報(bào)童問(wèn)題的應(yīng)用與延伸

摘要：在企業(yè)里，總要生產(chǎn)或采購(gòu)一定量的產(chǎn)品儲(chǔ)存起來(lái)，以此解決供應(yīng)（或生產(chǎn)）與需求（或消費(fèi)）之間的不協(xié)調(diào)問(wèn)題。而報(bào)童模型就是典型的隨機(jī)需求模型，旨在尋找產(chǎn)品的最優(yōu)訂貨量，使期望收益最大化或期望損失最小化。本文由淺入深地分析了報(bào)童模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，并對(duì)其前景提出了展望。

關(guān)鍵詞：報(bào)童模型;期望收益;概率分布;最優(yōu)訂貨量

一、 引言

人們?cè)谏a(chǎn)活動(dòng)或日常生活中往往把所需要的物資、食物或用品暫時(shí)儲(chǔ)存起來(lái)，以備將來(lái)的使用或消費(fèi)。同樣，在企業(yè)里，也總是要生產(chǎn)或采購(gòu)一定量的產(chǎn)品儲(chǔ)存起來(lái)。這種儲(chǔ)存物品的現(xiàn)象是為了解決供應(yīng)（或生產(chǎn)）與需求（或消費(fèi)）之間的不協(xié)調(diào)的一種手段。

不論是供應(yīng)或是需求，都有兩個(gè)基本問(wèn)題要考慮：一個(gè)是量，即一次供應(yīng)或需求是多少;另一個(gè)是期，也就是時(shí)機(jī)，即需要什么時(shí)候供應(yīng)或采購(gòu)。由于一個(gè)企業(yè)，一個(gè)生產(chǎn)單位往往要使用成千上萬(wàn)種不同的物資，并且這些物資的供應(yīng)（需求）的量和時(shí)期往往不是均勻的，而具有隨機(jī)性，這就使問(wèn)題復(fù)雜化，需要人們?nèi)パ芯咳绾卫脭?shù)學(xué)工具，將一個(gè)實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)模型，然后再求出最佳的量和時(shí)期的數(shù)值。

隨著中西方文化交流的日益加深和中國(guó)的對(duì)外開放程度越來(lái)越高，圣誕節(jié)在中國(guó)日漸盛行。為了烘托節(jié)日的氛圍，很多家庭都會(huì)購(gòu)買各式各樣的小禮物和圣誕樹來(lái)進(jìn)行裝飾。因此，在圣誕節(jié)期間銷售圣誕樹這對(duì)很多商家來(lái)說(shuō)是一個(gè)很大的商機(jī)。但是，圣誕樹體積相對(duì)較大，在庫(kù)存問(wèn)題上會(huì)占據(jù)倉(cāng)庫(kù)的很大空間，不利于其他商品的儲(chǔ)存。而且圣誕樹的可銷售時(shí)間很短，僅為圣誕節(jié)的幾天，所以圣誕樹一旦銷售不出去，就很容易造成貨物積壓。對(duì)于商家而言，如果圣誕樹的訂貨量過(guò)大，在節(jié)日期間銷售不出去，無(wú)論是將剩余的圣誕樹儲(chǔ)存起來(lái)還是以低于進(jìn)購(gòu)價(jià)的退回價(jià)退還產(chǎn)家，這都是一個(gè)很棘手的問(wèn)題。但若圣誕樹的訂貨量不足，會(huì)因供貨不足而造成錯(cuò)失利潤(rùn)。因此制定準(zhǔn)確的訂貨策略是銷售圣誕樹的重點(diǎn)。

二、 預(yù)備知識(shí)

（一）報(bào)童問(wèn)題

1、報(bào)童問(wèn)題的產(chǎn)生

一個(gè)報(bào)童從報(bào)刊發(fā)行處訂報(bào)后零售，每賣出一份報(bào)紙可獲利a元，若訂報(bào)后賣不出去，則退回發(fā)行處，每份報(bào)紙將要賠錢b元。如果這個(gè)報(bào)童報(bào)紙訂購(gòu)量比當(dāng)天報(bào)紙需求量多，那么他當(dāng)天的盈利就會(huì)因退回報(bào)紙而支付的費(fèi)用而減少;同樣的，如果報(bào)童報(bào)紙訂購(gòu)量比當(dāng)天報(bào)紙需求量少，那么他就無(wú)法獲得因訂購(gòu)量不足而所應(yīng)該獲得的盈利。那么報(bào)童如何根據(jù)以往的賣報(bào)情況（每天賣出k份的概率P）來(lái)推算出每天收益達(dá)到最大的訂報(bào)量n。這就是經(jīng)典的報(bào)童模型。

