高考“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”難點(diǎn)教學(xué)研究

謝效安

摘 要：新課改之后，“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”被列為單獨(dú)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，由此可見在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中其占有的重要地位。本文結(jié)合“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的重要性，針對學(xué)生對坐標(biāo)系、參數(shù)方程概念、公式理解不到位，解題思路存在偏差等問題，提出具體教學(xué)方法，希望學(xué)生真正掌握這一考點(diǎn)，在高考中完整解答出來。

關(guān)鍵詞：坐標(biāo)系;參數(shù)方程;難點(diǎn)教學(xué)

引言：“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”與“不等式計(jì)算”是我國高考數(shù)學(xué)科目全國卷最后一道選做性大題，相比純數(shù)字問題，考生對圖形結(jié)合數(shù)字的知識更感興趣，基于對三角函數(shù)等初步知識的熟悉程度，大多數(shù)考生都會選做“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”，由于在高三期間才接觸此項(xiàng)知識點(diǎn)，所學(xué)時(shí)間有限，考生整體得分率偏低。

1.“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的重要性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)由簡入深的過程，涉及圖形與代數(shù)相結(jié)合的問題，需要學(xué)生逐步形成由具象到抽象的思維方式?！白鴺?biāo)系與參數(shù)方程”在數(shù)學(xué)教學(xué)體系中占有非常重要的作用：

第一，內(nèi)容設(shè)置在高三年級的選修章節(jié)，從教學(xué)大綱的要求標(biāo)準(zhǔn)來看，進(jìn)入此期間的學(xué)生應(yīng)該具備初步的抽象思維能力，且對直角坐標(biāo)系、函數(shù)等知識點(diǎn)擁有足夠的練習(xí)，可以適時(shí)學(xué)習(xí)參數(shù)方程，初步掌握不同方程的變換應(yīng)用，為將來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)。

第二，在當(dāng)前應(yīng)試教育環(huán)境下，再強(qiáng)的能力也需要從最終的高考試卷中體現(xiàn)，“分?jǐn)?shù)”依然是硬指標(biāo)，相比“不等式計(jì)算”，“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”的試題更容易解答，題目分為兩部分，大多數(shù)考生能夠快速算出第一部分的基礎(chǔ)求解，第二部分如果不能全部解答，將解題思路中應(yīng)用的基礎(chǔ)公式寫出，也能夠獲取一定的分?jǐn)?shù)，因此學(xué)好“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”能夠提高高考成績，在“千軍萬馬過獨(dú)木橋”的競爭環(huán)境下，每一分都顯得至關(guān)重要。

2.針對“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”難點(diǎn)的教學(xué)方法

2.1針對概念、公式理解不到位的方法

學(xué)生對直角坐標(biāo)系的理解通常沒有問題，難點(diǎn)在于參數(shù)方程中連接y值、x值的參數(shù)t，比如參數(shù)方程概念：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)x=f（t），y=g（t）①，并且對于t的每一個(gè)允許值，由方程組①所確定的點(diǎn)M（x，y）都在這條曲線上，那么方程①就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。由于是選修課程，教師在教授環(huán)節(jié)往往將概念直接帶過，直接進(jìn)行后續(xù)解題思路講解，但是學(xué)生看到方程組的第一眼就會產(chǎn)生思維上的恐懼感，對概念的組成要素處于“懵”的狀態(tài)，無論后面老師說什么都無法有效記憶。因此教師在教學(xué)中，應(yīng)該針對概念中的元素逐一解釋：第一，參數(shù)方程中的方程組①，其中的x，y均是由t的不同取值而得出的因變量，不再是以前所學(xué)方程中的自變量。第二，方程組①的變量是t，x與y各自隨t的變化而變化，如果學(xué)生還是不能理解，可以將f（t）、g（t）用具體方程表示，如x=at2+bt，y=bt+c，如此學(xué)生能夠立刻結(jié)合以前所學(xué)，明確x，y在次方程組中的含義，結(jié)合概念中后半部分介紹的點(diǎn)M（x，y），能夠使學(xué)生充分將直角坐標(biāo)系與方程組①結(jié)合起來，當(dāng)學(xué)生理解之后，開展后續(xù)教學(xué)工作會非常輕松[1]。

