數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)高考教學(xué)中的應(yīng)用研究

劉晉江

摘 要：數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用十分廣泛，如在三角函數(shù)、解析幾何、線性規(guī)劃等方面都有應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合的思想將抽象的數(shù)字問題化為具象的圖像進(jìn)行解決，剖析數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而提升學(xué)生對(duì)題目的理解能力和解題速度。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;高考教學(xué);解題應(yīng)用

高中生面對(duì)高考升學(xué)精神壓力極大，如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中通過較好的教學(xué)方式幫助學(xué)生少走彎路是高中數(shù)學(xué)老師的工作重心之一，數(shù)形結(jié)合思想即為有效解題思想之一，其在幾何解析、求參數(shù)取值范圍等方面都有顯著優(yōu)勢(shì)。

一、數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何作為結(jié)合了數(shù)字和圖形的數(shù)學(xué)學(xué)科分支，與代數(shù)學(xué)有很大的不同，但同時(shí)也將代數(shù)和幾何聯(lián)系在一起。因此，由解析幾何延展出的問題成為數(shù)形結(jié)合思想的重點(diǎn)應(yīng)用對(duì)象[1]。

例1（2018全國(guó)卷I，理科）已知雙曲線C：-y2=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M、N.若△OMN為直角三角形，則|MN|=（）

A. B.3 C.2 D.4

分析：首先由雙曲線方程可知，OF==2，且漸近線方程為y=+x，∴∠NOF=∠MOF=30°又∵△OMN為直角三角形，∴△OMF也為直角三角形

由此可知，在Rt△OMF中，OM=OF·cos∠MOF=2·cos30°=;在Rt△OMN中，MN=OM·tan∠NOM=·tan（30°+30°）=3，故選B.

點(diǎn)評(píng)：將雙曲線中得出的數(shù)值和漸近線方程與幾何定理（勾股定理）相結(jié)合，從而得出作為三角形一邊的MN的數(shù)值，巧妙的運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想解決問題。

二、數(shù)形結(jié)合思想在求參數(shù)取值范圍中的應(yīng)用

參數(shù)的取值類問題在高考試題中非常常見，因其解題方法的多樣化和計(jì)算過程的復(fù)雜程度，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用打破了其繁瑣的運(yùn)算模式，使學(xué)生在高考解題中有效提升了解題速度和準(zhǔn)確度。

例2（2018全國(guó)卷I，理科）已知函數(shù)若g（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，則a的范圍是（）

A. [-1，0）B.[0，+∞）C.[-1，+∞）D.[1，+∞）

分析：首先，由題目得知g（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，可以得出f（x）+x+a=0這個(gè)方程有兩個(gè)解，進(jìn)而得出f（x）=-x-a有兩個(gè)解，即直線y=-x-a與曲線y=f（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，可以得到函數(shù)f（x）的圖像如圖2，再通過移動(dòng)直線y=-x，得出當(dāng)-a≤1時(shí)，滿足y=-x-a與曲線y=f（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，從而求出a≥-1，故選C.

點(diǎn)評(píng)：通常解決參數(shù)取值范圍問題時(shí)，一般運(yùn)用的是分離參數(shù)，再求解的方法，而在這道題中，將問題中的函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形展開分析，使原本繁瑣的計(jì)算過程在圖像的表現(xiàn)形式下變得簡(jiǎn)潔明了。

三、數(shù)形結(jié)合思想在求線性規(guī)劃中的最值問題

線性規(guī)劃作為高考中的重點(diǎn)考察對(duì)象之一，其中通過給出約束條件求得最值的出題模式最為常見，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，畫出相應(yīng)的線性函數(shù)圖像，可將問題簡(jiǎn)單化、直觀化地表現(xiàn)出來。

例3（2018全國(guó)卷I，理科）若x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值為.

分析：根據(jù)所給的約束條件，可以得出相應(yīng)圖像中的可行區(qū)域如圖3，再將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為斜截式y(tǒng)=-x+z，接著再畫出直線y=-x.通過直線移動(dòng)的過程，可以得出直線y=-x+z過B點(diǎn)時(shí)取得最大值，然后聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），此時(shí)zmax=3×2+0=6，因此答案為6.

點(diǎn)評(píng)：這道題主要考察了線性規(guī)劃的相關(guān)知識(shí)，通過圖像解析，聯(lián)立方程組，從而得出最優(yōu)解。

結(jié)束語(yǔ)：高中數(shù)學(xué)教師需在教學(xué)中，利用歷年高考真題為學(xué)生講解高考試題類型及方向，同時(shí)需要教會(huì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，以提高學(xué)生解題速度和準(zhǔn)確度，培養(yǎng)學(xué)生自信心，積極面對(duì)高考。

參考文獻(xiàn)

[1]朱琳.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].中國(guó)校外教育（中旬刊），2019，（9）：48-49.