勻強(qiáng)磁場(chǎng)中兩例運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的深入分析

楊洹浩 熊令

摘要：為了讓學(xué)生真正體會(huì)某些復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，通過(guò)利用在線網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板將兩道例題進(jìn)行深入分析并展示，并由數(shù)學(xué)證明讓學(xué)生簡(jiǎn)單體會(huì)學(xué)科交融的思想。

關(guān)鍵詞：帶電粒子的運(yùn)動(dòng);勻強(qiáng)磁場(chǎng);臨界問(wèn)題;多解問(wèn)題

為了更好的研究運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，尤其是帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題，我們可以用“網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板”（www.netpad.net.cn）或者“幾何畫(huà)板”來(lái)解決，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)加以證明，讓學(xué)生真正體會(huì)這種身臨其境的感覺(jué)。

一、圓形磁場(chǎng)邊界的臨界問(wèn)題

例：半徑為R、2R的兩個(gè)同心圓，圓心為O，大圓和小圓之間區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其余區(qū)域無(wú)磁場(chǎng)。一重力不計(jì)的帶電粒子從大圓邊緣的P點(diǎn)沿與PO連線成某一夾角θ（θ>45°）以速度v射入磁場(chǎng)，若恰好不進(jìn)入小圓，求半徑的取值范圍？

分析：一看到此題的關(guān)鍵條件“若恰好不進(jìn)入小圓”，我們腦海里應(yīng)該會(huì)想到兩個(gè)臨界位置，外切與內(nèi)切以N、M分別為外切與內(nèi)切的切點(diǎn)，O為軌跡圓心，設(shè)圖1中軌跡半徑為r1，圖2中軌跡半徑為r2，顯然：

但是半徑的取值范圍是否為（r1，r2）呢？其實(shí)不然，我們不妨移動(dòng)圓心O’，看另外一種情況（如圖1）

在圖1中，不斷改變軌跡圓心O’的位置并保證軌跡圓與小圓相切，可以無(wú)限增大半徑r，因此軌跡圓與小圓外切時(shí)，r取值范圍為：

那么內(nèi)切時(shí)的范圍是否也類(lèi)似呢？通過(guò)改變軌跡圓心的位置發(fā)現(xiàn)半徑r2為內(nèi)切情形的最小值，我們不妨研究一下當(dāng)θ=45°時(shí)的臨界情況（如圖2）;

在圖2中，設(shè)軌跡半徑為r3，根據(jù)幾何關(guān)系，在△POO’中，由余弦定理不難得到以下方程：

因此，軌跡圓與小圓內(nèi)切時(shí)，半徑的取值范圍為：

綜合（2）（4）可以發(fā)現(xiàn)，最終取值范圍即是（2）.

二、帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

例：某興趣小組用帶電粒子在如圖所示的電場(chǎng)和磁場(chǎng)中模擬蜜蜂的8字形運(yùn)動(dòng)，即在y>0的空間中和y<0的空間內(nèi)同時(shí)存在著如下圖所示大小相等，方向相反的勻強(qiáng)電場(chǎng)，上、下電場(chǎng)以x軸為分界線，y軸左側(cè)和圖中豎直虛線MN右側(cè)均無(wú)電場(chǎng)，但有方向垂直紙面向里、和向外的大小相等的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN與y軸的距離為2d.一重力不計(jì)的負(fù)電荷從y軸上的P（0，d）點(diǎn)以沿x軸正方向的初速度v0開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，又以相同的速度回到P點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（?）

分析：本題一眼看去仿佛一個(gè)多解問(wèn)題，帶電粒子從P點(diǎn)開(kāi)始做一個(gè)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)在x軸上方的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的水平位移為x1，不難得到以下方程：

帶電粒子在左側(cè)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)半徑為d，速度大小為v0，因此可以得到以下方程：

聯(lián)立（5）（6）兩式可得，

三、結(jié)論

本文主要通過(guò)對(duì)學(xué)生存在的誤區(qū)進(jìn)行探討，目的在于讓學(xué)生了解其本質(zhì)，同時(shí)培養(yǎng)其邏輯性，通過(guò)好玩生動(dòng)的工具讓學(xué)生對(duì)物理產(chǎn)生興趣。在教學(xué)中，我們應(yīng)該對(duì)某些問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行二次探討，也許在矛盾中就會(huì)有意想不到的收獲！

參考文獻(xiàn)

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重慶市云陽(yáng)雙江中學(xué)校