劉徽的數(shù)學(xué)成就

賈輝明

劉徽是中國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家之一，

他是三國(guó)時(shí)代魏國(guó)人，籍貫山東，生卒年不詳，約死于西晉初年，劉徽出身于平民，終生未仕，被稱為“布衣”數(shù)學(xué)家。

劉徽在童年時(shí)代就學(xué)習(xí)過(guò)《九章算術(shù)》，成年后又對(duì)該書進(jìn)行了深入的研究，于公元263年左右寫成《九章算術(shù)注》，劉徽在其自序中說(shuō)：“徽幼習(xí)《九章》，長(zhǎng)再詳覽，觀陰陽(yáng)之割裂，總算術(shù)之根源，探賾之暇，遂悟其意，是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注，”劉徽在研究《九章算術(shù)》的過(guò)程中，對(duì)其中的重要結(jié)論一一進(jìn)行了證明，并糾正了書中的一些錯(cuò)誤，總結(jié)出了一些新的結(jié)論，《九章算術(shù)注》是劉徽留給后世十分珍貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論研究的奠基之作?！吨夭睢肥莿⒒盏牧硪徊恐?，專講測(cè)量問(wèn)題，《重差》是《九章算術(shù)注》的第十卷，唐代初，人們將其改成單行本，并改名為《海島算經(jīng)》。

從劉徽的著作來(lái)看，他學(xué)風(fēng)嚴(yán)謹(jǐn)，實(shí)事求是，富于批判精神，敢于創(chuàng)新，對(duì)理論的研究相當(dāng)深入，堪稱數(shù)學(xué)史上的楷模。

一、《九章算術(shù)注》

1.算術(shù)

（1）十進(jìn)分?jǐn)?shù)

（2）齊同術(shù)

《九章算術(shù)》中雖有分?jǐn)?shù)通分的方法，但沒有形成完整的理論體系，劉徽提出了齊同術(shù)，使這一理論趨于完善，他說(shuō)：“凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同，”它的意思是，一個(gè)分?jǐn)?shù)用同一個(gè)（非零）數(shù)一乘一除，其值不變，并且，他還提供了通分后數(shù)值不變的理論依據(jù)，另外，劉徽利用齊同術(shù)解決了盈不足問(wèn)題。

2.代數(shù)

（1）定義正、負(fù)數(shù)

《九章算術(shù)》成書后，正、負(fù)數(shù)雖然被應(yīng)用于更為廣泛的領(lǐng)域，卻還沒有明確的定義，劉徽在《九章算術(shù)注》中首次明確地給出了正負(fù)數(shù)的定義：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之，”這就是說(shuō)，正負(fù)數(shù)表示的是相反的兩個(gè)量，他還進(jìn)一步闡述了正負(fù)的意義：“言負(fù)者未必負(fù)于少，言正者未必正于多，”即負(fù)數(shù)的絕對(duì)值未必少，正數(shù)的絕對(duì)值未必大，另外，他又介紹了籌算中表示正負(fù)數(shù)的兩種方法：一種是用紅籌表正數(shù)，黑籌表負(fù)數(shù);另一種是用算籌中的正、斜擺法來(lái)表示正、負(fù)數(shù)，這兩種方法，對(duì)后世數(shù)學(xué)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

（2）簡(jiǎn)化線性方程組的解法

《九章算術(shù)》中記載了用直除法解線性方程組的方法，但該方法比較麻煩瀏徽在方程章的注釋中，給出了簡(jiǎn)化后的直除法，并創(chuàng)立了互乘相消法，例如方程組。

顯然，這種方法與現(xiàn)代解方程的方法是一致的，不過(guò)那時(shí)用的是籌算，劉徽認(rèn)為，這種方法可以推廣到解多元方程問(wèn)題：“以小推大，雖四、五行不異也，”他還進(jìn)一步指出，在“相消”時(shí)，要注意看兩方程首項(xiàng)系數(shù)的同異，同則相減，異則相加。

