空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)電流環(huán)預(yù)測(cè)控制研究*

唐藝偉，呂振華，孫 欣，肖 曦，張 猛

0 引 言

空間在軌服務(wù)任務(wù)(on-orbit servicing，OOS)包括設(shè)備組裝、燃料加注、維修升級(jí)等，是節(jié)約空間設(shè)備在軌運(yùn)行成本的重要手段，而空間機(jī)械臂技術(shù)是執(zhí)行在軌服務(wù)任務(wù)最有前景的方向[1].機(jī)械臂關(guān)節(jié)是空間機(jī)械臂的核心部件，起著機(jī)械連接、位置感知、產(chǎn)生與傳遞動(dòng)力三種作用，是影響機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)精度、跟蹤速度以及工作安全性等系列指標(biāo)的關(guān)鍵因素.

空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)大多采用電氣驅(qū)動(dòng)，以基于坐標(biāo)變換的電流解耦控制為核心，在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)速控制及位置控制，其整體結(jié)構(gòu)通常呈現(xiàn)多控制環(huán)嵌套式，如圖1所示.圖中，ω為電機(jī)轉(zhuǎn)速，id,iq為電機(jī)d/q軸電流，ia,ib為電機(jī)a相和b相電流，ud,uq為電機(jī)d/q軸電壓，上標(biāo)“*”表示各物理量目標(biāo)值.電流環(huán)是多控制環(huán)嵌套結(jié)構(gòu)的最內(nèi)層，其主要性能指標(biāo)是動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，在頻域表示下即為閉環(huán)系統(tǒng)帶寬.動(dòng)態(tài)響應(yīng)快、超調(diào)量小、且具有一定參數(shù)魯棒性的電流環(huán)是高性能伺服系統(tǒng)的必要條件.傳統(tǒng)PI控制器簡(jiǎn)單可靠，廣泛運(yùn)用于各種工業(yè)場(chǎng)合，然而難以兼顧響應(yīng)速度和超調(diào)量.

上世紀(jì)70年代中后期以來，預(yù)測(cè)控制在多個(gè)工業(yè)過程控制領(lǐng)域得到了成功應(yīng)用.在預(yù)測(cè)控制中，控制器不只利用已有的狀態(tài)量和控制量信息，而且基于被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型對(duì)系統(tǒng)未來一段時(shí)間的狀態(tài)作出預(yù)測(cè).近年來，有不少學(xué)者對(duì)預(yù)測(cè)控制在電力傳動(dòng)領(lǐng)域的應(yīng)用開展了研究[2-5].其中，預(yù)測(cè)控制方法應(yīng)用于永磁同步電機(jī)與逆變器系統(tǒng)中，可實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)電流的高精度控制，進(jìn)而提升伺服系統(tǒng)的整體性能.MOREL等[6]將電流預(yù)測(cè)控制分為3類：直接預(yù)測(cè)控制(direct predictive control, DPC)、雙矢量預(yù)測(cè)控制(two-configuration Predictive control, 2PC) 和PWM預(yù)測(cè)控制(PWM Predictive control, PPC)，其中PWM預(yù)測(cè)控制也被稱為無差拍控制，是指讓離散系統(tǒng)的輸出在最少的周期內(nèi)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的一類控制方法.對(duì)于常規(guī)的電流環(huán)數(shù)字實(shí)現(xiàn)方案而言，輸出最快可在兩周期達(dá)到穩(wěn)定，這是電流環(huán)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的理論上限.利用永磁同步電機(jī)和逆變器系統(tǒng)離散數(shù)學(xué)模型，借助無差拍控制思想，可以直接計(jì)算得到使電流在兩周期內(nèi)跟蹤目標(biāo)值的參考電壓.這種算法思路自然、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，控制效果優(yōu)于傳統(tǒng)PI調(diào)節(jié)器，但嚴(yán)重依賴于被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型.對(duì)此很多學(xué)者進(jìn)行了深入研究，提出各種改進(jìn)算法[7-11].文獻(xiàn)[7]中削弱無差拍控制的約束條件，降低了電流偏差項(xiàng)的權(quán)值，同時(shí)采用電壓的平滑預(yù)測(cè)值，相比傳統(tǒng)預(yù)測(cè)控制方法增強(qiáng)了系統(tǒng)魯棒性，但其電流響應(yīng)則變緩.文獻(xiàn)[8]通過在d軸電壓指令中加入誤差積分項(xiàng)消除由于模型參數(shù)不匹配造成的d軸電流靜差，同時(shí)利用磁鏈的動(dòng)態(tài)調(diào)整間接消除q軸電流靜差，提升了在參數(shù)失配時(shí)的系統(tǒng)魯棒性.文獻(xiàn)[9]使用在線參數(shù)辨識(shí)方法對(duì)電感電阻等參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)校正，消除了不準(zhǔn)確的參數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)控制效果的影響.文獻(xiàn)[10]引入權(quán)重因子，采用一種改進(jìn)的無差拍魯棒電流控制結(jié)構(gòu)，并提出了轉(zhuǎn)子角度的補(bǔ)償方法，但同時(shí)也在一定程度上降低了動(dòng)態(tài)性能.文獻(xiàn)[11]引入龍伯格觀測(cè)器，提出了一種魯棒電流預(yù)測(cè)控制算法，可以通過魯棒性系數(shù)的調(diào)節(jié)提高系統(tǒng)相角裕量從而提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但該方法同樣以犧牲系統(tǒng)帶寬為代價(jià).

