采用相對(duì)熵評(píng)價(jià)雷達(dá)相對(duì)系統(tǒng)誤差估值

高 效， 敬 東， 陳 鋼

(中國(guó)人民解放軍93209部隊(duì)， 北京 100085)

0 引言

雷達(dá)相對(duì)系統(tǒng)誤差是指雷達(dá)在對(duì)目標(biāo)進(jìn)行測(cè)量時(shí)存在的相對(duì)于指定參照系的固定誤差，包括雷達(dá)動(dòng)態(tài)測(cè)量中的測(cè)向誤差Δθ、測(cè)距誤差Δρ、仰角誤差Δα、雷達(dá)站址標(biāo)定誤差(Δx,Δy)和雷達(dá)組網(wǎng)應(yīng)用中存在的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換誤差等[1-4]。在雷達(dá)組網(wǎng)觀測(cè)中，動(dòng)態(tài)目標(biāo)的絕對(duì)位置多數(shù)情況下是不可知的，我們比較容易得到的是在同一時(shí)間段內(nèi)不同雷達(dá)對(duì)同一飛行目標(biāo)的離散觀測(cè)值。而相對(duì)于網(wǎng)內(nèi)其他雷達(dá)來(lái)說(shuō)，總會(huì)有一部雷達(dá)的觀測(cè)是精確的，此時(shí)可以以該雷達(dá)(命名為主站)的測(cè)量值作為對(duì)目標(biāo)位置的真實(shí)描述，其他雷達(dá)(命名為次站)以此為參照，從而求得次站雷達(dá)相對(duì)于主站雷達(dá)的相對(duì)系統(tǒng)誤差。

估計(jì)、消除單雷達(dá)測(cè)量中存在的系統(tǒng)誤差有兩種途徑：設(shè)備校準(zhǔn)和數(shù)據(jù)校準(zhǔn)[1-3]。對(duì)于多雷達(dá)組網(wǎng)后的系統(tǒng)誤差校準(zhǔn)，情況就更為復(fù)雜。如何評(píng)價(jià)一組系統(tǒng)誤差估值或某種數(shù)據(jù)校準(zhǔn)方法的有效性，成為一個(gè)亟待解決的問(wèn)題。

傳統(tǒng)的系統(tǒng)誤差估值有效性評(píng)價(jià)多采用“取點(diǎn)評(píng)價(jià)法”，就是將同一時(shí)刻，雷達(dá)測(cè)量位置點(diǎn)與目標(biāo)在參照系中的位置點(diǎn)(這兩個(gè)點(diǎn)又稱(chēng)為時(shí)間配準(zhǔn)點(diǎn))之間的直線距離作為基本評(píng)價(jià)依據(jù)[5]。為了提高評(píng)價(jià)的可信度，往往需要取多個(gè)時(shí)間配準(zhǔn)點(diǎn)，將多個(gè)時(shí)間配準(zhǔn)點(diǎn)修正前后距離的平均值[6-7]之比作為最終的系統(tǒng)誤差估值有效性評(píng)價(jià)指標(biāo)。這種方法原理上比較科學(xué)，但在工程實(shí)現(xiàn)上，由于雷達(dá)異步工作，“多個(gè)時(shí)間配準(zhǔn)點(diǎn)”在原始測(cè)量中幾乎不存在，雖然采用卡爾曼濾波等方法可以外推得到配準(zhǔn)時(shí)刻的目標(biāo)位置點(diǎn)，但外推過(guò)程又不可避免地引入了新的計(jì)算誤差，因此取點(diǎn)評(píng)價(jià)法的可操作性和準(zhǔn)確性不高。

我們針對(duì)傳統(tǒng)方法從局部(單點(diǎn))入手帶來(lái)的問(wèn)題與不足，引入信息論中相對(duì)熵的概念，通過(guò)選取典型航路(目標(biāo)保持一定高度沿直線飛行)上的一組主、從雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)，整體比較次站觀測(cè)航跡線系統(tǒng)誤差修正前后與主站觀測(cè)航跡線的相似性來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)誤差估值的有效性以及修正效果。這樣在提高準(zhǔn)確性和可操作性的同時(shí)，簡(jiǎn)化了評(píng)價(jià)方法的復(fù)雜程度，方便了工程上的實(shí)現(xiàn)。