（3）總結(jié)出初步的方程理論

劉徽在《九章算術(shù)》方程章的基礎(chǔ)上，提出了更為全面的方程理論，劉徽所謂的“程”是程式或關(guān)系式的意思，相當(dāng)于現(xiàn)在的方程，而“方程”則相當(dāng)于現(xiàn)在的方程組，他說(shuō)：“二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程，”這就是說(shuō)：“有兩個(gè)所求之物，需列兩個(gè)程;有三個(gè)所求之物，需列三個(gè)程，程的個(gè)數(shù)必須與所求物的個(gè)數(shù)一致，諸程并列，恰成一方形，所以叫方程，”這里的“物”，實(shí)質(zhì)上是未知數(shù)，只是當(dāng)時(shí)還沒有未知數(shù)的概念，定義中的“皆如物數(shù)程之”是十分重要的，它與劉徽提出的另一原則“行之左右無(wú)所同存”，共同構(gòu)成了方程組有唯一組解的條件，若譯成現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言，即方程的個(gè)數(shù)必須與未知數(shù)的個(gè)數(shù)一致，任意兩個(gè)方程的系數(shù)不能相同或成比例，劉徽還認(rèn)識(shí)到，當(dāng)方程組中方程的個(gè)數(shù)少于所求物的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組的解不唯一;如果是齊次方程組，則方程組的解可以成比例地?cái)U(kuò)大或縮小，即“舉率以言之”。

對(duì)于方程組的性質(zhì)，劉徽總結(jié)出如下諸條：“令每行為率”，即方程中的各項(xiàng)成比例地?cái)U(kuò)大或縮小，方程組的解不變;“在每一行中，雖復(fù)赤黑異算，無(wú)傷”，即方程的各項(xiàng)同時(shí)變號(hào)，方程組的解不變;“舉率以相減，不害余數(shù)之課也，即兩方程的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減，方程組的解不變彳艮明顯，劉徽已經(jīng)基本掌握了線性方程組的初等變換方法，不過(guò)，他沒有想到交換兩個(gè)方程位置的情況，因?yàn)椴贿M(jìn)行這種變換亦可順利求出方程組的解。

3.幾何

（1）割圓術(shù)

對(duì)于開方不盡的問(wèn)題，劉徽認(rèn)為求出的位數(shù)越多，所得到的值就越接近真值，但永遠(yuǎn)不會(huì)達(dá)到真值，只能根據(jù)需要達(dá)到“雖有所棄之?dāng)?shù)，不足言之也”的程度，劉徽正是在這種觀念的基礎(chǔ)上創(chuàng)立十進(jìn)分?jǐn)?shù)的，他在證明有關(guān)體積的定理（如陽(yáng)馬定理）時(shí)也用到了極限，并指出，極限問(wèn)題“謂以情推，不用籌算”，這就是說(shuō)研究極限依靠的是推理，而不是計(jì)算，

二、劉徽的重差術(shù)

重差術(shù)是中國(guó)古代一種重要的測(cè)量方法，用以測(cè)量不可到達(dá)的距離，劉徽寫出了重差術(shù)專著——《海島算經(jīng)》（即《重差》），他在序言中說(shuō)：“凡望極高、測(cè)絕深而兼知其遠(yuǎn)者必用重差，”全書只有九道題，但都很有代表性。

例如第一題（譯為今文）：為測(cè)量海島，立兩根3丈高的標(biāo)桿，前后相距1000步，令后桿與前桿對(duì)齊，從前桿后退123步，人眼著地看島峰，視線正好過(guò)桿頂，從后桿后退127步，人眼著地看島峰，視線也過(guò)桿頂，問(wèn)島高和島離桿的距離各是多少？

按題意畫圖如下：

因公式中用到d（兩桿與島的距離差）和a1-a2兩差之比，所以叫重差術(shù)，這是書中最簡(jiǎn)單的一題，只需測(cè)望二次，對(duì)其他的問(wèn)題往往要測(cè)望三次或四次，但原理與本題相同。