對(duì)于報(bào)童，為了使他的收益最大，他需要考慮今天他應(yīng)該準(zhǔn)備多少報(bào)紙為宜，對(duì)于報(bào)社，它也應(yīng)考慮每期報(bào)紙的印數(shù)問(wèn)題。在科學(xué)的管理方法和手段在管理實(shí)踐中運(yùn)用越來(lái)越多的今天，管理者同樣需要考慮，怎樣改進(jìn)粗放的管理模式，才能提高企業(yè)的管理水平，從而提高企業(yè)的效益。在管理實(shí)踐中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，與報(bào)童問(wèn)題類似的問(wèn)題非常多，商業(yè)企業(yè)管理者常遇到的一個(gè)問(wèn)題是商品的訂貨量問(wèn)題。特別是諸如季節(jié)性商品的訂貨量問(wèn)題，訂貨量太少，就會(huì)蒙受因銷售不出去而遭受的損失。訂貨量太少，原本可以賺到的利潤(rùn)沒(méi)有賺到，從某種意義上，這也是一種損失。怎樣確定合理的訂貨量，確實(shí)是一個(gè)頭痛的問(wèn)題。我們應(yīng)該看到，這個(gè)問(wèn)題其實(shí)就是一個(gè)報(bào)童問(wèn)題。我們完全可以使用報(bào)童問(wèn)題的研究方法去解決它。

這樣我們就可以將報(bào)童問(wèn)題的研究方法運(yùn)用到實(shí)踐中，通過(guò)科學(xué)的調(diào)查、計(jì)算，把過(guò)去經(jīng)驗(yàn)的管理方法，上升到科學(xué)的管理方法。

2 、報(bào)童問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

設(shè)某報(bào)童每日的潛在賣報(bào)數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布.如果每賣出一份報(bào)可得報(bào)酬a，賣不掉而退回則每份賠償b。若某日該報(bào)童批進(jìn)n份報(bào)，試求其期望所得。進(jìn)一步，還要求最佳的批進(jìn)份數(shù)n。

解? 若記其真正賣報(bào)數(shù)為ξ，則ξ與關(guān)系如下：

這里的ξ服從截尾泊松分布，即

記所得為η，則η與ξ的關(guān)系如下：

因此，期望所得為

這個(gè)問(wèn)題的最終解決是當(dāng)a， b， λ給定后，求n使M（n）達(dá)到極大，這是一個(gè)典型的最優(yōu)化問(wèn)題，也是報(bào)童問(wèn)題的正確解。

（二）數(shù)學(xué)期望

1、離散型場(chǎng)合

設(shè)ξ為一離散型隨機(jī)變量，它取值對(duì)應(yīng)的概率為如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則把它稱為數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望、期望值或均值，記作。

2、連續(xù)性場(chǎng)合

設(shè)為具有密度函數(shù)p（x）的連續(xù)型隨機(jī)變量，當(dāng)積分絕對(duì)收斂時(shí)，我們稱它為的數(shù)學(xué)期望，記作，即=

三、 案例分析

（一）某商家在圣誕節(jié)期間銷售圣誕樹的零售價(jià)為a元，購(gòu)進(jìn)價(jià)為b元，退回價(jià)為c元。而一個(gè)經(jīng)營(yíng)周期的銷售量r是一個(gè)離散型的隨機(jī)變量，其分布列為，試確定商家的最佳訂貨量。

解 設(shè)商家每次在圣誕節(jié)時(shí)訂購(gòu)n棵圣誕樹，其獲得利潤(rùn)的期望為E（n），若他多訂購(gòu)一棵圣誕樹，則這棵圣誕樹能夠賣出去的概率為，賣不出去的概率為，而商家一個(gè)圣誕節(jié)期間獲利的利潤(rùn)函數(shù)為

