用圖思考求ω

李定平

摘?要：對(duì)一道高考選擇壓軸題的解法進(jìn)行了探究，得到用圖思考求ω比計(jì)算更為快捷，說明了已知三角函數(shù)y =Asin（ωx+φ）圖象特征求頻率ω和初相φ的各類題型用圖思考的思維方法.

關(guān)鍵詞：高考?jí)狠S題;用圖思考;區(qū)間長度

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2020）22-0029-03

2016年新課標(biāo)一卷理12題：

已知函數(shù)f （x）=sin（ωx+φ）（SymbolwA@

>0，|SymboljA@

|≤π2），x=-π4為f（x）的零點(diǎn)，x=π4為y=f（x）圖象的對(duì)稱軸，且f（x）在（π18，5π36）單調(diào)，則ω的最大值為（）.

A.11B.9C.7D.5

本題作為選擇題中的最后一題，也稱選擇壓軸題，是區(qū)分度題高的題之一.它考查了y=Asin（wx+φ）的函數(shù)圖象變化對(duì)參數(shù)A，ω，φ的影響，即考查了函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性的綜合運(yùn)用，需要較高的綜合能力，也就深受各地統(tǒng)考模擬題的青睞.一般思路是計(jì)算出來：

解析?∵x=-π4為零點(diǎn)，f（-π4）=0，∴ω（-π4）+φ=nπ，n∈Z…①.

∵x=π4為對(duì)稱軸，f（π4）=SymbolqB@

1，∴ω×π4+φ=n′π+π2，n′∈Z…②.

∴②-①得ω×π2=（n′-n）π+π2=kπ+π2，k∈Z，即ω=2k+1，即ω為奇數(shù).

∵f（x）在（π18，5π36）單調(diào)，∴（ω×5π36+φ）-（ω×π18+φ）≤（kπ+π2）-（kπ-π2）=SymbolpA@

，k∈Z，

即3π36ω≤π，∴ω≤12，故有奇數(shù)ω的最大值為11.

當(dāng)ω=11時(shí)，11SymboltB@

（-π4）+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤π2，∴φ=-π4.

此時(shí)f（x）=sin（11x-π4）在（π18，5π36）上不單調(diào)，不滿足題意.

當(dāng)ω=9時(shí)，9×（-π4）+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤π2，∴φ=π4.

此時(shí)f（x）=sin（9x+π4）在（π18，5π36）上單調(diào)遞減，滿足題意.

故ω的最大值為9，答案選B.

本題實(shí)際上就是已知函數(shù)圖象，求系數(shù)ω、φ，如果題型方法溯源的話，就是初中求函數(shù)解析式的方法——待定系數(shù)法（或代點(diǎn)法），把已知點(diǎn)代入后得系數(shù)組成的方程組，解之得.這是一種基本數(shù)學(xué)方法.作為選擇題中的壓軸題，考試時(shí)像上面解法一樣，中規(guī)中矩把它算出來當(dāng)然好，可是，考場上有那么多時(shí)間嗎？況且本身就是考查學(xué)生的綜合能力，既然是考查函數(shù)圖象，就可以用圖象思考：

思維分析?求ω的最大值就是求周期T=2πω最小值，由于y=Asin（ωx+φ）每一個(gè)單調(diào)區(qū)間長度恰好就是半個(gè)周期πω，也就是求單調(diào)區(qū)間長度的最小值.

解析?在（π18，5π36）單調(diào)，為使單調(diào)區(qū)盡可能短，則在區(qū)間（5π36，π4=9π36）內(nèi)可以插入一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，且兩側(cè)單調(diào)性相反，在x=π18左側(cè)的對(duì)稱軸x=a與對(duì)稱軸x=π4組成一個(gè)完整周期.∵x=-π4為f（x）的零點(diǎn)，這樣區(qū)間[-π4，π4]的圖象如圖1所示：最多只能畫4.5個(gè)單調(diào)區(qū)間，所以區(qū)間[-π4，π4]的長度π4-（-π4）=4.5SymboltB@

πω，ω=9，答案選B.

用圖思考，三下五除二非常簡潔地將ω求出來了，這不就是我們所要求掌握的思維方式嗎？這也是我們數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)——直觀想象.下面就求y=sin（ωx+φ）中的ω的題型分類例說.

一、已知兩關(guān)鍵點(diǎn)（零點(diǎn)或?qū)ΨQ軸）及在某區(qū)間單調(diào)求ω

例1?已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ≤π2），f（-π3）=0，f（2π3-x）=f（x），且f（x）在區(qū)間（π12，π4）上單調(diào)，則ω的最大值為（）.

