高中數(shù)學(xué)解題三境界

劉顯海

摘?要：在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要從多個層次、多個境界探索教材典型例題、習(xí)題的解答，通過對各個層次的梳理、優(yōu)化、拓展和延伸，尋找其內(nèi)在的聯(lián)系和規(guī)律.根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)定教學(xué)目標(biāo).在課堂教學(xué)中，采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，拓展學(xué)生思維，引導(dǎo)探究反思，體會數(shù)學(xué)思想，創(chuàng)新解題思路，發(fā)掘并擴(kuò)大數(shù)學(xué)問題的教學(xué)價值.

關(guān)鍵詞：解題教學(xué);教學(xué)價值;一題三境界

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0079-02

王國維在《人間詞話》中，將做學(xué)問的三階段用古典詩詞唯美而形象地表達(dá)出來.第一階段是：昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路;第二階段是：衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴;第三階段是：眾里尋他千百度，暮然回首，那人卻在燈火闌珊處.

筆者東施效顰，對高中數(shù)學(xué)解題的三個階段也作了一個類似的概括.宋代吉州青山惟政禪師有一個著名的公案，他說：“老僧三十年前未參禪時，見山是山，見水是水;乃至后來，親見知識，有個人處，見山不是山，見水不是水;而今得個休歇處，見山還是山，見水還是水.”此處我們姑且不去討論這個禪宗的著名公案所表達(dá)的深刻禪意，而只是借此對應(yīng)我們解題過程中的三個階段、三個境界.

一、見山是山，見水是水

正如禪師所言，“見山是山，見水是水”是“老僧三十年前未參禪時”的狀態(tài)，從解題的角度來看，這屬于拿到題目后的首次接觸，對題目的條件和問題作了一個初步的觀察、了解，題目方方面面之間的聯(lián)系并未了然于心，更遑論透過現(xiàn)象看到本質(zhì)了，作為初學(xué)者或水平較低的解題者而言，往往只能達(dá)到這個階段，或者說始于此止于此.那么，或者根本無法解決問題，即使勉強(qiáng)解決了問題，采用的方法也多半是就題論題，停留在問題的表面，不夠簡潔、深刻.以一道高考題為例：

例1?函數(shù)f（x）=（x+1）2+sinxx2+1的最大值和最小值之和為.

分析?題目是要求最大值和最小值之和，止步于第一階段的解題者會嘗試著分別去求函數(shù)f（x）=（x+1）2+sinxx2+1的最大值和最小值，然后再求和.很顯然，這是幾乎難于完成的任務(wù)，這就是停留在“見山是山，見水是水”階段的弊端，該題的解答需要到第二階段完成.

二、見山不是山，見水不是水

這是“乃至后來，親見知識，有個人處”達(dá)到的階段，屬于在經(jīng)歷第一階段的表象觀察后經(jīng)過深入探究思考，理清各方面關(guān)系，初步掌握問題的本質(zhì)后達(dá)到的比較成熟的階段，對于解題而言，在找到條件和結(jié)論之間的有機(jī)聯(lián)系之后，或許可以經(jīng)過對條件和結(jié)論的加工改造，也就是我們在解題時常說的“化歸與轉(zhuǎn)化”之法，將原本的問題轉(zhuǎn)化成為另一個與之等價的問題.重要的是，經(jīng)過轉(zhuǎn)化之后的新問題較原問題易于解決，在很多的解題實(shí)踐中，，實(shí)施這種等價轉(zhuǎn)化的成功與否往往是能否解決問題的關(guān)鍵，而且題目難度越大，需要經(jīng)過改造手術(shù)也越大，有時甚至達(dá)到面目全非的境地，這正是此階段“見山不是山，見水不是水”的題中應(yīng)有之義.絕大多數(shù)的題目解答，都必須經(jīng)歷第二階段的洗禮才能解決.

例1?函數(shù)f（x）=（x+1）2+sinxx2+1的最大值和最小值之和為.

