合理設(shè)計(jì)問題鏈，開展數(shù)學(xué)命題教學(xué)

曹文慧

高中數(shù)學(xué)命題主要包括公式、定理、運(yùn)算法則等，大多較為抽象，學(xué)生理解起來較為困難.在教學(xué)數(shù)學(xué)命題時(shí)，教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，合理設(shè)計(jì)一些問題鏈，讓學(xué)生在問題的引導(dǎo)下探索數(shù)學(xué)命題的本質(zhì)，領(lǐng)悟其精髓，掌握其應(yīng)用技巧.合理利用問題鏈，讓學(xué)生參與到發(fā)現(xiàn)問題、解決問題及構(gòu)建命題的過程中，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.本文以《平面向量的數(shù)量積》的教學(xué)為例，談一談如何運(yùn)用問題鏈進(jìn)行數(shù)學(xué)命題教學(xué).

首先，問題的指向要明確.問題涉及的面不能太廣或者表達(dá)的意思不能模棱兩可，讓學(xué)生不知道在問什么，不明白需要回答什么.例如，在教學(xué)《平面向量的數(shù)量積》時(shí)，教師如果提出問題1：我們已經(jīng)研究了向量的哪些內(nèi)容？學(xué)生就會(huì)不理解教師提問的目的何在，如何作答.教師如果將問題1改為：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)研究了哪些有關(guān)向量的運(yùn)算？學(xué)生便會(huì)快速地想到問題的答案：向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算.然后教師可以引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中探索新的知識(shí)，在問題1的基礎(chǔ)上給出問題2：如何計(jì)算兩個(gè)向量的積呢？學(xué)生由該問題立即聯(lián)想到所學(xué)的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)沒有可用的公式.于是，教師可以引出新課的內(nèi)容：平面向量的數(shù)量積.

其次，問題鏈中的各問題必須有一定的關(guān)聯(lián).在教學(xué)數(shù)學(xué)命題時(shí)，教師要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，圍繞某一知識(shí)、方法或者教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)不同層次、梯度的問題，或者將命題產(chǎn)生的背景、形成過程以及應(yīng)用串聯(lián)起來，加深學(xué)生對(duì)命題的理解，并讓學(xué)生在回答問題的過程中了解各問題之間的聯(lián)系，建立知識(shí)體系.

例如，在教學(xué)《平面向量的數(shù)量積》時(shí)，教師可以給問題3：我們知道，如果一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，如圖1，那么F做的功為W=|F||s|cosθ，其中θ是F、s的夾角.我們能否把“功”看成是這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算結(jié)果呢？于是學(xué)生嘗試將F、s看作向量a、b，且它們之間的夾角為θ，于是得到了平面向量的數(shù)量積ab=|a||b|cosθ.接著教師可以給出問題4：設(shè)兩向量e1、e2滿足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夾角為60°，求e1e2.學(xué)生利用該公式很快計(jì)算出結(jié)果為1.

結(jié)合學(xué)生已學(xué)的物理知識(shí)設(shè)計(jì)問題鏈，可以啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)平面向量的數(shù)量積與實(shí)際應(yīng)用問題之間的聯(lián)系，加深對(duì)平面向量的數(shù)量積的理解.

最后，問題鏈中的問題要具有啟發(fā)性.在學(xué)生構(gòu)建知識(shí)的過程中，教師要設(shè)置一些具有啟發(fā)性的問題鏈，來讓學(xué)生的認(rèn)知產(chǎn)生碰撞，讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.這樣，學(xué)生在思考問題的過程中就可以逐步掃除學(xué)習(xí)障礙，突破難點(diǎn).

在《平面向量的數(shù)量積》的教學(xué)中，教師給出問題5：指出圖2中的兩個(gè)向量的夾角.學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)他們的夾角分別為：銳角、鈍角、0o、180o、直角.

問題6：求向量夾角時(shí)，他們起點(diǎn)位置具有什么要求？（共起點(diǎn)）

問題7：向量夾角具有哪幾種特殊情況？對(duì)應(yīng)的向量存在怎樣的位置關(guān)系？（0、[π]、[π2]，向量平行、垂直）

問題8：向量數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果與向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果有什么不同？（向量數(shù)量積的結(jié)果是實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘結(jié)果還是向量）

問題9：向量數(shù)量積的符號(hào)在什么情況下為正？什么情況下為負(fù)？（夾角在[0，π2]時(shí)，為正，夾角在[π2，π]時(shí)，為負(fù)）

問題5～9這一連串問題，從不同的角度、層次探討了數(shù)量積公式中各個(gè)量的作用、代表的含義、可能出現(xiàn)的情況，有利于引導(dǎo)學(xué)生深入理解向量的數(shù)量積.利用具有啟發(fā)性的問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從數(shù)、形上對(duì)向量數(shù)量積的內(nèi)涵、外延進(jìn)行研究，學(xué)生便可自主得出結(jié)論：當(dāng)[a，b]方向相同時(shí)，[a?b=ab];當(dāng)[a，b]方向相反時(shí)，[a?b=-ab];特別地，[a?a=a2=a2].

在利用問題鏈進(jìn)行數(shù)學(xué)命題教學(xué)時(shí)，教師要合理設(shè)置指向明確、有一定關(guān)聯(lián)、具有啟發(fā)性的問題，這樣才能有效地提升命題教學(xué)的效率.

（作者單位：江蘇省海門市證大中學(xué)）