高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)熱點問題的分析與研究

高震

摘 要：本文從解答題的角度，分別以2019年全國3卷理科、2019年全國1卷理科和2019年浙江卷理科導(dǎo)數(shù)題為實例，針對2019年高考中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的三類熱點問題進行分析和研究，形成了一定的規(guī)律，總結(jié)了高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)熱點問題的解決方法和套路。

關(guān)鍵詞：函數(shù)與導(dǎo)數(shù);不等式

1.問題的綜述

眾所周知，高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是要考查的核心內(nèi)容，是歷年高考的重點、熱點，在新課程改革后的高考試卷中經(jīng)常以選擇題、填空題和解答題的形式命題，有基礎(chǔ)題，也有中檔題，更多的時候是以難題的位置來考查，能力要求高，是各地高考卷常見的壓軸題，綜合程度高，難度較大，分值占比多，因此探究此類問題的處理策略時，找到解題套路是獲取高分的必要途徑。高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)涉及的問題形式多樣，常見的熱點問題有：研究函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、求切線方程、單調(diào)區(qū)間、極值、最值等）;研究函數(shù)的零點問題（方程根的個數(shù)、曲線的交點個數(shù)等）;利用導(dǎo)數(shù)求解不等式問題（證明不等式、不等式的恒成立問題、存在性問題或者求解參數(shù)的取值范圍等等）.

2.三種常見熱點問題的舉例

2.1熱點一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

以含參數(shù)的函數(shù)為背景，結(jié)合具體函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究函數(shù)的性質(zhì)，本熱點主要有三種考查方式：

1.討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2.討論函數(shù)的極值或最值情況

3.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

（2019年全國3卷理科）

已知函數(shù)f（x）=2x3-ax2+b.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）是否存在a，b，使得f（x）在區(qū)間[0，1]最小值為-1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值;若不存在，說明理由.

【點睛】這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合題，題目難度比往年降低了不少。考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計算。思考量不大，由計算量補充。

2.2熱點二研究函數(shù)的零點

函數(shù)與方程思想一直是高考考查的重點，函數(shù)的零點或者方程的根是近幾年高考命題的熱點，常常轉(zhuǎn)化為研究兩個函數(shù)圖像的交點問題，通過研究函數(shù)的極值的情況，數(shù)形結(jié)合解決問題，本熱點主要有兩種考查方式：

i1j討論函數(shù)的零點個數(shù)

（2）已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍

（2019年全國1卷理科）

已f（x）=sinx-ln（1+x），函數(shù)f'（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù).證明：

（1）f'（x）在區(qū)間存在唯一極大值點;

（2）f（x）有且僅有2個零點.

【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)的問題.解決零點問題的關(guān)鍵一方面是利用零點存在定理或最值點來說明存在零點，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說明在區(qū)間內(nèi)零點的唯一性，二者缺一不可.

2.3熱點三利用導(dǎo)數(shù)求解不等式問題

不等式實際上是高考要考查的一個非常重要的內(nèi)容，高考試卷中雖然很少直接考查，但幾乎每年都會滲透在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用中進行考查。本熱點主要有三種考查方式：

i1j解不等式

i2j證明不等式

i3j已知不等式成立（恒成立問題或存在性問題）求參數(shù)的取值范圍

（2019年浙江卷科）

已知實數(shù)a≠0，設(shè)函

（1）當(dāng)時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間

（2）對任意均有求a的取值范圍.

【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)這一工具研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式的恒成立問題，求得參數(shù)的取值范圍。

3.小結(jié)

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，例如求函數(shù)在某點處的切線方程;利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間、極值和最值等等;已知帶有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，反過來求參數(shù)的取值范圍;求解函數(shù)的零點問題、方程根的問題或者兩個函數(shù)圖像交點的個數(shù)問題;證明函數(shù)不等式;證明數(shù)列不等式;利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題…從歷年高考題中我們可以總結(jié)以下規(guī)律：

對我們廣大的考生而言，目標(biāo)決定態(tài)度，心態(tài)影響高度。目標(biāo)不能僅僅停留在第一問必拿。這樣你對第一問的難度就會期望降低。一旦第一問比較復(fù)雜，你就拿不到第一問的滿分。第二問也不是難的不能去啃，往往第一問復(fù)雜了，第二問就會在此基礎(chǔ)上有法可尋。廣西地區(qū)2019年全國3卷理科的導(dǎo)數(shù)滿分人數(shù)有近900人，滿分人數(shù)的增多，激勵我們增強信心，做好準(zhǔn)備。100%的準(zhǔn)備。80%的期望。

筆者是從事了三屆完整高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一名一線教師，從這些年對高考試卷中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)熱點問題的分析與研究把高考的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題歸為四大模型：模型一恒成立問題、存在性問題和零點問題的模型。解題的關(guān)鍵套路：獨立參量、分類討論和數(shù)形結(jié)合。模型二函數(shù)不等式的模型。解題的關(guān)鍵套路：通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為模型一。模型三數(shù)列不等式的模型。解題的關(guān)鍵套路：通過對帶參數(shù)的函數(shù)不等式進行賦值得到一個沒有參數(shù)的函數(shù)不等式，然后在對自變量進行賦值得到一個基本的數(shù)列不等式，最后通過累加等數(shù)列變形技巧得到最終的數(shù)列不等式。模型四極值點偏移問題的模型。解題的關(guān)鍵套路：直接構(gòu)造極值點偏移函數(shù)或者先對條件進行變形再構(gòu)造函數(shù)。

參考文獻

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[2]吳寶樹《全國高考統(tǒng)一命題視角下的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)策略研究》福建師范大學(xué)，2017-03-22，碩士論文

[3]劉偉偉《高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題的研究與思考》河北師范大學(xué)，2017-03-20，碩士論文

[4]孫維《新課程背景下高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題命題研究及分析》青海師范大學(xué)，2015-04-01，碩士論文

[5]郭慧清《2017年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題命題分析》中國數(shù)學(xué)教育，2017-08-15，期刊