傳統(tǒng)的無差拍預(yù)測(cè)控制本質(zhì)上采用的是開環(huán)控制結(jié)構(gòu)，對(duì)模型參數(shù)依賴明顯，在參數(shù)不準(zhǔn)確時(shí)容易產(chǎn)生電流靜差.本文在傳統(tǒng)的一階無差拍電流預(yù)測(cè)控制的基礎(chǔ)上，提出一種高階無差拍電流預(yù)測(cè)控制策略，此種策略可使電流環(huán)動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度逼近理論上限，同時(shí)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于數(shù)字實(shí)現(xiàn)、具有一定參數(shù)適應(yīng)能力.相比PI調(diào)節(jié)器，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的響應(yīng)時(shí)間明顯縮短，系統(tǒng)帶寬得到極大提升；相比傳統(tǒng)的無差拍預(yù)測(cè)控制，高階無差拍方法對(duì)于電機(jī)電阻與磁鏈參數(shù)變化具有更強(qiáng)的適應(yīng)性，在參數(shù)失配的條件下具有更好的動(dòng)態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能.

圖1 永磁同步電機(jī)磁場(chǎng)定向控制系統(tǒng)框圖Fig.1 Diagram of PMSM FOC system

1 永磁同步電機(jī)電流環(huán)離散模型

在永磁同步電機(jī)的實(shí)際應(yīng)用中，常使用電壓型PWM逆變器驅(qū)動(dòng).在此種場(chǎng)合下，電流環(huán)是一個(gè)典型的混雜系統(tǒng)，電樞模型為其連續(xù)部分，PWM逆變器模型為其離散部分.通常，控制周期和PWM周期等長(zhǎng)，在每個(gè)控制周期開始時(shí)，控制器對(duì)電機(jī)物理量進(jìn)行數(shù)值采樣，并依據(jù)控制律計(jì)算得到控制輸出，在下個(gè)控制周期開始時(shí)更新控制輸出.

現(xiàn)有對(duì)永磁同步電機(jī)磁場(chǎng)定向控制的研究大多基于如式(1)所示的經(jīng)典理想模型：

(1)

式中，R為電樞電阻，Ld,Lq為電機(jī)d/q軸電感，ψd為永磁體d軸磁鏈，Tem為電機(jī)輸出的電磁轉(zhuǎn)矩，其余符號(hào)意義同前.伺服控制領(lǐng)域里，常選擇d軸電流目標(biāo)值為0，而q軸電流目標(biāo)值由轉(zhuǎn)速環(huán)控制器給出；轉(zhuǎn)速目標(biāo)值則由外界直接給定或由位置環(huán)控制器給出.考慮到d軸電流環(huán)的動(dòng)態(tài)性能對(duì)伺服系統(tǒng)整體影響不大，可以采用傳統(tǒng)的PI控制器，以下僅考慮q軸電流環(huán)的設(shè)計(jì).改寫式(1)中的q軸電壓方程并解得：

(2)

其中t0,ts分別代表起止時(shí)間，Tc=LqR，為q軸電流環(huán)的時(shí)間常數(shù).