2.2針對解題思路存在偏差的方法

學(xué)生的思維方式是將難度較大的、未知的問題帶入已知，利用已知解決未知。如同大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)英語的方式，先將英語句式翻譯成漢語，利用漢語思維解答之后再翻譯成英語。在解答“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”時(shí)，學(xué)生往往看到“極坐標(biāo)系的參數(shù)方程”字樣時(shí)，無論后續(xù)問題是什么，立刻轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，將參數(shù)去掉，轉(zhuǎn)為普通方程，這樣的解題思路應(yīng)對一些基礎(chǔ)習(xí)題和難度偏低的題目很有效果，但長此以往不利于學(xué)生養(yǎng)成正確的特定坐標(biāo)系下參數(shù)方程解題思路，近年來高考命題者充分考慮極坐標(biāo)系的極角、極徑以及參數(shù)的幾何含義，一旦學(xué)生使用偏差的解題思路，會使解題過程復(fù)雜化。如例題：在極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為ρ2-4ρsinθ=6，以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系xOy，直線l的參數(shù)方程為x=2+t，y=3+t（t為參數(shù)），且直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和l的普通方程。解題過程很簡單：由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，得出曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4y-6=0，將直線l的參數(shù)方程中參數(shù)t消掉，得出直線l的普通方程為x-y+1=0。此題重點(diǎn)考察極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)、普通方程之間的轉(zhuǎn)化，教師需要特別注意對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，高考題目會在基礎(chǔ)題目上加以延伸，如果學(xué)生在延伸題目中無法找到解題思路，需要將題目重新審查，直接從極坐標(biāo)系參數(shù)方程的角度入手，將極坐標(biāo)系的基礎(chǔ)公式寫出來，獲取更高的分?jǐn)?shù)。

2.3針對方程綜合應(yīng)用能力較差的方法

學(xué)生針對方程綜合應(yīng)用能力較差，背后的原因是對方程之間的轉(zhuǎn)換理解不夠深，學(xué)生對直角坐標(biāo)系理解普遍沒有問題，因此對將極坐標(biāo)系參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系參數(shù)方程和普通方程的題目能夠輕松解答，反之則缺乏有效思路，因此教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該加深學(xué)生對方程轉(zhuǎn)化之間的概念理解，使學(xué)生靈活運(yùn)用。如例題：將直角坐標(biāo)方程y=-0.28x2-21x-3400，轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，教師應(yīng)該將教學(xué)重點(diǎn)放在x，y從直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)系的變換，先將方程拆解，再帶入回去。解題思路為x=ρcosθ，y=ρsinθ，再替換，得ρsinθ=-0.28ρ2cos2θ-21ρcosθ-3400，整理之后最終答案為：0.28ρ2cos2θ+21ρcosθ+ρsinθ+3400=0，如果學(xué)生陷入思維的“死胡同”，教師應(yīng)該加強(qiáng)學(xué)生對于公式的記憶，采取適當(dāng)?shù)摹八烙浻脖场毙问?，在腦海中形成條件反射，看到極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)化，立刻想到x=ρcosθ，y=ρsinθ，在高考試卷上先寫下相關(guān)公式，順著解題流程一步一步寫下去，根據(jù)時(shí)間決定是否進(jìn)行后續(xù)計(jì)算[2]。

結(jié)語：雖然“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”是選修課程，在高考試卷中也可以選做，但長期來看，將坐標(biāo)系和參數(shù)方程的概念完全吸收，知其所以然，能夠?yàn)榭忌と氪髮W(xué)校園學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的高級微積分等知識打下良好基礎(chǔ)，年輕人朝氣蓬勃，應(yīng)該勇于挑戰(zhàn)，征服一座又一座高峰。

參考文獻(xiàn)

[1]安娜.探究坐標(biāo)系與參數(shù)方程的解題策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2019（20）：38-41.

[2]范淑娟.高考中的坐標(biāo)系與參數(shù)方程問題[J].課程教育研究，2019（41）：114-115.