高中物理求極值的方法

陳德煒

摘 要：極值問題是高中物理的一類典型問題，在力學(xué)、電學(xué)等部分皆有出現(xiàn)。這類問題綜合性強(qiáng)，要求學(xué)生在熟練掌握物理概念和物理規(guī)律的前提下，又能對(duì)其靈活應(yīng)用，考察學(xué)生的理解能力、推理能力、分析綜合能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力。因此掌握求物理極值的方法是解決該類問題的重要途徑。

關(guān)鍵詞：物理極值問題;數(shù)學(xué)方法;物理方法

高中物理的極值問題就是某個(gè)物理量在變化的過程中會(huì)出現(xiàn)極大值或極小值的問題。求極值本來就是一個(gè)數(shù)學(xué)中的常見問題，而物理中的極值問題則需要將物理知識(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行融合。先利用物理知識(shí)找出變化物理量遵循的規(guī)律，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)求解極值。該類題綜合性較強(qiáng)，且對(duì)數(shù)理結(jié)合能力要求較高，因此對(duì)多數(shù)學(xué)生而言此類問題難度較大，是高中物理教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。要想突破此難點(diǎn)，就得掌握求物理極值問題的方法，并加以靈活應(yīng)用。解決物理極值問題的途徑有兩條：一條是把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即求出所需求極值的這一物理量的函數(shù)表達(dá)式，然后利用數(shù)學(xué)方法求出極值;另一條是分析物理過程，根據(jù)物理規(guī)律找出何時(shí)出現(xiàn)極值及其滿足的物理?xiàng)l件，再由此條件進(jìn)行求解。下面通過例題具體介紹兩種求物理極值問題的方法。

一、應(yīng)用數(shù)學(xué)方法求極值

例1.如圖所示的電路中，已知電源電動(dòng)勢(shì)E和內(nèi)阻r，R為滑動(dòng)變阻器，求此電源的最大輸出功率。

例2.如圖1所示，質(zhì)量為m的小球a用細(xì)線相連并懸掛于O點(diǎn).現(xiàn)用一輕質(zhì)彈簧給小球a施加一個(gè)拉力F，使整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，且Oa與豎直方向夾角為30°，已知彈簧的勁度系數(shù)為k，重力加速度為g，求拉力F的最小值。

解法1.正弦定理

解：如圖2所示，利用平行四邊形定則做出細(xì)線拉力和彈簧彈力的合力，由平衡條件可知合力與重力等大反向。在力的三角形ΔABC中，由正弦定理可得則由此表達(dá)式判斷出，當(dāng)sinθ=1即θ=90°時(shí)，

解法2.圖解法

解：根據(jù)平行四邊形定則做出平行四邊形，如圖3所示，可得當(dāng)彈簧拉力F與細(xì)線拉力垂直時(shí)，拉力F最小，

二、應(yīng)用物理方法求極值

例3.如圖所示，一勁度系數(shù)為k，原長(zhǎng)為l0的輕彈簧下端固定在水平面上，一個(gè)質(zhì)量為m小球從輕彈簧正上方某一高度處由靜止開始自由下落，接觸彈簧后小球繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)。求這一過程中小球速度達(dá)到最大的位置。

解：通過受力分析可知，小球接觸彈簧以后，剛開始小球重力大于彈簧彈力，小球所受合力向下，根據(jù)牛頓第二定律，隨著形變量x的增加，加速度a逐漸減小，故小球先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)彈簧彈力大于小球重力以后，同理根據(jù)牛頓第二定律，可知小球做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)，直到減速至零到達(dá)最低點(diǎn)。綜上分析，當(dāng)小球重力等于彈簧彈力時(shí)即加速度為零時(shí)，小球速度最大。因此速度最大時(shí)有，此時(shí)彈簧長(zhǎng)度為，即小球運(yùn)動(dòng)到離水平面距離為時(shí)速度最大。

從此題可以看出，當(dāng)物體做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，若速度是連續(xù)變化的，則當(dāng)加速度為零時(shí)，速度取極值，也可通過v-t圖像得出此結(jié)論，如下圖所示，

甲、乙圖線當(dāng)斜率（斜率表示加速度）為零時(shí)，速度取到極大值和極小值。

例4.如圖所示，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為m，帶電荷量為+q的小球，將其置于方向

水平向右且大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中?，F(xiàn)將小球從懸點(diǎn)正下方的A處靜止釋放小球。求小球速度最大時(shí)細(xì)線拉力與豎直方向的夾角。

解：通過受力分析可知，重力與電場(chǎng)力均為恒力，因此它們的合力也為恒力F。

小球做圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)線拉力方向始終與速度方向垂直，因此細(xì)線拉力不做功，會(huì)做功的是恒力F，即W合=WF，恒力F先做正功后做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理可知，小球動(dòng)能先增大后減小即速度先增后減。當(dāng)恒力F與速度方向垂直時(shí)，此時(shí)恒力F方向與細(xì)線拉力共線即合力與速度方向垂直時(shí)，速度達(dá)到最大。此時(shí)夾角滿足。

從此題可以看出，當(dāng)物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)合力方向與速度方向垂直時(shí)，速度取極值。

從上述幾道例題可以看出，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法求物理問題的極值時(shí)，關(guān)鍵在于要將求極值的對(duì)象所滿足的物理規(guī)律轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題。而應(yīng)用物理方法求極值問題時(shí)，必須在弄清題意的條件下靈活地利用物理規(guī)律分析判斷出取極值的物理?xiàng)l件，對(duì)學(xué)生應(yīng)用物理知識(shí)分析問題的要求更高。

參考文獻(xiàn)

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