所以

E（n）=Ef（r，n）=

設(shè)圣誕樹的訂貨量為n時(shí)，期望收益E（n）最大，則應(yīng)有不等式

E（n）≥E（n+1）且E（n）≥E（n-1）

而E（n+1）=+

E（n-1）=+

所以

E（n）-E（n+1）=（b-c）≥0

E（n）-E（n-1）=

若記qn=P（r≤n）=? 則1-qn=

qn-1=P（r≤n-1）= 而1-qn-1=

所以

E（n）-E（n+1）=（b-c）qn-（a-b）（1-qn）≥0

E（n）-E（n-1）=（a-b）（1-qn-1）-（b-c）qn-1≥0

qn-1≤

即當(dāng)訂貨量滿足上述不等式時(shí)，期望收益的最大值為

（a-c）

（二） MATLAB模擬實(shí)驗(yàn)分析

某商家以每棵80元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)圣誕樹，以100元/棵的價(jià)格銷售，根據(jù)長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)，圣誕樹每天的銷售量以及百分率為：

銷售量 500 600 700

概率P 0.6 0.2 0.2

已知圣誕節(jié)過(guò)后銷售不出去的圣誕樹將以每棵70元的價(jià)格退還給廠家。試確定商家每次圣誕節(jié)訂購(gòu)多少圣誕樹能使平均總收入最大？

1、問(wèn)題分析

由題意可知

要使商家獲利最大，則要求max{賣出去的圣誕樹錢+退回廠家獲得的錢-買進(jìn)圣誕樹的總錢數(shù)}

那么，我們首先應(yīng)該確定商家訂購(gòu)圣誕樹的數(shù)量分布概率，于是我們可以隨機(jī)產(chǎn)生商家賣圣誕樹的10000天的圣誕樹訂購(gòu)量.用這10000天的平均收入大致確定其最大利潤(rùn)時(shí)的訂購(gòu)量。

也就是說(shuō)隨機(jī)生成3×10000的表格，其中每個(gè)空格表示在訂購(gòu)量確定銷售量隨機(jī)的情況下當(dāng)天的利潤(rùn)。

2、 MATLAB編程代碼

lr 利潤(rùn)

lr0 當(dāng)天隨機(jī)利潤(rùn)

lr1 10000天的總利潤(rùn)之和

dgl 訂購(gòu)量

xsl 銷售量

3、代碼結(jié)果展示

由圖2看出，訂購(gòu)量為700時(shí)總利潤(rùn)最大，也就是平均利潤(rùn)最大，即問(wèn)題得到解決。

四、 拓展延伸

報(bào)童問(wèn)題不僅可以運(yùn)用于離散型問(wèn)題，同樣也可以運(yùn)用于連續(xù)性問(wèn)題。下面用一個(gè)案例來(lái)進(jìn)行探究。

（一）隨著全球經(jīng)濟(jì)一體化趨勢(shì)的日益加深，現(xiàn)在很多人都會(huì)在網(wǎng)上購(gòu)買國(guó)際商品，龐大的出口跨境電商市場(chǎng)存在著很大的商機(jī)。很多賣家為了加快物流速度，盡可能地滿足消費(fèi)者的需求，都會(huì)提前將商品運(yùn)往國(guó)外儲(chǔ)存起來(lái)。但同時(shí)也會(huì)帶來(lái)相關(guān)的問(wèn)題，如果儲(chǔ)存過(guò)多就會(huì)出現(xiàn)倉(cāng)庫(kù)積壓;而如果儲(chǔ)存過(guò)少就會(huì)出現(xiàn)缺貨損失。各國(guó)對(duì)跨境電商產(chǎn)品在質(zhì)量方面有著高要求，一般不會(huì)存在質(zhì)量問(wèn)題。但是，并不是所有的買家都會(huì)對(duì)自己在網(wǎng)上買的商品感到滿意，有些買家會(huì)因?yàn)樾吞?hào)或尺碼問(wèn)題而退貨，而且一般買家都享有三十天以內(nèi)無(wú)理由退貨服務(wù)，可以獲得全額退款。因此對(duì)于退貨商品產(chǎn)生的相關(guān)費(fèi)用，如產(chǎn)品再包裝、再入庫(kù)成本等都由賣家來(lái)承擔(dān)。為了實(shí)現(xiàn)成本最小或收益最大，賣家面臨著的最優(yōu)訂貨量問(wèn)題和退貨問(wèn)題都影響著最優(yōu)庫(kù)存的決策。

