致密砂巖分形滲透率模型構(gòu)建及關(guān)鍵分形參數(shù)計(jì)算方法

趙久玉，王付勇，楊 坤

(中國(guó)石油大學(xué)(北京)，北京 102249)

0 引 言

準(zhǔn)確預(yù)測(cè)致密砂巖滲透率并確定其關(guān)鍵影響因素對(duì)致密油藏高效開(kāi)發(fā)具有重要意義。滲透率模型是預(yù)測(cè)儲(chǔ)層滲透率的重要手段，實(shí)驗(yàn)室常利用經(jīng)驗(yàn)公式擬合得到滲透率模型，Kozeny-Carman方程在預(yù)測(cè)常規(guī)砂巖的滲透率時(shí)具有良好的表現(xiàn)，在此基礎(chǔ)上許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)[1-3]，但致密儲(chǔ)層孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜，孔隙類(lèi)型多樣，僅僅依靠孔隙度不能精確地預(yù)測(cè)儲(chǔ)層滲透率。滲透率不僅與孔隙度有關(guān)，還與孔隙大小、分布、連通方式等有明顯的關(guān)系[4]。分形理論可以有效表征復(fù)雜多孔介質(zhì)孔隙分布特征，并在油藏儲(chǔ)層評(píng)價(jià)中得到廣泛的應(yīng)用。國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者將分形理論與毛管束模型結(jié)合構(gòu)建了不同的滲透率模型[5-11]，但如何計(jì)算滲透率模型中的關(guān)鍵分形參數(shù)仍存在很大不確定性。

基于具有分形特征的迂曲毛管束模型，推導(dǎo)了特征單元中孔隙總流量表達(dá)式，得到致密砂巖絕對(duì)滲透率預(yù)測(cè)模型。利用壓汞法提出了一種求取三維迂曲度分形維數(shù)的新方法，并利用滲透率模型對(duì)其合理性進(jìn)行驗(yàn)證。研究表明，三維迂曲度分形維數(shù)計(jì)算與滲透率模型相結(jié)合，能夠快速、準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)巖心滲透率，對(duì)致密砂巖儲(chǔ)層物性評(píng)價(jià)具有重要意義。

1 滲透率模型

1.1 滲透率模型Ⅰ

Yu和Cheng[12]假設(shè)在一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)0，2D的二維特征單元內(nèi)，毛細(xì)管管徑、長(zhǎng)度均符合分形分布，建立一個(gè)無(wú)經(jīng)驗(yàn)系數(shù)的滲透率模型：

(1)

1.2 滲透率模型Ⅱ

Wang等[13]推導(dǎo)了迂曲度相等、孔隙大小符合分形分布的滲透率模型：

(2)

式中：φ為孔隙度；τ為平均迂曲度。

1.3 滲透率模型Ⅲ

在長(zhǎng)度為L(zhǎng)0，3D的立方體特征單元內(nèi)，迂曲毛細(xì)管分布符合分形分布，根據(jù)分形理論，孔隙大小與累計(jì)孔隙數(shù)目滿(mǎn)足[14]：

(3)

對(duì)式(3)求導(dǎo)可得：

(4)

特征單元內(nèi)每根迂曲毛細(xì)管的長(zhǎng)度也符合分形分布[12]：

(5)

Wang等[15]建立了單根毛細(xì)管長(zhǎng)度具有分形特征的毛細(xì)管流量方程：

(6)

式中：L為迂曲毛細(xì)管長(zhǎng)度，μm；q為單根毛細(xì)管流量，mm3/s；μ為流體黏度，mPa·s；p1、p2分別為毛細(xì)管兩端壓力，MPa。

根據(jù)分形理論，特征長(zhǎng)度為L(zhǎng)0，3D的特征單位中流體的流量Q可通過(guò)對(duì)單根毛細(xì)管流量從λmin到λmax積分得到，結(jié)合式(4)、(6)可得到特征長(zhǎng)度為L(zhǎng)0，3D的特征單元體中流體的流量Q為：

