函數(shù)概念的發(fā)展簡(jiǎn)史

劉佳華

一、函數(shù)概念的萌芽時(shí)期

函數(shù)思想是隨著人們開(kāi)始運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)研究事物的運(yùn)動(dòng)變化情況而出現(xiàn)的，16世紀(jì)，由于實(shí)踐的需要，自然科學(xué)界開(kāi)始轉(zhuǎn)向?qū)\(yùn)動(dòng)的量進(jìn)行研究，各種變化著的物理量之間的關(guān)系也就成為數(shù)學(xué)家們關(guān)注的對(duì)象。

17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家、科學(xué)家伽利略（Galileo，1564-16421是最早研究這方面的科學(xué)家，伽俐略在《兩門(mén)新科學(xué)》一書(shū)中多處使用比例關(guān)系和文字表述了量與量之間的依賴關(guān)系，例如，從靜止?fàn)顟B(tài)自由下落的物體所經(jīng)過(guò)的距離與所用時(shí)間的平方成正比，這實(shí)際上就運(yùn)用了函數(shù)思想，與此同時(shí)，英國(guó)著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家牛頓（Newton，1642-1727）在對(duì)微積分的討論中，使用了“流量”一詞來(lái)表示變量間的關(guān)系，1673年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾（Descartes，1596-1650）在研究曲線問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了量的變化及量與量之間的依賴關(guān)系，引進(jìn)了變量思想，并在他的《幾何學(xué)》一書(shū)中指出：所謂變量是指“不知的和未定的量”，這成為數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑，也為函數(shù)概念的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。

直到17世紀(jì)后期，在德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Leib-niz，1646-1716）、牛頓建立微積分學(xué)時(shí)，還沒(méi)有人明確函數(shù)的一般意義，大部分的函數(shù)是被當(dāng)作研究曲線的工具，最早把“函數(shù)”（function）一詞用作數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的是萊布尼茲，當(dāng)時(shí)，萊布尼茲用“函數(shù)”（function）一詞表示冪，后來(lái)又用函數(shù)表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量，例如曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線的長(zhǎng)度、垂線的長(zhǎng)度等，從這個(gè)定義，我們可以看出，萊布尼茲利用幾何概念，在幾何的范圍內(nèi)揭示了某些量之間的依存關(guān)系。

二、函數(shù)概念的初步形成

18世紀(jì)微積分的發(fā)展促進(jìn)了函數(shù)概念“解析定義”的發(fā)展，瑞士著名數(shù)學(xué)家約翰·貝努利（Bernoulli Jo-hann，1667-1748）在研究積分計(jì)算問(wèn)題時(shí)提出，積分工作的目的是在給定變量的微分中，找出變量本身之間的關(guān)系，而要用萊布尼茲定義的函數(shù)表示出變量本身之間的關(guān)系是很困難的，于是，1718年貝努利從解析的角度，把函數(shù)定義為：變量的函數(shù)就是由某個(gè)變量及任意一個(gè)常數(shù)結(jié)合而成的量，其意思是凡變量x和常量構(gòu)成的式子都叫作x的函數(shù)，并且貝努利強(qiáng)調(diào)，函數(shù)要用公式來(lái)表示才行。

18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在他的《無(wú)窮小分析引論》中進(jìn)一步推廣了約翰·貝努利的定義：一個(gè)變量的函數(shù)是由變量和一些數(shù)或常量以任何一種方式構(gòu)造的解析式，并且早在1734年歐拉就已經(jīng)用f（x）表示函數(shù)，這個(gè)函數(shù)符號(hào)至今仍在沿用，1755年，歐拉又在他的《微積分原理》的序言中把函數(shù)定義為：如果某些變量以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)，歐拉的這個(gè)定義，已經(jīng)不強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式來(lái)表示了，他曾把畫(huà)在坐標(biāo)系上的曲線也叫函數(shù)，他認(rèn)為：“函數(shù)是隨意畫(huà)出的一條曲線，”歐拉用“解析表達(dá)式”代替了約翰的“任意形式”，明確地表達(dá)了變量之間相互依賴的變化關(guān)系，顯然，此時(shí)數(shù)學(xué)家們對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)前進(jìn)了一大步，但是，當(dāng)時(shí)有些數(shù)學(xué)家對(duì)于不用公式來(lái)表示函數(shù)感到很不習(xí)慣，有些數(shù)學(xué)家甚至抱著懷疑的態(tài)度，因此他們把能用公式表示的函數(shù)叫“真函數(shù)”，把不能用公式表示的函數(shù)叫“假函數(shù)”。