1 基于相對(duì)熵的系統(tǒng)誤差估值有效性評(píng)價(jià)方法

在信息論中，相對(duì)熵用來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)取值為正的函數(shù)的相似性，比如：X為一非空集合，f(x)和g(x)是X上的兩個(gè)離散隨機(jī)概率分布函數(shù)，則f(x)和g(x)之間的相對(duì)熵定義為

(1)

對(duì)于上式，可以推導(dǎo)[8]：兩個(gè)完全相同的函數(shù)，它們的相對(duì)熵等于零；相對(duì)熵越大，兩個(gè)函數(shù)的差異越大，反之，相對(duì)熵越小，兩個(gè)函數(shù)的差異越小；另外相對(duì)熵是不對(duì)稱(chēng)的，即

KL(f(x)||g(x))≠KL(g(x)||f(x))

為了便于使用，香農(nóng)等人提出了新的相對(duì)熵計(jì)算方法，即：

KL(g(x)||f(x))]

(2)

我們采用式(2)作為雷達(dá)相對(duì)系統(tǒng)誤差估值有效性評(píng)價(jià)的基本依據(jù)，具體方法步驟如下：

步驟1：選取主、次站雷達(dá)對(duì)同一空中目標(biāo)的一段同時(shí)段觀測(cè)數(shù)據(jù)?！巴瑫r(shí)段”是指兩部雷達(dá)觀測(cè)數(shù)據(jù)首點(diǎn)和末點(diǎn)時(shí)間差均不大于1個(gè)雷達(dá)探測(cè)周期(一般為10 s或20 s)。在目標(biāo)作處于直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，每部雷達(dá)觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量一般不少于10點(diǎn)，否則，每部雷達(dá)觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)4～6點(diǎn)即可。這樣做的目的是選取較短時(shí)間內(nèi)的單雷達(dá)測(cè)量點(diǎn)集合，既能保證所選測(cè)量點(diǎn)即時(shí)反映目標(biāo)當(dāng)前整體航跡走勢(shì)，又要兼顧單雷達(dá)航跡線參數(shù)估計(jì)過(guò)程中消除隨機(jī)誤差影響的最少樣本數(shù)要求。

步驟2：對(duì)主站雷達(dá)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)(極坐標(biāo)形式)進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到對(duì)應(yīng)的統(tǒng)一直角坐標(biāo)數(shù)據(jù){(Xtzi,Ytzi)，i=1,2,…,n}，n表示主站雷達(dá)觀測(cè)數(shù)據(jù)總點(diǎn)數(shù)。

步驟3：分別對(duì)次站雷達(dá)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)、系統(tǒng)誤差修正數(shù)據(jù)進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到兩組統(tǒng)一直角坐標(biāo){(Xtcj,Ytcj)，j=1,2,…,m}和{(Xtxj,Ytxj)，j=1,2,…,m}，m表示次站雷達(dá)觀測(cè)數(shù)據(jù)總點(diǎn)數(shù)。此處次站雷達(dá)系統(tǒng)誤差修正數(shù)據(jù)是指次站雷達(dá)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)按照次站系統(tǒng)誤差估值(Δρ,Δθ,Δα,Δx,Δy)修正后的數(shù)據(jù)。

步驟4：在統(tǒng)一直角坐標(biāo)系中，對(duì)于測(cè)量點(diǎn)數(shù)據(jù){(xi,yi),i=1,2,…,p}，將X坐標(biāo)作為自變量，Y坐標(biāo)作為因變量，分別對(duì)主、次站雷達(dá)觀測(cè)數(shù)據(jù)和次站雷達(dá)系統(tǒng)誤差修正數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，得到相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)。曲線擬合方法可以采用最小二乘或切比雪夫曲線擬合法，為了防止過(guò)擬合，擬合多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一般取2或3即可[9]。本文采用加權(quán)直線航跡線參數(shù)迭代估計(jì)模型(詳見(jiàn)下一節(jié))，得到主站觀測(cè)航跡線參數(shù)(kz,dz)(分別表示直線的斜率和截距)、次站觀測(cè)航跡線參數(shù)(kc,dc)和次站修正航跡線參數(shù)(kx,dx)。