記iq[n]=iq(nT)為第n個(gè)控制周期開始時(shí)的q軸電流值，其中n為整數(shù)，T為控制周期，方括號(hào)表示離散量，圓括號(hào)表示連續(xù)量.在式(2)中取t0=nT,ts=T，可得

(3)

記uq[n]為控制器在獲得iq[n]信息后，依據(jù)控制律計(jì)算得到的q軸電壓輸出.忽略逆變器的SVPWM實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)及死區(qū)效應(yīng)，由前述的控制時(shí)序可知：

uq(τ)=uq[n-1],nT≤τ<(n+1)T

(4)

從而有

(5)

(6)

將式(5)、(6)代入式(4)，同時(shí)令

(7)

可得

iq[n+1]=αiq[n]+β(uq[n-1]-q[n+1]

(8)

頻域表示為

(z-α)Iq(z)=βz-1Uq(z)-βzEq(z)

(9)

此即q軸電流環(huán)的離散模型.

2 一階形式無差拍預(yù)測(cè)控制器

2.1 一階無差拍預(yù)測(cè)控制器

按作用不同將式(8)中的q軸電壓分解為兩部分，即

uq[n-1]=uq1[n-1]+uq2[n-1]

(10)

其中uq1用作調(diào)節(jié)電流，由q軸電流環(huán)控制策略給出；uq2用作抵消反電動(dòng)勢(shì)，由q軸電流環(huán)補(bǔ)償策略給出.

首先假設(shè)補(bǔ)償完全精確，討論控制策略的設(shè)計(jì)，為此令

uq2[n]=q[n+2]

(11)

后文將討論補(bǔ)償策略的設(shè)計(jì)及不精確補(bǔ)償?shù)挠绊?，并針?duì)此問題發(fā)展高階形式無差拍控制器.

(12)

式(12)中含有iq[n+1]，這是第n+1個(gè)控制周期開始時(shí)的測(cè)量值，在第n個(gè)控制周期開始時(shí)尚不可知，但通過式(8)可以進(jìn)行預(yù)測(cè)：

(13)

式(13)右側(cè)各物理量在第n個(gè)控制周期開始時(shí)已知.

將式(13)代入式(12)可得

(14)

頻域表示為

(15)

容易得到閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下：

(16)

(17)

即q軸電流環(huán)對(duì)階躍電流指令的響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，這在實(shí)際系統(tǒng)中是難以接受的.

2.2 并聯(lián)積分器的一階無差拍預(yù)測(cè)控制器

2.1節(jié)指出當(dāng)控制器存在參數(shù)誤差時(shí)，即使反電動(dòng)勢(shì)的影響被精確補(bǔ)償，一階無差拍預(yù)測(cè)控制器仍然無法消除q軸電流階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差，對(duì)此一個(gè)自然的改進(jìn)方法是在控制器兩端并聯(lián)積分器，如圖2所示.由于控制周期內(nèi)反電動(dòng)勢(shì)相對(duì)于q軸電流變化緩慢，其影響效果也近似體現(xiàn)為階躍響應(yīng)下產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，因而使用積分器有望抵消反電動(dòng)勢(shì)影響，不必要額外對(duì)反電動(dòng)勢(shì)進(jìn)行補(bǔ)償.

圖2 并聯(lián)積分器的一階無差拍預(yù)測(cè)控制器示意Fig.2 Diagram of first order deadbeat predictive controller with parallel integrator

取

(18)

其中f(z)/(z-1)為積分器的傳遞函數(shù)，f(z)=1和f(z)=z分別對(duì)應(yīng)于前向歐拉積分和后向歐拉積分.

