品種進(jìn)行種植對比實驗研究。去年A、B兩個品種各種植了10畝。收獲后A、B兩個品種的售價均為2.4元/kg，且B的平均畝產(chǎn)量比A的平均畝產(chǎn)量高100kg。A、B兩個品種全部售出后，總收入為21600元。

（1）請求A、B兩個品種去年平均畝產(chǎn)量分別是多少。

（2）今年，科技小組加大了小麥種植的科研力度，在A、B種植畝數(shù)不變的情況下，預(yù)計A、B兩個品種平均畝產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上分別增加a%和2a%。由于B品種深受市場的歡迎，預(yù)計每千克價格將在去年的基礎(chǔ)上上漲a%，而A品種的售價不變。A、B兩個品種全部售出后，總收入將在去年的基礎(chǔ)上增加%，求a的值。

【解析】（1）設(shè)A品種去年平均畝產(chǎn)量為xkg，則B品種去年平均畝產(chǎn)量為（100+x）kg。

由 題 意，得10×（x+100+x）×2.4=21600。

解這個方程，得x=400，則100+x=500。

答：A品種去年平均畝產(chǎn)量為400kg，B品種去年平均畝產(chǎn)量為500kg。

（2）此題涉及A、B兩個品種平均畝產(chǎn)量與B品種的單價、總收入這四個數(shù)量的變化，這是與上述幾個例題的不同之處（上述幾例只涉及一個數(shù)量的兩次變化）。此題A、B兩個品種平均畝產(chǎn)量這兩個數(shù)量只經(jīng)過一次變化，B品種單價與總收入這兩個數(shù)量也只經(jīng)過一次變化，我們可以將這四個數(shù)量的變化關(guān)系通過表格的形式表示出來。

根據(jù)總收入=A品種收入+B品種收入，即總收入=A品種單價×A品種平均畝產(chǎn)量×A品種畝數(shù)+B品種單價×B品種平均畝產(chǎn)量×B品種畝數(shù)，可列出方程：

解這個方程，得t1=0（不符合題意，舍去），t2=0.1。

故a=10。

【點評】此題以民生為背景考查增長率，具有實際意義。此題中四個數(shù)量各經(jīng)過一次變化，而這幾個數(shù)量內(nèi)部之間存在一定的制約關(guān)系（總收入=A品種收入+B品種收入），那么我們就可以根據(jù)這種制約關(guān)系來列方程求解。題目中把平均增長率問題和幾個數(shù)量中每一個數(shù)量經(jīng)過各一次增長的問題進(jìn)行綜合，更考驗大家對數(shù)據(jù)的處理能力。

解這類問題，還要注意兩點：一是設(shè)增長率（降低率）為x，而不設(shè)為x%，這樣能簡化計算，所以例4解答過程中令a%=t；二是要根據(jù)題目的實際意義檢驗結(jié)果的合理性。