假設(shè)出口跨境電商一次性訂購(gòu)量為Q，用于跨境電商網(wǎng)上銷售，并且在銷售前全部經(jīng)過(guò)頭程運(yùn)輸存儲(chǔ)到海外倉(cāng)，售價(jià)為P，商品售出后，允許顧客無(wú)缺陷退貨，退貨后顧客可得到全部退款，退貨產(chǎn)生的退貨處理成本為（包括逆向運(yùn)輸、檢驗(yàn)、更新、重新包裝等消耗）。同時(shí)假設(shè)跨境電商產(chǎn)品在一個(gè)時(shí)期內(nèi)的需求量是一個(gè)連續(xù)性隨機(jī)變量，f（x）為其概率密度函數(shù)，F(xiàn)（x）為其分布函數(shù)，則有

符號(hào) 含義 符號(hào) 含義

x 產(chǎn)品需求量 S 單位缺貨成本

f（x） 需求量概率密度函數(shù) H 單位產(chǎn)品的持有成本

F（x） 需求量分布函數(shù) r 退貨率

Q 商品訂貨批量 Cr 單位退貨處理費(fèi)用

C 商品的取得成本 C0=C-V+H 供過(guò)于求過(guò)剩產(chǎn)品的單位總成本

P 商品網(wǎng)上售價(jià) Cu=P-C+S 供不應(yīng)求缺貨產(chǎn)品的單位總成本

V 產(chǎn)品的單位殘值 C1=C-V+H+Cr 退貨產(chǎn)品的單位總成本

（1）當(dāng)Q≥x時(shí)，供過(guò)于求產(chǎn)生存儲(chǔ)成本，同時(shí)由于存在退貨，因此額外增加了退貨處理費(fèi)用，總費(fèi)用期望值為

（2）當(dāng)Q≤x時(shí)，供不應(yīng)求產(chǎn)生缺貨成本，同時(shí)由于存在退貨，因此額外增加了退貨處理費(fèi)用，總費(fèi)用期望值為

則總費(fèi)用的期望值為

因?yàn)閤是連續(xù)變量，可以用求導(dǎo)數(shù)的方法求極值

根據(jù)萊布尼茨法則：

用于求E（C（Q））對(duì)Q的求導(dǎo)，得：

因此最優(yōu)訂貨量Q滿足下列條件：

F（Q）==P（x≤Q）=

=

=

F（Q）=P（x≤Q）

（二）算例分析

假設(shè)某出口電商通過(guò)跨境電商平臺(tái)銷售中國(guó)制造的女鞋，并提前將這批女鞋運(yùn)到海外儲(chǔ)存。該女鞋的進(jìn)價(jià)是300元/雙，網(wǎng)上售價(jià)是 550元/雙，消費(fèi)者通過(guò)跨境電商平臺(tái)購(gòu)買的商品可以進(jìn)行無(wú)缺陷退貨，退貨后能夠得到全部退款，退貨過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生退貨費(fèi)用，冬季未售完的（包括退貨）均在季末進(jìn)行清貨處理，清貨處理的貨物不允許退貨。求女鞋的最佳訂貨量。根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)和市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)，該女鞋的需求量服從參數(shù)為[100，200]的均勻分布。

為了更加清晰地反映退貨對(duì)訂貨決策的影響，下面通過(guò)設(shè)置不同的退貨率和退貨費(fèi)用參數(shù)取值來(lái)分析最優(yōu)訂貨量的影響。假設(shè)國(guó)外倉(cāng)庫(kù)在售賣期的單位持有成本為50元/雙 ，單位缺貨成本數(shù)40元/雙，單位處理價(jià)是160元/雙。

根據(jù)信息可知：C=300，P=550，V=160，H=50，S=40，C0=C-V+H=190，Cu=P-C+S=290，令單位退貨處理費(fèi)用為25元，C1=C-V+H+Cr=215，退貨率分別為5%，10%，20%，則最優(yōu)訂貨批量Q滿足：

當(dāng) r=5%時(shí) ，則 F（Q）=0.5818;

r=10%時(shí) ，則4 F（Q）=0.5594;

r=20%時(shí)，則F（Q）=0.5167;