(19)

(20)

容易發(fā)現(xiàn)，由于f(1)≠0，

(21)

即q軸電流環(huán)對(duì)階躍電流指令的響應(yīng)不存在穩(wěn)態(tài)誤差，即使存在常數(shù)反電動(dòng)勢(shì)或者參數(shù)誤差也不改變此結(jié)論.一般而言，Iq(z)/Eq(z)呈現(xiàn)高通特性，調(diào)整f(z)可以改變Iq(z)/Eq(z)的極點(diǎn)，進(jìn)而改變q軸電流環(huán)對(duì)反電動(dòng)勢(shì)的抑制性能.

3 高階形式無差拍預(yù)測(cè)控制器

基于2.2小節(jié)的分析，容易得到一階無差拍預(yù)測(cè)控制器的高階推廣.類似于并聯(lián)積分器，使用高階形式控制器最主要的動(dòng)機(jī)是消除低頻反電動(dòng)勢(shì)的影響.

(22)

在式(22)等號(hào)左右兩側(cè)分別差分，可得

(23)

頻域表示為

(24)

(25)

(26)

選擇N=2作為算例進(jìn)行說明.為消除等號(hào)兩側(cè)同乘(1+η1z-1+η2z-2)后的zIq(z)項(xiàng)，令

(27)

(28)

從而得到控制律

(29)

時(shí)域形式為：

(30)

4 仿真驗(yàn)證

使用MATLAB/Simulink對(duì)式(30)給出的控制律進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真算例的參數(shù)如表1所示.定子繞組每相電阻、d/q軸電感、d軸磁鏈參數(shù)來自于科爾摩根型號(hào)為TBMS-12941-A的無框永磁同步電機(jī)；PWM周期為100 μs，對(duì)應(yīng)于開關(guān)頻率10 kHz.

首先使用傳統(tǒng)PI控制器對(duì)d軸電流環(huán)和q軸電流環(huán)進(jìn)行控制，其頻域表示為

(31)

通過多次數(shù)值實(shí)驗(yàn)，選取控制效果較好的一組參數(shù)kp=2.6,ki=700作為控制器效果對(duì)照.

表1 電流環(huán)高階無差拍預(yù)測(cè)控制器仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters of high-order deadbeat predictive controller for current loop

可以看出，使用PI控制器時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)q軸電流目標(biāo)值的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)既有相位滯后、又有幅值衰減，而使用無差拍預(yù)測(cè)控制器時(shí)僅有兩拍的滯后；使用PI控制器時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)大約經(jīng)過6 ms進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，而使用預(yù)測(cè)控制器時(shí)僅需兩倍控制周期，即200 μs.綜上，無差拍預(yù)測(cè)控制器相對(duì)于傳統(tǒng)的PI控制器具備更高的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度和更高的帶寬.

圖3 傳統(tǒng)PI控制器與無差拍預(yù)測(cè)控制器電流環(huán)伺服控制效果對(duì)比Fig.3 Comparison of current loop servo performance between conventional PI controller and deadbeat predictive controller

以下基于仿真算例考慮控制器參數(shù)誤差的影響.由式(29)和式(9)可得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程

(32)

(33)

(34)

圖4給出了閉環(huán)系統(tǒng)隨γ的根軌跡.由圖中可以看出，當(dāng)電感參數(shù)的相對(duì)誤差不超過20%時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)均有較小的幅值，此時(shí)q軸電流環(huán)仍有較好的動(dòng)態(tài)性能，即本文提出的無差拍預(yù)測(cè)控制器具有一定的電感參數(shù)適應(yīng)能力.

圖4 電流環(huán)不同電感參數(shù)誤差下閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖Fig.4 Root locus of closed loop system under different inductance errors

選取和前文相同的仿真條件，分別令γ=-0.2,γ=0,γ=0.2，對(duì)控制效果進(jìn)行比較，結(jié)果見于圖5，可發(fā)現(xiàn)20%的電感誤差對(duì)q軸電流環(huán)的性能無明顯負(fù)面影響.

