關(guān)于超可解群與Sylow塔

曾利江

(遵義師范學(xué)院 黔北文化與經(jīng)濟(jì)研究院，貴州 遵義563000)

0 引言

在有限群論中，群的可解性以及超可解性[1]等都是極其重要的性質(zhì)，雖然它們有區(qū)別，但也常常有聯(lián)系。正是因?yàn)槿藗冊(cè)谘芯窟^(guò)程中發(fā)現(xiàn)了可解性和超可解性及其它的概念及其性質(zhì)，并把它們應(yīng)用于自然科學(xué)的各個(gè)分支，起到了強(qiáng)有力的研究工具的作用，使得群論的研究得到強(qiáng)大的推動(dòng)力。理論研究和應(yīng)用研究進(jìn)入互相促進(jìn)的良性循環(huán)。

研究可解性和超可解性常常需要引進(jìn)一些新的概念。本文中，我們首先給出超可解群的定義，證明超可解群的幾個(gè)性質(zhì)，然后引入Sylow塔的新概念，并對(duì)群的Sylow塔作了一些討論，最后我們用前面證明的超可解群的性質(zhì)，證明了超可解群必有Sylow塔，并舉例說(shuō)明了有Sylow塔的群不一定是超可解群。

1 一些準(zhǔn)備

定義1.若H，K

定義2.如果有限群G的主因子均為循環(huán)群時(shí)，G就叫超可解群。

推論：超可解群的主因子不僅是循環(huán)的，實(shí)際上還是素?cái)?shù)階的。

定理1. (1)超可解群的每個(gè)子群也超可解群；

(2)超可解群的每個(gè)同態(tài)像也是超可解群；

(3)兩個(gè)超可解群的直積也是超可解的；

(4)若G有兩個(gè)正規(guī)子群H與K，使G/H與G/K都是超可解的，則G/H∩K也是超可解的。

證明.(1)設(shè)G為超可解群，而1=G0?G1?G2…?Gr=G為G的一個(gè)主群列，易知，對(duì)G的子群S而言有：

1=S∩G0?S∩G1?S∩G2…?S∩Gr=S

為S的一個(gè)正規(guī)群列(即每個(gè)S∩Gi為S的正規(guī)子群，見(jiàn)文獻(xiàn)[2-3])，其中商因子S∩Gi/S∩Gi-1具有性質(zhì)：

S∩Gi/S∩Gi-1=S∩Gi/(S∩Gi)∩Gi-1?(S∩Gi)Gi-1/Gi-1≤Gi/Gi-1，

然而對(duì)每個(gè)i，Gi/Gi-1是素?cái)?shù)階的，故S∩Gi/S∩Gi-1或?yàn)槠椒驳?，或?yàn)樗財(cái)?shù)階的，于是從上述S的正規(guī)群列中刪掉那些重復(fù)的項(xiàng)以后剩下的就是S的主群列而有循環(huán)商因子，即S為超可解的。

=Gi(Gi-1N)/Gi-1N

≌Gi/Gi∩Gi-1N≌(Gi/Gi-1)/(Gi∩Gi-1N/

Gi-1)

(3)設(shè)H又是一個(gè)超可解群，而有主群列1=H0?H1…?Ht=H，于是可知

1=H0?H1?…?Ht=H?G1×H?G2×H?Gr×H=G×H

為G×H的一個(gè)主群列而有循環(huán)因子Hi/Hi-1(i=1，2，…，t)及Gj×H/Gj-1×HGj/Gj-1

(j=1，2，…，r)，故G×H是超可解的。

(4)設(shè)G有二個(gè)正規(guī)子群H，K使G/H與G/K都是超可解的。于是易證映射σ：g→(Hg，Kg)為G到G/H×G/K內(nèi)的同態(tài)映射，且有kerσ=H∩K，故G/H∩K與G/H×G/K的一子群同構(gòu)，然而(3)說(shuō)明了直積G/H×G/K的超可解性，故由(1)知G/H∩K為超可解群。

2 Sylow塔的討論

先給出下面的定義，從后面可以看出Sylow塔的概念和性質(zhì)用于鑒別超可解群很有用，實(shí)際上它們?cè)谧匀豢茖W(xué)的一些應(yīng)用科學(xué)中都很有用。