分析?從上面第一階段的分析我們已經(jīng)得知，局限于“見山是山，見水是水”的第一階段無法解決該題，那么，我們進(jìn)入第二階段，即試圖尋找問題本質(zhì)，對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，原題為“求最大值和最小值之和”，在第一階段我們試圖直接解出最大值、最小值，失敗了.那么，能否不求兩個最值而直接求出其和呢？很顯然，“求和”才是問題的本質(zhì).因而，問題的關(guān)鍵是需要我們?nèi)ふ以摵瘮?shù)最大值和最小值的聯(lián)系，這個“聯(lián)系”最終會使得我們達(dá)成“求和”這個目的.從這個角度切入，通過觀察函數(shù)的特點(diǎn)，再聯(lián)想到奇函數(shù)具有最大值和最小值互為相反數(shù)的性質(zhì).我們將問題轉(zhuǎn)化為：研究函數(shù)f（x）=（x+1）2+sinxx2+1的奇偶性.由f（x）=（x+1）2+sinxx2+1=x2+2x+1+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1，令g（x）=f（x）-1，則函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，故gmax+gmin=0，而fmax+fmin=（gmax+1）+（gmin+1）=2.這就是抓住本質(zhì)后轉(zhuǎn)化問題表述所達(dá)到的功效.這也是第二階段最顯著的特征：“見山不是山，見水不是水”，絕不是說山、水已經(jīng)變成其他東西了.而是說透過其表象看到了本質(zhì)，一如解題，條件在那，問題也還在那，但我們可以對其進(jìn)行加工改造，抓住本質(zhì)，達(dá)成目標(biāo).

三、見山還是山，見水還是水

這是“而今得個休歇處”時達(dá)到的最高境界，也是經(jīng)過前兩個階段后獲得充分領(lǐng)悟的完美階段，從解題階段來看，在前兩個階段由表及里、從現(xiàn)象到本質(zhì)的深入仔細(xì)的審查求證之后，我們似乎已經(jīng)大功告成，但是，要想達(dá)到一個完美的解題階段，獲得最大的解題效果的話，我們還得對前面第二個解題階段進(jìn)行回顧反思，第一階段僅僅就題論題、流于表面的做法當(dāng)然不可取，但是第二階段對原來的問題進(jìn)行改造手術(shù)是否真的就是必需的或是最好的呢？或許，我們的問題不做任何改變能更漂亮地解決也未可知.果真如此，何不返璞歸真，“真水無香”？

當(dāng)然，不是每個題目的解答都必須達(dá)到第三個階段，往往只有少數(shù)較難或者較為深刻的題目，在第三階段時才得到升華.

下面再舉一個經(jīng)典的例子來綜合說明一下解題的三境界.

例2?（見文[1]）已知x1-y2+y1-x2=1，x，y∈R+，求x2+y2的值.

第一階段分析：從“已知x1-y2+y1-x2=1，x，y∈R+”中試圖通過類似解方程的方法去求出x，y兩個變量之間的關(guān)系，也就是用x表示y或者用y表示x，這顯然不可行，問題解決就此陷入困境，止步于此，將無功而返.

第二階段分析：仔細(xì)觀察已知的等式，我們從中發(fā)現(xiàn)了一個關(guān)鍵，即x，y∈（0，1），這有什么用呢？細(xì)細(xì)思考以后，就能聯(lián)想到此處可用三角換元法來嘗試.令x=cosα，y=cosβ，其中α，β∈（0，π2），將其代入已知等式中得到cosαsinβ+cosβsinα=1，即sin（α+β）=1，結(jié)合已知條件α，β∈（0，π2）可知α+β=π2，所以x2+y2=cos2α+cos2β=1.

至此，通過已知等式的形式和變量的取值范圍這些“本質(zhì)”，利用三角換元法，我們成功地解決了該題，方法巧妙、簡潔明了.當(dāng)然此題還可以從不同角度去挖掘“本質(zhì)”，從而得到迥然不同的其他多種解法.但換元法畢竟是一種間接的方法，該題是否有直接的方法呢？

第三階段分析：承接上面的問題，我們希望達(dá)到“見心是佛，直指人心”的最高境界，那就是不作任何換元二直接解決問題.實(shí)際上，進(jìn)過深入的審視，我們是能夠回歸“見山還是山，見水還是水”的本真狀態(tài)，此為最美境界.解答如下：

因?yàn)?=x1-y2+y1-x2≤x2+1-y22+y2+1-x22=1，所以該式等號成立，這說明x=1-y2及y=1-x2，兩式都表明x2+y2=1.

一個禪門公案，一首著名的禪詩，三個解題階段，三種解題境界.在解題時做個善于思考的有心人，更好地學(xué)會做題，記住最高的解題境界就是樸實(shí)無華的本真唯美.《老子》有云：“取法乎上，得乎其中”，努力地去追求本真唯美的至高境界吧！

參考文獻(xiàn)：

[1]羅增儒.解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2009.

[責(zé)任編輯：李?璟]