淺談超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系的教學(xué)

王家強(qiáng)

眾所周知，辨別超幾何分布與二項(xiàng)分布對很多初學(xué)者來講是個(gè)難點(diǎn)，是概率這部分教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。而入門是關(guān)鍵，我們老師如何突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)呢？我個(gè)人認(rèn)為，選擇一個(gè)典例進(jìn)行教學(xué)非常重要，因而能否選擇到一個(gè)典例關(guān)系到教學(xué)成功失敗。下面談?wù)勛约宏P(guān)于這個(gè)問題的教學(xué)上一些做法，如何選例，如何引導(dǎo)學(xué)生思考與探究，努力鍛造高效課堂。

一、 課本從來就是一個(gè)寶藏——從一道課本問題探究說起

人教版《選修2-3》的第二章的第2.2節(jié)習(xí)題的B組題中第3題：

某批n件產(chǎn)品的次品率為 ，現(xiàn)從中任意地依次抽出3件進(jìn)行檢驗(yàn)，問：

（1） 當(dāng) 時(shí)，分別以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？

（2） 根據(jù)（1），你對超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系有何認(rèn)識？

過去對這道題目總是避開不敢講，因?yàn)閿?shù)據(jù)比較大，運(yùn)算量大，感覺很“沒有意思、浪費(fèi)時(shí)間”，但不做不知道，我做完了這題之后發(fā)現(xiàn)這是“教材提供的最經(jīng)典的習(xí)題”，利用它進(jìn)行教學(xué)可以幫助學(xué)生更進(jìn)一步理解超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系，因此，決定采用這個(gè)題目作為典例，在多媒體的支持下進(jìn)行深入性教學(xué)。

解析：（1）在又放回的方式抽取中，每次都是從這n件產(chǎn)品中抽取，從而每次抽到的次品數(shù) 服從二項(xiàng)分布，即 ～ ，恰好抽到1件次品數(shù)的概率為

這一步讓學(xué)生獨(dú)立完成。第二問，小組合作，借助計(jì)算器進(jìn)行運(yùn)算解題。

在無放回的方式抽取中，抽到的次品數(shù) 是隨機(jī)變量， 服從超幾何分布， 的分布與產(chǎn)品的總數(shù)n有關(guān)，所以需要分三種情況分別計(jì)算：

第一小組：① 時(shí)，產(chǎn)品的總數(shù)為500件，其中次品數(shù)的件數(shù)為 ，合格品的件數(shù)為490.從500件產(chǎn)品中抽取3件，其中恰好1件次品的概率為

第二小組：② 時(shí)，產(chǎn)品的總數(shù)為 件，其中次品數(shù)的件數(shù)為 ，合格品的件數(shù)為 .從 件產(chǎn)品中抽取3件，其中恰好1件次品的概率為 .

第三小組③ 時(shí)，產(chǎn)品的總數(shù)為 件，其中次品數(shù)的件數(shù)為 ，合格品的件數(shù)為 .從 件產(chǎn)品中抽取 件，其中恰好1件次品的概率為 。

二、合作交流，形成結(jié)論

師：請同學(xué)們思考，通過以上三種情況計(jì)算，你們發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？

生：在上述的運(yùn)算過程中，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)越來越大時(shí)，超幾何分布的概率 的值越來越接近二項(xiàng)分布的概率

師：對！根據(jù)（1）的結(jié)果可以看出，用有放回的方式抽取，抽到的次品數(shù) 服從二項(xiàng)分布;用無放回的方式抽取抽到的次品數(shù) 服從超幾何分布。在這里，兩種分布的差別是“有放回”與“無放回”的差別，只要將概率模型中的“有放回”改為“無放回”，或“無放回”改為“有放回”，就可以實(shí)現(xiàn)兩種分布的轉(zhuǎn)化。所以“有放回”與“無放回”是兩種分布轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵。

在人教版2-3中，超幾何分布模型是這樣建立的：若有N件產(chǎn)品，其中M件是次品，無放回地任意抽取n件，則其中恰好抽到的次品數(shù)是 是服從超幾何分布;若將超幾何分布概率模型中的“無放回地任意抽取n件”改為“有放回地任意抽取n件”，則它變?yōu)椤岸?xiàng)分布”。

在上述的運(yùn)算過程中，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)越來越大時(shí)，超幾何分布的概率 的值越來越接近二項(xiàng)分布的概率 。當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)很大時(shí)，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布。這也可以這樣理解：

當(dāng)產(chǎn)品數(shù)很大而抽取的產(chǎn)品較少時(shí)，每次抽出幾件產(chǎn)品對數(shù)量巨大的樣本影響甚微幾乎認(rèn)為不變，故次品率近似不變，因而每次抽取可以近似看出抽樣的結(jié)果是相互獨(dú)立的，抽出的產(chǎn)品數(shù)近似服從二項(xiàng)分布。

三、應(yīng)用結(jié)論，解決問題

例1、（2010年廣東理科高考數(shù)學(xué)卷）某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨即抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本算出他們的重量（單位：克）重量的分組區(qū)間為（490，495），（495，500），。。。（510，515），由此得到樣本的頻率分布直方圖，

如圖4所示。

（1） 根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過505克的產(chǎn)品總量。

（2） 在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列。

（3） 從流水線上任取5件產(chǎn)品，求恰有2件產(chǎn)品合格的重量超過505克的概率。

分析：對于第三個(gè)問題我們很多同學(xué)存在著困惑：

從該流水線上任取5件產(chǎn)品，抽到的產(chǎn)品重量超過505克的產(chǎn)品數(shù) 究竟是服從超級分布還是二項(xiàng)分布？

現(xiàn)在結(jié)合前面的結(jié)論我來分析：從該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量，重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12，利用樣本估計(jì)總體：該流水線上產(chǎn)品的重量超過505克的概率為0.3，每次抽取得結(jié)果是相互獨(dú)立的，所以從該流水線上任取5件產(chǎn)品，抽到的產(chǎn)品重量超過505克的產(chǎn)品數(shù) 是服從二項(xiàng)分布。

歸納：一般來說，有放回抽樣與無放回抽樣計(jì)算的概率是不同的，特別是抽取對象數(shù)目不大時(shí)更是如此;但在被抽取得對象數(shù)目非常大時(shí)，有放回與無放回抽樣所計(jì)算的概率相差不大，人們在實(shí)際工作中常利用這點(diǎn)，把抽取對象數(shù)量很大時(shí)的無放回抽樣（比如破壞性的炮彈試驗(yàn)發(fā)射，產(chǎn)品壽命試驗(yàn)等）當(dāng)做有放回來處理。

四、結(jié)論拓展，升華思維

有趣的是：有N件產(chǎn)品，其中M件是次品，有放回地任意抽取n件，則其中恰好抽到的次品數(shù)是 是服從二項(xiàng)分布，即 ～ ，其中 ，易得有N件產(chǎn)品，其中M件是次品，無放回地任意抽取n件，則其中恰好抽到的次品數(shù)是 是服從超幾何分布，且 ，即這兩種分布的數(shù)學(xué)期望是相等的。那么，它們的方差也相等嗎？

因?yàn)槎?xiàng)分布的方差 ，超幾何分布的方差 ，故一般情況下，它們的方差不相等。但是，可以發(fā)現(xiàn)在產(chǎn)品數(shù)很大（ ）時(shí)， 。

這說明：在產(chǎn)品數(shù)很大的情況下，超幾何分布的方差近似等于二項(xiàng)分布的方差。

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