如果用三角知識(shí)去解答重差問(wèn)題，其結(jié)果也是一樣的，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中無(wú)三角，重差術(shù)便起著與西方平面三角類似的作用，這是中國(guó)數(shù)學(xué)的特色之一。

三、劉徽的學(xué)術(shù)思想

劉徽之所以能在數(shù)學(xué)上取得卓越成就，與他先進(jìn)的學(xué)術(shù)思想是分不開的，概括起來(lái)說(shuō)，他的學(xué)術(shù)思想有如下幾個(gè)特點(diǎn)。

1.富于批判精神，劉徽在數(shù)學(xué)研究中不迷信權(quán)威，也不盲目地踩著前人的腳印走，而是有自己的主見，他曾一針見血地指出張衡關(guān)于球體積觀點(diǎn)的不正確之處，批評(píng)了固守古人“周三徑一”的“踵古”思想，說(shuō)：“學(xué)者踵古，習(xí)其謬失，”正是因?yàn)榫哂羞@種可貴的批判精神，他才在研究《九章算術(shù)》時(shí)發(fā)現(xiàn)了許多問(wèn)題，通過(guò)深入探討，寫出名垂千古的《九章算術(shù)注》。

2.注意尋求數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的聯(lián)系，劉徽在《九章算術(shù)注》的序言中說(shuō)：“事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干者，知發(fā)其一端而已，”不難看出，他的整個(gè)數(shù)學(xué)研究中都貫穿了這一思想，例如，他把許多平面幾何問(wèn)題歸為出入相補(bǔ)問(wèn)題，把許多體積公式的推導(dǎo)歸為劉徽原理的應(yīng)用問(wèn)題，把各種比例問(wèn)題歸為今有術(shù)問(wèn)題，以及用重差術(shù)的一般方法解決各種測(cè)量問(wèn)題等，都是這一思想的體現(xiàn)。

3.把數(shù)學(xué)的邏輯性和直觀性結(jié)合起來(lái)，劉徽主張“析理以辭，解體用圖”，就是說(shuō)對(duì)問(wèn)題的理論分析要用明確的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，空間圖形的分解情況要用圖形顯示出來(lái)，也就是理論和直觀并用，他認(rèn)為只有這樣才能使數(shù)學(xué)中的知識(shí)、結(jié)論、原理等表達(dá)形式既簡(jiǎn)潔又明白，實(shí)際上，他對(duì)原書和《九章算術(shù)注》中提出的重要數(shù)學(xué)概念，都給出了明確的定義，他對(duì)定理、公式的證明基本上都采取演繹法，推理相當(dāng)嚴(yán)密，例如，他從長(zhǎng)方體的體積公式出發(fā)，運(yùn)用極限觀念，證明了陽(yáng)馬定理，又用陽(yáng)馬定理證明了棱錐、棱臺(tái)的體積公式，然后根據(jù)劉徽原理推出圓錐、圓臺(tái)的體積公式，都是一環(huán)扣一環(huán)的，另一方面，劉徽也很注意數(shù)學(xué)的直觀性，他常借助圖形來(lái)證明平面幾何定理，稱為圖驗(yàn)法;借助立體模型來(lái)研究開立方和推導(dǎo)體積公式，稱為棋驗(yàn)法（劉徽稱特定的立體模型為棋），有時(shí)，他還在證明的過(guò)程中輔之以剪貼和涂色，總之，他在數(shù)學(xué)研究中既注意邏輯推理，又注意運(yùn)用直觀手段，所以他的理論清晰易懂。

劉徽思想敏捷，既提倡推理又主張直觀，他是中國(guó)最早明確主張用邏輯推理的方式來(lái)論證數(shù)學(xué)命題的人，劉徽的工作，不僅對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，在世界數(shù)學(xué)史上也具有極高的地位。