(7)

式中：Q為特征長(zhǎng)度為L(zhǎng)0，3D的特征單元體中流體的流量，m3/s。

將特征單元中的流量Q代入達(dá)西定律，則絕對(duì)滲透率的表達(dá)式為：

(8)

Yu[16]推導(dǎo)了三維迂曲度分形維數(shù)的表達(dá)式：

(9)

式中：τav為平均三維迂曲度；λav為平均孔隙直徑，μm。

三維空間內(nèi)，特征體單元邊長(zhǎng)L0，3D為[17]：

(10)

將式(9)代入式(10)變形可得：

(11)

(12)

2 滲透率模型參數(shù)計(jì)算

以26塊鄂爾多斯盆地延長(zhǎng)組的致密砂巖巖心為例，在滲透率模型Ⅲ的基礎(chǔ)上，計(jì)算平均迂曲度、分形維數(shù)、特征長(zhǎng)度和三維迂曲度分形維數(shù)，結(jié)果如表1所示。

表1 26塊致密砂巖參數(shù)及模型參數(shù)計(jì)算結(jié)果Table 1 Model prediction and test data of 26 tight sandstone core samples

2.1 平均迂曲度

平均迂曲度是描述滲流通道的重要參數(shù)，Comiti和Renaud[18]、Yu[16]提出利用孔隙度計(jì)算平均迂曲度的方法，2種方法的計(jì)算結(jié)果存在一定的差異。由表1可知，τ1的數(shù)值為1～2；τ2的數(shù)值為3～6。雖然2種方法計(jì)算的平均迂曲度存在一定差異，但隨著平均迂曲度增大，巖心滲透率降低，較大、較小的迂曲度都將影響巖心滲透率的計(jì)算準(zhǔn)確性，選擇合適的迂曲度計(jì)算方法會(huì)大大提高預(yù)測(cè)滲透率的準(zhǔn)確性。

2.2 分形維數(shù)

分形維數(shù)用以表征孔隙的分布，Wang等[15]和Li[19]介紹了利用壓汞曲線(xiàn)求取分形維數(shù)的方法。以1號(hào)巖心為例，使用2種方法得到的累計(jì)孔隙數(shù)目與孔隙直徑的雙對(duì)數(shù)曲線(xiàn)如圖1所示，其斜率的負(fù)值為分形維數(shù)。Wang等計(jì)算出的分形維數(shù)接近2，并且孔隙半徑和累計(jì)孔隙數(shù)目相關(guān)性較低(圖1a)。Li計(jì)算的分形維數(shù)大于2，孔隙半徑和累計(jì)孔隙數(shù)目相關(guān)性較好(圖1b)。

圖1 1號(hào)巖心N-λ雙對(duì)數(shù)曲線(xiàn)

圖2 分形維數(shù)與滲透率關(guān)系

2.3 特征長(zhǎng)度和迂曲度分形維數(shù)

式(12)較為復(fù)雜，無(wú)法求得其解析解，信賴(lài)域算法是一種求解非線(xiàn)性?xún)?yōu)化問(wèn)題的數(shù)值方法，該方法從給定的初始解出發(fā)，通過(guò)逐步迭代，不斷改進(jìn)，直到獲得滿(mǎn)意的近似最優(yōu)解為止。將求得的三維特征長(zhǎng)度代入式(9)可以計(jì)算得到三維迂曲度分形維數(shù)。