關(guān)于Sylow塔，我們有下面幾個(gè)性質(zhì)。

定理2.有Sylow塔的群必是可解群。

證明G的子群H=Gp1Gp2…Gpr-也有Sylow塔Gp1,Gp1Gp2…Gp1Gp2…Gpr-，H。故關(guān)于群的階歸納地假定H可解，則從H?G得G/H的G/H≌Gpr的可解性，從而保證了G是可解的。

定理3.當(dāng)G有Sylow塔時(shí)，G的任意一組Sylowp1-，p2-，…，pr-子群也可以組成其Sylow塔，且Sylow塔是唯一的。

定理4.當(dāng)G有Sylow塔時(shí)，G的子群與商群也都有Sylow塔。

證明 當(dāng)H

又當(dāng)G～G※時(shí)有N?G使G※≌G/N，這時(shí)易知GpiN/N為G/N的Sylowpi-子群，且不論k取1，2，…，r中任何值，恒有(Gp1N/N)(Gp2N/N)…(GprN/N)=Gp1Gp2…GprN/N?G/N，這說(shuō)明G/N=G※有Sylow塔。

3 主要結(jié)論

現(xiàn)在來(lái)證明超可解群與Sylow塔的一個(gè)關(guān)系，即下面的

定理5.超可解群必有Sylow塔。

證明 設(shè)G是超可解的，我們歸納地假定凡階數(shù)小于|G|的超可解群都有Sylow塔。

令p是|G|的最大素因素Gp∈Sylp(G)，并令N為G的一個(gè)極小正規(guī)子群，于是有GpN/N∈Sylp(G/N),由定理1的(2)，G/N是超可解的且有|G/N|<|G|，據(jù)歸納法假定有GpN/N?G/N，即GpN?G。

然而由N在G內(nèi)的極小正規(guī)性以及G的超可解性有|N|=q(素?cái)?shù))，若p=q，則GpN=Gp，故從已知的Gp?N?G即得Gp?G；若p>q，則由Sylow定理易知GpN只有唯一一個(gè)Sylowp-子群Gp是GpN的特征子群(見(jiàn)文獻(xiàn)[4-5])，再?gòu)腉pN?G也得Gp?G。

總之，不論q如何，恒有Gp?G。于是|G/Gp|<|G|，故由定理1的(2)，G/Gp超可解，而據(jù)歸納假設(shè)可知G/Gp有Sylow塔，因此易知G有Sylow塔。

4 一個(gè)附注

另一方面，我們?cè)谙旅娴母阶⒅兄赋?，定?的逆定理不成立。從而完全揭示出超可解群與Sylow塔的關(guān)系。

附注：有Sylow塔的群不一定是超可解群。例如：A=×是32=9階初等交換群(a3=b3=1=[a,b]),σ∈Aut(A),aσ=b-1,bσ=a,易知σ4=1；再作A與的半直積G=,定義關(guān)系為a3=b3=1=[a,b]，g-1ag=aσ=b-1,g-1bg=bσ=a,g4=1,則G為36=22×32階群，當(dāng)然是可解的，且有A?G。由G的可解性得G有Sylow基底G3=A，G2∈Syl2(G),也說(shuō)明G有Sylow塔A，G。假設(shè)G是超可解群的，則說(shuō)明1?A?G為G的主群列時(shí)，G必有一個(gè)3階的正規(guī)子群，從而有元aλbμ使o(aλbμ)=3及(aλbμ)t=g-1(aλbμ)g=aμb-λ,故λt≡μ,μt=-λ(mod3),于是λ與μ中有一個(gè)≡0(mod3)時(shí)，則另一個(gè)也≡0(mod3)，故據(jù)o(aλbμ)≡3可知只能是λμ?0(mod3)。因此必有t?0(mod3)。另一方面，從λt(-λ)≡μ(μt)(mod3)有(λ2+μ2)t≡0(mod3),故從t?0(mod3)得λ2+μ2≡0(mod3)，這與λμ?0(mod3)相矛盾。從而說(shuō)明G不是超可解的。

5 結(jié)語(yǔ)

由上面的結(jié)果(定理5和附注)知道：超可解群必定有Sylow塔，即是說(shuō)：沒(méi)有Sylow塔的群必定不是超可解群，簡(jiǎn)單地說(shuō)，有Sylow塔是一個(gè)群成為超可解群的必要條件，同時(shí)，附注說(shuō)明了這個(gè)條件不是一個(gè)群成為超可解群的充分條件。