一級倒立擺控制方法比較研究

馬朝陽　華云松　周磊

摘要：為了對倒立擺進行準確快速的控制，根據(jù)牛頓力學原理建立一級倒立擺的數(shù)學模型，并運用MATLAB對該系統(tǒng)的性能進行分析。運用模糊控制理論設計基于融合函數(shù)的模糊控制器、串聯(lián)模糊控制器和模糊PID控制器，并在MATLAB上建立SIMULINK仿真模型進行模擬仿真，最后對設計的三種控制器的控制效果進行分析比較。仿真結(jié)果表明：對于一級倒立擺，基于融合函數(shù)的模糊控制器和串聯(lián)模糊控制器分別能在2.5秒和2秒內(nèi)使倒立擺穩(wěn)定，而模糊PID的控制方法會使倒立擺在1秒內(nèi)實現(xiàn)穩(wěn)定，明顯優(yōu)于其他兩種方法。

關鍵詞：一級倒立擺;融合函數(shù);模糊控制器;模糊PID

中圖分類號：TP13 文獻標識碼：A 文章編號：1006-8228（2020）08-01 -05

0引言

倒立擺系統(tǒng)成本低，結(jié)構簡單，并且能夠反映被控系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性等性能參數(shù)，因此倒立擺系統(tǒng)的研究在控制領域方面著發(fā)揮著十分重要的意義[1-2]。

研究設計三種模糊控制器，建立仿真模型，通過調(diào)節(jié)參數(shù)，對倒立擺進行仿真控制，然后分析比較這幾種控制器的控制效果。

1 數(shù)學建模與性能分析

1.1 建立數(shù)學模型

一級倒立擺忽略空氣阻力和各種摩擦后，可抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)[3]，如圖l所示。

圖1中M為小車質(zhì)量，m為擺桿質(zhì)量，l為擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度，F(xiàn)為加在小車上的力，x為小車位置，φ為擺桿與垂直向上方向的夾角，圖2中6為小車摩擦系數(shù)，圖3中I為擺桿慣量，θ表示擺桿與垂直向下方夾角（擺桿初始位置向下）。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平方向和垂直方向的分量。

對小車水平方向所受合力進行分析得到：

對擺桿水平方向的受力進行分析可以得到：

把式（2）代入式（l），就得到第一個運動方程：

對擺桿垂直方向上的合力進行分析可以得到：

設θ=π+φ（φ是擺桿與垂直向上方向之間夾角），假設φ與1（單位是弧度）相比很小，即φ<<1，則可以進行近似地處理為：cos θ=-1，sinθ=○，θ=0。

用a來代表被控對象的輸入力F，線性化后，兩個運動方程如下：

由文獻[4]知小車質(zhì)量M=l.096Kg，擺桿質(zhì)量m=0.109Kg，小車摩擦系數(shù)b=0.1N/m/sec，擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度1=0.25m.擺桿慣量I=0.0034kg*m*m，將參數(shù)代入式（9），可得以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：

1.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性、能控性分析

穩(wěn)定性就是指偏離平衡狀態(tài)的受擾運動能否只依靠系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構因素而返回到平衡狀態(tài)，或限制在它的一個有限鄰域內(nèi)[5]。

利用MATLAB調(diào)用函數(shù)eig（A），來求解系統(tǒng)的極點，結(jié)果如圖4所示，可知此系統(tǒng)不穩(wěn)定。

通過MATLAB命令ctrb（A，B）可以得到可控性矩陣，結(jié)果如圖5所示，能控性矩陣滿秩，所以一級倒立擺系統(tǒng)是完全能控的。

2 控制器設計

2.1 基于融合函數(shù)的模糊控制器

將融合技術與模糊控制相結(jié)合，分別把狀態(tài)變量位移x和角度φ，速度x和角速度φ通過融合函數(shù)融合成偏差E和偏差變化率EC，然后通過調(diào)節(jié)比例因子和量化因子，實現(xiàn)倒立擺的穩(wěn)定。模糊控制器結(jié)構圖如圖6所示。

取誤差E和誤差變化率EC的論域分別是X=[-6，6]，Y=[-6，6]，輸出論域為2=[-6，6]。取模糊子集為NB，NM，NS，ZE，PS，PM，PB。輸入輸出模糊子集相同。根據(jù)輸入輸出論域上的模糊語言變量劃分，可以設計模糊規(guī)則表見表l。