三、函數(shù)概念的確立

1821年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西給出了類(lèi)似現(xiàn)在中學(xué)教材中的函數(shù)定義：在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，給定其中某一變數(shù)的值，其它變數(shù)的值也可以隨之確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫作自變量，其它各變數(shù)叫作函數(shù)，柯西在函數(shù)定義中引入了“自變量”一詞，顯然，這個(gè)函數(shù)定義比以往的定義要廣泛的多。

1834年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基（Lobachevskv，1792-1856）給出了函數(shù)的新定義：x的函數(shù)是這樣一個(gè)數(shù)，它對(duì)于每一個(gè)x都有確定的值并且隨著x一起變化，他認(rèn)為，“函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個(gè)條件給出，這個(gè)條件提供了一種尋求全部對(duì)應(yīng)值的方法，函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的，”這個(gè)定義指出了對(duì)應(yīng)關(guān)系的必要性，利用這個(gè)關(guān)系，我們可以求出每一個(gè)的對(duì)應(yīng)值。

后來(lái)，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859）也注意到，函數(shù)不是“自變”所引起的因變，應(yīng)該是變量之間的“對(duì)應(yīng)”關(guān)系，他拓寬了函數(shù)概念，指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù)，”這個(gè)定義不再注重描述函數(shù)中的依賴關(guān)系，而是通過(guò)x與y之間的關(guān)系來(lái)確定函數(shù)自變量與變量之間關(guān)系，人們可以借助這個(gè)表述清晰地掌握函數(shù)的定義，所以它被所有數(shù)學(xué)家接受，成為傳統(tǒng)函數(shù)定義的原型。

四、函數(shù)概念的再次發(fā)展

19世紀(jì)末20世紀(jì)初，把函數(shù)看作一種對(duì)應(yīng)或者映射的思想已經(jīng)成形，如果說(shuō)前兩個(gè)世紀(jì)的人們把注意力更多地投放在函數(shù)的解析式上，那么20世紀(jì)的數(shù)學(xué)家開(kāi)始關(guān)注自變量的取值范圍，這不僅僅是因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題給數(shù)學(xué)提出了新的課題，更主要的是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾（cantor，1845-1918）開(kāi)創(chuàng)了一個(gè)全新的數(shù)學(xué)分支——集合論，集合論的思想與方法很快就滲透到了數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。

之后，美國(guó)數(shù)學(xué)家維布倫（veblen，1880-1960）用“集合”和“對(duì)應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過(guò)集合概念把函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的限制，他認(rèn)為變量可以是數(shù)，也可以是其它對(duì)象，1914年豪斯道夫（F，Hausdorff）在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來(lái)定義函數(shù)，避開(kāi)了意義不明確的“變量”“對(duì)應(yīng)”概念，波蘭數(shù)學(xué)家?guī)炖蟹蛩够↘uratowski，1896-1980）于1921年用集合概念來(lái)定義“序偶”，使豪斯道夫的定義更嚴(yán)謹(jǐn)了，用集合的語(yǔ)言重新敘述函數(shù)的定義，成了進(jìn)一步嚴(yán)格函數(shù)概念的最好途徑，1930年新的現(xiàn)代函數(shù)被定義為：在變量的集合與另一個(gè)變量的集合之間，如果存在著對(duì)于x的每一個(gè)值，有確定的值y與之對(duì)應(yīng)這樣的關(guān)系，那么，變量y就叫作變量x的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)概念就是現(xiàn)在高中課本所采用的了。

“函數(shù)”一詞是轉(zhuǎn)譯詞，是我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》（1895年）一書(shū)時(shí)，把“function”譯成“函數(shù)”的。

后來(lái)，數(shù)學(xué)家們?cè)诖嘶A(chǔ)上將函數(shù)定義細(xì)分，給出了更多的函數(shù)定義，如單射函數(shù)、滿射函數(shù)、雙射函數(shù)，

單射函數(shù)：將不同的變量映射到不同的值，即若x和y屬于定義域，則僅當(dāng)x不等于y時(shí)有f（x）不等于f（y）。

滿射函數(shù)：其值域即為其對(duì)映域，即對(duì)映射廠的對(duì)映域中之任意y，都存在至少一個(gè)x滿足f（x）=y。

雙射函數(shù)：既是單射的又是滿射的，也叫一一對(duì)應(yīng)函數(shù)，雙射函數(shù)經(jīng)常被用于表明集合x(chóng)和y是等勢(shì)的，即有一樣的基數(shù)，如果在兩個(gè)集合之間可以建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，則說(shuō)這兩個(gè)集合等勢(shì)。

我們從函數(shù)概念的演變歷史可以看出，函數(shù)概念是人們?cè)趯?duì)客觀世界深入了解的過(guò)程中得到的，當(dāng)然，現(xiàn)在我們能得到比較完善、嚴(yán)密的函數(shù)概念，主要?dú)w功于歷代數(shù)學(xué)家們的精心研究以及為此付出的努力。