又因?yàn)榕匿N量服從[100，200]上均勻分布，因此：

則最優(yōu)的訂購(gòu)量Q分別為158，156，152，很顯然，最優(yōu)訂貨量隨著退貨率的增加而不斷減少。同理，令退貨率為 10%，單位退貨處理費(fèi)用分別為25，55，95，則最優(yōu)訂貨批量Q分別為 156，155，154，即最優(yōu)訂貨量隨著單位退貨費(fèi)用的增加而減少。

五、 總結(jié)與展望

（一）報(bào)童模型是一個(gè)經(jīng)典的模型，在上述兩個(gè)例子中，我們可以看出，無(wú)論是在離散型的圣誕樹問(wèn)題還是可看作連續(xù)型的跨境電商問(wèn)題上，對(duì)于為了使成本最低或收益最大，報(bào)童模型都起到了一個(gè)很好的作用，運(yùn)用報(bào)童模型，可以算出最優(yōu)訂貨量，從而獲得最大利潤(rùn)。

（二）報(bào)童問(wèn)題是商品采購(gòu)問(wèn)題的一個(gè)例子，對(duì)該問(wèn)題的研究和求解可以指導(dǎo)我們?cè)趯?shí)際中優(yōu)化采購(gòu)計(jì)劃，從而提高商品的銷售利潤(rùn)，但在實(shí)際中制定商品的采購(gòu)計(jì)劃時(shí)，我們的目標(biāo)與約束一般會(huì)比報(bào)童問(wèn)題復(fù)雜（例如考慮庫(kù)存成本），因此需要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模和求解，不能盲目照搬已有的模型，制定采購(gòu)計(jì)劃之前可以采用需求預(yù)測(cè)（銷量預(yù)測(cè)），但同時(shí)也要考慮銷量的隨機(jī)性。

（三）報(bào)童模型的應(yīng)用前景：

（1）回收?qǐng)?bào)童模型

進(jìn)入2l世紀(jì)以來(lái)，隨著資源危機(jī)、環(huán)境污染的加劇，可持續(xù)發(fā)展成為世界各國(guó)的主導(dǎo)趨勢(shì)，隨著全球化的進(jìn)一步發(fā)展和企業(yè)間競(jìng)爭(zhēng)的加劇。產(chǎn)品的生命周期更加縮短，退貨的條款變得越來(lái)越寬松。同時(shí)，環(huán)保、法律要求越來(lái)越高，致使逆向供應(yīng)鏈變得越來(lái)越重要.甚至影響到整個(gè)供應(yīng)鏈系統(tǒng)。因此對(duì)閉環(huán)供應(yīng)鏈的研究將具有重大的價(jià)值，它不僅可能帶來(lái)環(huán)保和節(jié)約的好處，還有可能給企業(yè)帶來(lái)更多的經(jīng)濟(jì)利益?？紤]回收的報(bào)童模型，將會(huì)成為研究該類問(wèn)題重要手段。

（2）電子市場(chǎng)環(huán)境下的報(bào)童模型研究

在電子商務(wù)時(shí)代，市場(chǎng)需求變化的速度不斷加快，采購(gòu)管理的復(fù)雜性和多變性都大大增加。利用Internet進(jìn)行采購(gòu)管理是大型企業(yè)電子商務(wù)戰(zhàn)略中最重要的部分，近年來(lái)發(fā)展非常迅速。電子采購(gòu)（E—Procurement）成為美國(guó)供應(yīng)管理協(xié)會(huì)（ISM）優(yōu)先支持的研究領(lǐng)域之一。

但目前關(guān)于電子采購(gòu)等電子商務(wù)環(huán)境下的研究仍比較少，Internet對(duì)供應(yīng)鏈采購(gòu)管理的影響也還有許多有待研究的問(wèn)題。例如Internet怎樣應(yīng)用于采購(gòu)過(guò)程、對(duì)采購(gòu)戰(zhàn)略有何影響等。因此，采用報(bào)童模型，對(duì)電子商務(wù)下交易進(jìn)行定量研究將會(huì)有很大的研究空間。

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作者簡(jiǎn)介：

陳樂(lè)凝（2000—） 女、漢族、河南駐馬店、 華中師范大學(xué)就讀、本科、研究方向：統(tǒng)計(jì)學(xué)。

作者單位：華中師范大學(xué)