圖5 電流環(huán)不同電感參數(shù)誤差下閉環(huán)系統(tǒng)伺服控制效果對(duì)比Fig.5 Comparison of closed loop system servo per for mance under different inductance errors

圖6～8分別給出了磁鏈和電阻參數(shù)不準(zhǔn)確時(shí)，高階無差拍預(yù)測(cè)控制器與傳統(tǒng)一階無差拍預(yù)測(cè)控制器的性能比較.考慮閉環(huán)系統(tǒng)的電流階躍響應(yīng)，令q軸電流目標(biāo)值在0.03 s時(shí)刻由0A跳變至1A，過程中保持電機(jī)轉(zhuǎn)速不變.觀察圖6可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)磁鏈參數(shù)出現(xiàn)50%的誤差時(shí)，使用傳統(tǒng)一階預(yù)測(cè)控制器時(shí)，q軸電流階躍響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，而使用高階預(yù)測(cè)控制器時(shí)不受影響.這是因?yàn)橐浑A預(yù)測(cè)控制器中，反電勢(shì)補(bǔ)償項(xiàng)因磁鏈誤差而產(chǎn)生偏差，進(jìn)而導(dǎo)致q軸電流出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差，而高階預(yù)測(cè)控制器沒有使用磁鏈項(xiàng)，因此階躍響應(yīng)不受磁鏈誤差的影響.觀察圖7和8可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)電阻參數(shù)出現(xiàn)50%的誤差時(shí)，使用一階預(yù)測(cè)控制器的閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能受影響的同時(shí)，q軸電流也出現(xiàn)了穩(wěn)態(tài)誤差，而使用高階預(yù)測(cè)控制器可有效消除此穩(wěn)態(tài)誤差.因此，相比傳統(tǒng)的一階無差拍預(yù)測(cè)控制器，高階無差拍預(yù)測(cè)控制器對(duì)于磁鏈與電阻參數(shù)變化具有更強(qiáng)的適應(yīng)性.

圖6 無差拍預(yù)測(cè)控制器磁鏈參數(shù)變化適應(yīng)性Fig.6 Adaptability of deadbeat predictive controller under resistance variation

圖7 無差拍預(yù)測(cè)控制器電阻參數(shù)變化適應(yīng)性-總覽Fig.7 Adaptability of deadbeat predictive controller under resistance variation

圖8 無差拍預(yù)測(cè)控制器電阻參數(shù)變化適應(yīng)性-細(xì)節(jié)Fig.8 Adaptability of deadbeat predictive controller under resistance variation

5 結(jié) 論

本文介紹了一種高動(dòng)態(tài)響應(yīng)的永磁同步電機(jī)無差拍電流預(yù)測(cè)控制方法.首先根據(jù)電流環(huán)的離散模型設(shè)計(jì)和分析了一階無差拍預(yù)測(cè)控制器，在此基礎(chǔ)上給出了高階形式無差拍預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)方法.仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的PI控制器相比，本文提出的高階形式無差拍預(yù)測(cè)控制器有效提高了電流環(huán)動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，將系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的時(shí)間從6 ms降至200 μs.頻域角度下，高階形式無差拍預(yù)測(cè)控制器提升了閉環(huán)系統(tǒng)帶寬，大幅減小了正弦響應(yīng)的幅值誤差.此外，無差拍預(yù)測(cè)控制器具備一定的參數(shù)魯棒性，仿真算例表明高階無差拍預(yù)測(cè)控制閉環(huán)系統(tǒng)能容忍達(dá)20%的電感參數(shù)誤差.與傳統(tǒng)一階形式的無差拍控制器相比，高階無差拍預(yù)測(cè)控制器對(duì)于電機(jī)電阻與磁鏈參數(shù)變化具有較好的適應(yīng)性，可完全消除模型參數(shù)誤差引起的q軸電流穩(wěn)態(tài)誤差.

應(yīng)用本文提出的方法可使永磁同步電機(jī)電流環(huán)具有良好的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，同時(shí)較好地適應(yīng)電阻和磁鏈變化，作為伺服控制的基礎(chǔ)有望在空間機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)伺服系統(tǒng)中發(fā)揮重要作用.