例談一道二元最值問題的多種解法

李海艷

二元最值問題主要考查同學(xué)們的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化能力，涉及較多的數(shù)學(xué)思想方法.此類問題有一定的技巧性，一直是高考、各地模擬考試、競(jìng)賽以及自主招生考試的熱點(diǎn)問題. 本文以一道二元最值問題為例，從基本不等式法、方程思想、三角換元、幾何法等四個(gè)方面探討了解答此類問題的方法.

例題：（2011年浙江省高考理）設(shè)[x，y]為實(shí)數(shù)，若[4x2+y2+xy=1]，求[2x+y]的最大值.

解法一：基本不等式法.

因?yàn)閇1=4x2+y2+xy=2x+y2-3xy=2x+y2-322xy]，又[2xy≤（2x+y2）2]，所以[1≥2x+y2-32（2x+y2）2=582x+y2]，因此[2x+y≤2105].

基本不等式法是解答二元變量最值問題的首選方法.在運(yùn)用基本不等式法解題時(shí)，我們要注意基本不等式的應(yīng)用條件“一正二定三相等”，一定要確保在等號(hào)成立的情況下確定最值.基本不等式法的應(yīng)用關(guān)鍵是將已知的式子湊配或者分拆成基本不等式中的和或者積的形式.

解法二：方程思想.

令[2x+y=t]，所以[y=t-2x]，代入[4x2+y2+xy=1]可得[6x2-3tx+t2-1=0]，由方程有解，可得[Δ≥0]，即[Δ=9t2-24（t2-1）=8-5t2≥0]，

解得[-2105≤t≤2105]，

當(dāng)[t=2105]時(shí)，

[x=310+5220，y=10-5210，]或[x=310-5220，y=10+5210，]

所以[2x+y]的最大值為[2105].

不等式、方程、函數(shù)之間的關(guān)系較為密切.二元變量最值問題可以轉(zhuǎn)化為方程有解的必要條件，尤其可以轉(zhuǎn)化為二次方程的問題.我們可以利用“根的判別式”這個(gè)有力武器來(lái)求得最值，但一定要驗(yàn)證取等號(hào)成立的條件.

解法三：三角換元法.

因?yàn)閇4x2+y2+xy=1]，配方可得[（y+12x）2+154x2=1].

令[y+12x=cosθ]，[152x=sinθ]，

解得[x=21515sinθ]，[y=cosθ-1515sinθ].

因此，[2x+y=cosθ+155sinθ=2105sin（θ+φ）≤2105]，其中[tanφ=153].

所以[2x+y]的最大值為[2105].

當(dāng)所求問題中含有形如[m+n=k]，[m2+n2]，[m2+n2=r]，[1+m2]，[1-m2]等式子，或者通過(guò)恒等變形可化為這類式子時(shí)，我們可考慮引入三角函數(shù)，通過(guò)三角換元將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題來(lái)求解.

解法四：幾何法.

因?yàn)閇4x2+y2+xy=1]，將其配方可得[（y+12x）2+154x2=1].

令[y+12x=a]，[152x=b]，解得[x=21515b]，[y=a-1515b]，且[a2+b2=1].

令[z=2x+y=a+155b]，則其幾何意義可表示為當(dāng)點(diǎn)[P（a，b）]在圓[a2+b2=1]上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求[z=a+155b]的最大值、由直線與圓的位置關(guān)系，可得[z1+35≤1]，解得[-2105≤z≤2105].

所以[2x+y]的最大值為[2105].

有些代數(shù)問題有明顯的幾何特征，或經(jīng)適當(dāng)?shù)淖冃魏罂捎脦缀螆D形、函數(shù)圖象來(lái)呈現(xiàn)出來(lái)，此時(shí)，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，利用幾何知識(shí)來(lái)求解，可以使問題變得直觀化.

本文以一道二元最值問題為例，從不同的角度進(jìn)行探究.同學(xué)們以后遇到類似問題時(shí)，可以從這四個(gè)考角度來(lái)探討，建立不同的數(shù)學(xué)模型，提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市寶應(yīng)縣安宜高級(jí)中學(xué)）