隨機追蹤策略預(yù)測鐘差的理論分析

王玉琢 高 源 徐清華 張愛敏

(中國計量科學(xué)研究院，北京 100029)

1 引 言

“萬物互聯(lián)、聯(lián)通共享”的理念引領(lǐng)著人類對未來的憧憬，逐步改變著我們的生活。準(zhǔn)確穩(wěn)定的時間頻率是“互聯(lián)共享”的必要條件，是導(dǎo)航定位、時空信息共享的基礎(chǔ)。時間的穩(wěn)健流逝性決定了時間計量必須滯后進行，而預(yù)測是保障當(dāng)下和未來時間準(zhǔn)確的有效手段。原子鐘作為當(dāng)代主要的精密計時工具，其可預(yù)測能力一方面與其硬件性能和工作條件有著本質(zhì)聯(lián)系，另一方面與原子鐘數(shù)據(jù)的處理手段和預(yù)測方法直接相關(guān)[1,2]。國際計量局(BIPM)以原子鐘可預(yù)測能力作為權(quán)重評價指標(biāo)，產(chǎn)生協(xié)調(diào)世界時(UTC)[3,4]。美國國家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院(NIST)、德國聯(lián)邦物理技術(shù)研究院(PTB)等國際先進實驗室應(yīng)用濾波降噪方法處理原子鐘數(shù)據(jù)、提高其可預(yù)測能力。目前，原子鐘預(yù)測方法主要包括兩類：基于最小二乘擬合的預(yù)測方法[3]和基于Kalman filter的預(yù)測方法[5,6]。前者被BIPM采用計算協(xié)調(diào)世界時(UTC)，后者被美國NIST采用計算鐘組紙面時，兩種方法各有所長，被各國時間頻率研究機構(gòu)借鑒和發(fā)展。

在前期工作中，基于最小二乘擬合設(shè)計了一種魯棒性的原子鐘預(yù)測方法——隨機追蹤策略(random pursuit strategy)[7-9]，初步實驗結(jié)果表明該方法具有較好的應(yīng)用前景。本文以理論視角進一步闡述了隨機追蹤策略的基本思想、預(yù)測模型、不確定度分析以及關(guān)鍵技術(shù)參數(shù)優(yōu)化等問題，為后續(xù)研究工作奠定了理論基礎(chǔ)。

2 基本思路

隨機追蹤策略由一個預(yù)測器組構(gòu)成[7-9]，其中每個預(yù)測器工作在一個獨立的子空間，所有預(yù)測器對未來預(yù)測的加權(quán)平均作為最終預(yù)測結(jié)果。具體包括如下幾個部分。

1)歷史數(shù)據(jù)

設(shè)原子鐘相位或頻率數(shù)據(jù)的測量值向量為X,每個數(shù)據(jù)點間隔時間為T，則有

X=(x1x2…xn)

(1)

式中：X——歷史數(shù)據(jù)樣本，即一臺原子鐘相對參考鐘或時標(biāo)測量得到的相位差或頻率差；xt——t時刻的相位差或頻率差。

向量X作為原子鐘測量的歷史數(shù)據(jù)，用于預(yù)測原子鐘未來的相位或頻率變化。

2)隨機分組

3)擬合函數(shù)

4)定義加權(quán)

5)加權(quán)平均

(2)

6)輸出預(yù)測值

綜上所述，隨機追蹤策略是基于一個預(yù)測器組構(gòu)建的加權(quán)平均預(yù)測方法，它要求一個先決條件是歷史數(shù)據(jù)向量X能代表原子鐘輸出頻率或相位的特性，且向量X中絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)具有較高的可靠性。當(dāng)歷史數(shù)據(jù)與原子鐘所有表現(xiàn)的實際特性有較大差異時，預(yù)測方法將會失諧。雖然加權(quán)平均方法并不能保證每一次預(yù)測得到的結(jié)果均能優(yōu)于或接近最優(yōu)預(yù)測值，但是隨機追蹤策略提供一種降低預(yù)測方法對離群值、異常值敏感性的新思路。

3 理論分析

3.1 鐘差模型

(3)

預(yù)測器j的估計值在t時刻的公式為

(4)

基于子集內(nèi)m(>3)個數(shù)據(jù)點利用最小二乘法進行擬合，組成一個超定方程為

(5)

系數(shù)矩陣A可以表示為

(6)

式中：t1,…,tm——預(yù)測器j中的m個數(shù)據(jù)點對應(yīng)的時刻值。

(7)

式中：A-1——A的廣義逆矩陣。

3.2 參數(shù)的相關(guān)性

(8)