在MATLAB里建立仿真模型，如圖7所示。

2.2 串聯(lián)模糊控制器

將小車位置和速度作為位置模糊控制器的輸入，將輸出乘以一個廣義角與小車角度一起作為角度和角速度當作角度模糊控制器的輸入，系統(tǒng)控制力作為輸出量，以此構成一個串聯(lián)模糊控制器來控制倒立擺[6-8]。

首先建立位置模糊控制器規(guī)則，把小車位置和位置變化率即速度劃分為7個等級級即NB，NM，NS，ZE，PS，PM，PB，并取模糊論域為[-6，6]。位置模糊控制器規(guī)則見表2。

建立角度模糊控制器，把小車角度和角度變化率即角速度也劃分為同樣的7個等級即NB，NM，NS，ZE，PS，PM，PB，并取模糊論域[-6，6]。角度模糊控制器規(guī)則見表3。

在MATLAB里建立仿真模型，如圖8所示。

2.3 模糊PID控制器

以傳統(tǒng)PID控制器作為基礎，把偏差作為PID控制部分的輸入[9]，把偏差和偏差變化率當作模糊控制部分的輸入，然后將模糊控制部分的三個輸出AKp、AKi、△Kd相對應與PID控制部分的輸出進行相加后，利用綜合結(jié)果對被控對象進行控制。模糊PID控制器的結(jié)構圖如圖9所示。

為了控制PID控制器的三個參數(shù)，要設計三個模糊控制器輸出對PID參數(shù)調(diào)整[10]。由于偏差較大時，適合選取較大的Kp和較小的Kd，可使系統(tǒng)響應加快，為防止超調(diào)較大可限制積分作用;偏差較小時，適合選用較大的Kp和Ki，可改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能[11];偏差介于這兩者之間時應用較小的Kd，減小系統(tǒng)超調(diào)。由此得到模糊規(guī)則，見表4、表5、表6。

3 仿真實驗

為了比較設計的三種控制的控制效果，此部分對控制器進行仿真實驗。

3.1 基于融合函數(shù)的模糊控制器實驗

設初始狀態(tài)為[0.0l;0;0;0]，狀態(tài)方程設置為A=[O1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0]，B=[0;l;0;3]，C=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]，D=[0;0;0;0]。設置好以上參數(shù)后，對兩化因子Ke、Kec和比例因子Ku進行調(diào)整。

經(jīng)過實驗驗證，確定當Ke=15，Kec=20，Ku=5時，基于融合函數(shù)的模糊控制器控制效果最好，能在2.5秒內(nèi)使倒立擺穩(wěn)定，如圖ll所示。

3.2 串聯(lián)模糊控制器實驗

設初始狀態(tài)為[0.01;0;0;0]。經(jīng)過實驗測試確定當取KEl=6， KECl=6， KUl=0.03， KE2=20， KEC2=3，KU2=5，串聯(lián)模糊控制器仿真效果最好，會在2秒內(nèi)使系統(tǒng)穩(wěn)定，如圖12所示。

3.3 模糊PID控制器實驗

設系統(tǒng)初始狀態(tài)為[0;0;0.01;0]，PID控制器的初始值Kp=300，Ki=600，Kd=40，初始值Ke=0.075，Kec=0.6，△Kp、△Ki、△Kd的初始值為0.067、0.01、0.5。

經(jīng)實驗測試當取Kp=-300，Ki=-100，Kd=-50時模糊PID控制效果最好，可以在1秒內(nèi)使倒立擺的穩(wěn)定，如圖13所示。

4 結(jié)束語

本研究對設計的三種控制器進行仿真測試，仿真結(jié)果表明，這三種方法都能使倒立擺穩(wěn)定，但是基于融合函數(shù)的模糊控制器的控制效果最差，能在2.5秒內(nèi)使倒立擺穩(wěn)定;串聯(lián)模糊控制器次之，能在2秒內(nèi)使倒立擺穩(wěn)定;模糊PID控制器的控制效果明顯比其他兩種控制器優(yōu)秀，能在1秒內(nèi)使倒立擺穩(wěn)定。

對于倒立擺的穩(wěn)定控制研究，可以將其應用到機器人行走中。由于本研究中的參數(shù)都需要手動測試調(diào)節(jié)，所以后面進一步研究參數(shù)自適應，使其能夠適應于更多場合。

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作者簡介：馬朝陽（1995-），男，江蘇徐州市人，碩士研究生，主要研究方向：機器視覺、機器人控制。

通訊作者：華云松（197卜），男，上海人，副教授，主要研究方向：自動測量與檢測技術。