3 滲透率模型驗(yàn)證

巖心最大孔隙半徑和平均孔隙半徑可以通過(guò)壓汞數(shù)據(jù)得到，由于壓汞的進(jìn)汞飽和度無(wú)法到達(dá)100%，因此，無(wú)法測(cè)量出準(zhǔn)確的最小孔隙半徑，此處假設(shè)最小孔隙半徑均為1 nm。由上述3種模型可知，巖心內(nèi)部孔隙迂曲度對(duì)巖心滲透率的計(jì)算有一定影響，而不同方法計(jì)算的迂曲度并不完全相同，存在一定的差異，因此，將2種方法計(jì)算的平均迂曲度分別帶入上述3種滲透率模型，并對(duì)表1中26塊致密砂巖滲透率進(jìn)行模擬計(jì)算，將其與巖心氣測(cè)滲透率進(jìn)行對(duì)比，2種方法的計(jì)算結(jié)果分別如圖3、4所示。圖中擬合曲線(xiàn)與坐標(biāo)軸角平分線(xiàn)的偏離程度可直觀表述預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性，擬合曲線(xiàn)與角平分線(xiàn)吻合度越高，偏離程度越小，滲透率預(yù)測(cè)越準(zhǔn)確。

圖3 平均迂曲度τ1預(yù)測(cè)滲透率與氣測(cè)滲透率對(duì)比

圖4 平均迂曲度τ2預(yù)測(cè)滲透率與氣測(cè)滲透率對(duì)比

由圖3可知，不同滲透率模型的計(jì)算結(jié)果不同。3種模型均考慮了巖心內(nèi)部孔隙迂曲度對(duì)滲透率預(yù)測(cè)的影響，但其表現(xiàn)形式存在一定差異。模型Ⅰ中考慮了毛細(xì)管的迂曲分形特征，而模型Ⅱ中將所有孔隙迂曲度設(shè)為同一固定值，2種模型預(yù)測(cè)滲透率時(shí)所用的為二維迂曲度分形維數(shù)；模型Ⅲ中利用三維迂曲度方法進(jìn)行計(jì)算。

同理，由圖4可知，當(dāng)利用Yu方法計(jì)算平均迂曲度時(shí)，利用滲透率模型Ⅲ所預(yù)測(cè)的滲透率與巖心氣測(cè)滲透率最為接近。因此，利用三維迂曲度分形維數(shù)校正后的滲透率模型可以有效預(yù)測(cè)滲透率。

對(duì)比圖3、4，由于2種方法所計(jì)算的迂曲度不同，二者滲透率預(yù)測(cè)結(jié)果也存在一定差異。表1中利用Comiti和Renaud方法計(jì)算的迂曲度略小于Yu方法所計(jì)算的迂曲度，因此，滲透率模型Ⅰ、Ⅱ計(jì)算所得的滲透率偏大，圖3中的擬合曲線(xiàn)偏差略大于圖4。

4 結(jié) 論

(1) 構(gòu)建了一種基于孔隙大小分布和迂曲度分形特征的致密砂巖滲透率預(yù)測(cè)新模型，該模型沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，利用壓汞曲線(xiàn)得到分形維數(shù)、最大孔隙半徑與平均孔隙半徑，并通過(guò)迭代法計(jì)算迂曲度分形維數(shù)、特征長(zhǎng)度，即可對(duì)滲透率進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。

(2) 針對(duì)二維特征長(zhǎng)度不能夠準(zhǔn)確表示迂曲度分形維數(shù)的問(wèn)題，提出了一種求取三維迂曲度分形維數(shù)的新方法。以鄂爾多斯盆地延長(zhǎng)組26個(gè)致密砂巖巖心為例，將計(jì)算所得三維迂曲度分形維數(shù)與滲透率模型Ⅲ相結(jié)合，所測(cè)得的滲透率與巖心氣測(cè)滲透率最為接近，該方法可以有效地預(yù)測(cè)巖心滲透率。

(3) 不同方法計(jì)算的迂曲度不同，其預(yù)測(cè)滲透率結(jié)果也存在一定差異。當(dāng)計(jì)算迂曲度較小時(shí)，滲透率預(yù)測(cè)結(jié)果偏大。選取合適的迂曲度計(jì)算方法對(duì)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)致密砂巖滲透率具有重要意義。