式中：αj——擬合參數(shù)(時鐘的相位、頻率和頻率漂移)；Z——t1,?,tn的真值。

K和A-1相似可以表示為

(9)

真值與測量值之間的誤差表示為

ε=X-Z

(10)

將式(10)代入式(8)擬合參數(shù)為

(11)

為了得到αji的方差，式(11)右邊兩項的方差被寫作

(12)

式中：αji——固定值，所以方差為0；εi——ε誤差向量的第i個元素，測量誤差被認(rèn)為是獨立同分布的；σ——測量值和真值之間的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

(13)

式中：kij——矩陣K中第i行第j列的元素。

由于實際應(yīng)用中原子鐘輸出真值無法獲得，用殘差的標(biāo)準(zhǔn)偏差來代替σ,它的估計值可表示為

(14)

(15)

根據(jù)式(11)可知，預(yù)測器j中的任意兩個擬合系數(shù)之間的協(xié)方差為

(16)

假設(shè)誤差獨立同分布，式(16)右邊被改寫為

(17)

3.3 預(yù)測不確定度

(18)

(19)

也可寫作

(20)

其中，

(21)

將式(17)代入到式(20)，預(yù)測值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

(22)

3.4 最大化可預(yù)測能力

隨機追蹤策略(RPS)的預(yù)測值由每個預(yù)測器的輸出經(jīng)加權(quán)平均得到，可表示為

(23)

式中：gj——集合中預(yù)測器j中相對權(quán)重的中間變量。

+∑correlationterms

(24)

(25)

式(25)可用極值法直接求解，其解為

(26)

每個預(yù)測器的權(quán)重可以表示為

(27)

(28)

由式(28)可知，由隨機追蹤策略獲得的預(yù)測值的不確定度小于預(yù)測器組內(nèi)任意單一預(yù)測器的預(yù)測不確定度，也就是說基于此種權(quán)重策略的隨機追蹤策略具有更強的系統(tǒng)魯棒性及預(yù)測能力。

4 結(jié)束語

隨機追蹤策略對鐘差歷史數(shù)據(jù)進行隨機抽樣分組，構(gòu)建了由若干子空間構(gòu)成的預(yù)測空間。綜合考慮每個預(yù)測空間內(nèi)的鐘差數(shù)據(jù)特性，采用最小二乘方法建立原子鐘行為模型，構(gòu)造預(yù)測空間內(nèi)鐘差數(shù)據(jù)的獨立擬合函數(shù)(預(yù)測器)，多個子空間相對獨立形成預(yù)測器組。為了最小化隨機追蹤策略的預(yù)測不確定度，采用預(yù)測空間內(nèi)樣本的不確定度定義了預(yù)測器權(quán)重，經(jīng)加權(quán)平均合并子空間預(yù)測值形成預(yù)測結(jié)果。通過隨機分組、合并預(yù)測值等策略降低了預(yù)測方法對原子鐘異常行為的敏感性，提高了歷史數(shù)據(jù)中高質(zhì)量數(shù)據(jù)點對未來預(yù)測的貢獻，進而提升了原子鐘的可預(yù)測能力，提高了預(yù)測方法的魯棒性。

前期研究工作已表明隨機追蹤策略具有一定的優(yōu)勢和實用價值，著重從理論層面較為全面地闡述了基本原理和優(yōu)化思路。實驗研究與理論分析也表現(xiàn)出了不足之處：隨機分組造成相同數(shù)據(jù)源每次預(yù)測結(jié)果不一致，即預(yù)測結(jié)果的重復(fù)性差；利用多次隨機重新分組取平均方法可有效提高重復(fù)性，但引起較大運算量、造成算法執(zhí)行效率低。

解決或緩解上述問題有如下兩種思路。

1)優(yōu)化隨機分組設(shè)計：將每次隨機分組修改為分組后的進出棧模式，即后續(xù)數(shù)據(jù)點逐步替代樣本空間中時間最久的數(shù)據(jù)點，每次僅替換一個數(shù)據(jù)點，僅有一個子空間及擬合函數(shù)發(fā)生變化，這樣可極大改善算法運行效率，同時可以提高算法預(yù)測的重復(fù)性。

2)提升硬件運算能力：隨機追蹤策略設(shè)計的基本結(jié)構(gòu)是若干個獨立的子空間，具備天然的并行計算優(yōu)勢。目前，GPU硬件成本急劇下降、運算能力不斷提升，采用GPU輔助隨機追蹤策略可大幅提升運算效率，為預(yù)測樣本數(shù)據(jù)的大規(guī)模重組提供了可能。