步驟5：計(jì)算次站觀測(cè)航跡線與主站觀測(cè)航跡線的相對(duì)熵JSc。相對(duì)熵越小，表明兩條航跡線越相似，過(guò)程如下：

① 計(jì)算f(xi)和g(xi)。

f(xi)=kzxi+dz，g(xi)=kcxi+dc，

i=1,2,…，n+m

(3)

式中，xi∈{(Xtzi|i=1,2,…，n)∪(Xtcj|j=1,2,…，m)}，表示主站觀測(cè)點(diǎn)與次站觀測(cè)點(diǎn)橫坐標(biāo)的并集，n和m分別表示主、次站雷達(dá)的觀測(cè)點(diǎn)數(shù)。

② 計(jì)算KL(f(x)||g(x))和KL(g(x)||f(x))。

(4)

(5)

③ 計(jì)算JSc。

(6)

步驟6：計(jì)算次站修正航跡線與主站觀測(cè)航跡線的相對(duì)熵JSx。計(jì)算過(guò)程與步驟5類(lèi)同。

步驟7：次站修正航跡線系統(tǒng)誤差估值有效性指標(biāo)V表示為

(7)

V∈[0,1]時(shí)，V越大，表示系統(tǒng)誤差估值越有效，航跡修正效果越好。V<0時(shí)，表示系統(tǒng)誤差估值不僅完全無(wú)效，反而加劇了主、次站雷達(dá)觀測(cè)航跡的分裂程度。

2 加權(quán)直線航跡線參數(shù)迭代估計(jì)模型

某時(shí)間段內(nèi)單雷達(dá)觀測(cè)到典型航路上的某一飛行目標(biāo)的總點(diǎn)數(shù)為n，所有測(cè)量點(diǎn)轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一直角坐標(biāo)系后表示為{(xi,yi),i=1,2,…,n}。我們定義單一測(cè)量點(diǎn)(xi,yi)對(duì)目標(biāo)航跡線參數(shù)估計(jì)的貢獻(xiàn)率為該點(diǎn)的權(quán)值，記為vi。首先按照以下方法計(jì)算單一測(cè)量點(diǎn)的權(quán)值。

基于直線方程一般式：y-k0x-d0=0(k0為直線的斜率，d0為直線在Y軸上的截距)，測(cè)量點(diǎn)(xi,yi)到直線的垂直距離li表示為

(8)

用所有單雷達(dá)觀測(cè)點(diǎn){(xi,yi),i=1,2…,n}到該直線的垂直距離li的平方和最小作為條件構(gòu)造直線，計(jì)算在此條件下的這條直線的最佳參數(shù)，即為不加權(quán)直線航跡線參數(shù)估計(jì)模型：

(9)

(10)

在測(cè)量點(diǎn)(xi,yi)對(duì)應(yīng)的權(quán)值vi已知基礎(chǔ)上，同樣基于直線方程一般式，我們用所有單雷達(dá)觀測(cè)點(diǎn){(xi,yi),i=1,2,...,n}到某直線的垂直加權(quán)距離(vi×li)的平方和最小作為條件構(gòu)造直線，計(jì)算在此條件下的這條直線的最佳參數(shù)(k,d)，即為單雷達(dá)加權(quán)直線航跡線參數(shù)估計(jì)模型[10]：

(11)

對(duì)于式(11)的求解，可以構(gòu)造方程：

(12)

求解(12)式可以得到一組合理的直線參數(shù)解(k,d)。然后計(jì)算所有測(cè)量點(diǎn)(xi,yi)到新直線的加權(quán)距離之和fm(k,d)(m表示迭代次數(shù))：

(13)

直到fm(k,d)不再減小為止，此時(shí)的(k,d)即為最佳直線參數(shù)；否則按照當(dāng)前(k,d)重新計(jì)算所有測(cè)量點(diǎn)(xi,yi)的權(quán)值vi，回歸對(duì)式(10)的求解過(guò)程。

3 方法應(yīng)用與分析

使用本文方法，我們對(duì)某雷達(dá)網(wǎng)中一部次站雷達(dá)相對(duì)主站雷達(dá)的兩種相對(duì)系統(tǒng)誤差估值方案的有效性進(jìn)行評(píng)價(jià)。

對(duì)圖1中的次雷達(dá)原始測(cè)量航跡線、次雷達(dá)修正航跡線1、次雷達(dá)修正航跡線2相對(duì)于主雷達(dá)測(cè)量航跡線的相對(duì)熵分別進(jìn)行了計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如下：

圖1 主、次雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)和兩組次雷達(dá)相對(duì)系統(tǒng)誤差修正數(shù)據(jù)顯示圖

主雷達(dá)與次雷達(dá)原始測(cè)量航跡線的相對(duì)熵JSc=0.188 534，主雷達(dá)原始測(cè)量與次雷達(dá)修正航跡線1的相對(duì)熵JS2x=0.002 087，主雷達(dá)原始測(cè)量與次雷達(dá)修正航跡線2的相對(duì)熵JS2x=0.084 058。則次站兩組相對(duì)系統(tǒng)誤差估值有效性指標(biāo)V1和V2計(jì)算結(jié)果分別為

(14)

由1>V1>V2>0可以得出以下結(jié)論：

①V1和V2對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)誤差估值均能有效減小主、次站雷達(dá)觀測(cè)航跡的分裂程度,說(shuō)明次站雷達(dá)的兩組相對(duì)系統(tǒng)誤差估值方案都有效；

② 在減小主、次站雷達(dá)觀測(cè)航跡的分裂程度上，V1對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)誤差估值要優(yōu)于V2對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)誤差估值，取得了較好的航跡修正效果,與圖1的觀察結(jié)果一致。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法在工程上的有效性，我們將圖1中的主、次站雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)和次站雷達(dá)相對(duì)系統(tǒng)誤差修正數(shù)據(jù)加入正態(tài)隨機(jī)誤差，連續(xù)進(jìn)行了50次模擬，次站兩組相對(duì)系統(tǒng)誤差估值方案有效性指標(biāo)V1和V2計(jì)算結(jié)果如圖2所示，均有1>V1>V2>0的一致性結(jié)論，表明本方法有效，且受隨機(jī)誤差影響很小，可以應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)中。

圖2 次站雷達(dá)相對(duì)系統(tǒng)誤差估值有效性指標(biāo)對(duì)比圖

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)計(jì)算次站觀測(cè)航跡線系統(tǒng)誤差修正前后與主站觀測(cè)航跡線的相對(duì)熵，構(gòu)建次站修正航跡線系統(tǒng)誤差估值有效性指標(biāo)，用以評(píng)價(jià)系統(tǒng)誤差估值的有效性以及修正效果。在工程應(yīng)用中，很容易得到典型航路上的主、次站觀測(cè)數(shù)據(jù)，既降低了檢飛成本，又可以保證加權(quán)直線航跡線參數(shù)迭代估計(jì)模型的適用性，進(jìn)而提高本評(píng)價(jià)方法的準(zhǔn)確性。本方法有助于提高雷達(dá)陣地檢飛、數(shù)據(jù)校準(zhǔn)方法選擇和雷達(dá)相對(duì)系統(tǒng)誤差估值表計(jì)算過(guò)程中對(duì)系統(tǒng)誤差估值評(píng)價(jià)的科學(xué)性、準(zhǔn)確性和可操作性，從而提升雷達(dá)網(wǎng)目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)和多雷達(dá)數(shù)據(jù)融合的質(zhì)量。本文給出的方法，對(duì)研究基于位置信息以及目標(biāo)空間運(yùn)動(dòng)特征的航跡關(guān)聯(lián)算法也具有一定的借鑒意義。