A.274B.214C.154D.94

解析?由已知x=-π3為零點(diǎn)，x=π3是對(duì)稱軸，而區(qū)間（π4，π3）長度小于（π12，π4）長度，所以在x=π4到x=π3之間不能插入一個(gè)對(duì)稱軸點(diǎn)，只能繼續(xù)單調(diào)，所以（π12，π3）上單調(diào)，區(qū)間[-π3，π3]的圖象如圖3所示：最多只能畫2.5個(gè)單調(diào)區(qū)間，所以區(qū)間長度π3-（-π3）=2.5SymboltB@

πω，ω=154，所以選C.

說明：由兩關(guān)鍵點(diǎn)之間畫出單調(diào)區(qū)間的個(gè)數(shù)是解此題的關(guān)鍵.

例2?函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（34π，0）對(duì)稱，且在區(qū)間[0，π2]上是單調(diào)函數(shù)，則φ=，ω=.

解析?為偶函數(shù)，f（0）=f（φ）=SymbolqB@

1，∵0<φ<SymbolpA@

，∴φ=π2.f（x）在[0，π2]上單調(diào)繼續(xù)至M（如圖3虛線）或拐至M（實(shí)線），得到了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間長度，計(jì)算得ω=23或ω=2.

說明：難點(diǎn)是f（x）在[0，π2]上單調(diào)繼續(xù)至M還是拐至M.

例3?設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0）.若f（x）在區(qū)間[π6，π2]上具有單調(diào)性，且f（π2）=f（2π3）=-f（π6），則f（x）的最小正周期為.

解析?由f（π2）=-f（π6）得零點(diǎn)是（π3，0），由f（π2）=f（2π3）得對(duì)稱軸x=712π，由在區(qū)間[π6，π2]上具有單調(diào)性，必然單調(diào)至對(duì)稱軸x=712π（如圖5），所以區(qū)間（π3，712π）長度是f（x）的14T，T=4SymboltB@

（7π12-π3）=SymbolpA@

.

說明：兩自變量函數(shù)值相反，中間點(diǎn)就是零點(diǎn)，兩自變量函數(shù)值相等，中間點(diǎn)就是對(duì)稱軸.

二、由一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)及在某區(qū)間單調(diào)求ω

例4?已知f（x）=sin（ωx+π3）（ω>0）f（π6）=f（π3），且f（x）在區(qū)間（π6，π3）有最小值，無最大值，則ω=.

解析?由已知f（x）關(guān)于x=π4對(duì)稱且是最小值點(diǎn)（如圖6），ω×π4+π3=3π2+2kπ，解得ω=143+8k（k∈Z），無最大值，單調(diào)增區(qū)間長度πω>π3-π4=π12，得ω<12，故ω=143.

說明：在某區(qū)間單調(diào)，不能確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間長度，只能得到單調(diào)區(qū)間長度的一個(gè)范圍，從得到ω的

范圍.

三、由函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)求ω

例5?已知ω>0，函數(shù)f（x）=sin（ωx+π4）在（π2，π）上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是.

解析?f（0）=22，且x>0時(shí)開始單增，由于單調(diào)區(qū)間長度d≥SymbolpA@

-π2=π2，所以在（0，π2）內(nèi)只能插入一個(gè)最大值點(diǎn)（如圖7），∴π2≤（ω×π2+π4）且（ωSymbolpA@

+π4）≤3π2.算得12≤ω≤54.

說明：“五點(diǎn)作圖”知y=sin（ωx+φ）右邊最靠近y軸的減區(qū)間是由π2≤（ωx+φ）≤3π2計(jì)算而得的.

四、由關(guān)鍵點(diǎn)確定增減區(qū)間

例6?已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，|φ|≤π2），f（π6）=f（5π6）=0，且f（x）在區(qū)間（π2，7π6）無最值，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.[4kπ3-π6，4kπ3+π2]（k∈Z）

B.[kπ3-π6，kπ3+π2]（k∈Z）

C.[4kπ3-π3，4kπ3+2π3]（k∈Z）

D.[kπ3-π3，kπ3+2π3]（k∈Z）

解析?由兩零點(diǎn)距離及單調(diào)區(qū)間長度知：兩零點(diǎn)相鄰，對(duì)稱軸為x=π2及周期T=4π3（如圖8）.若兩零點(diǎn)之間圖象是下凸（虛線），初始點(diǎn)為x=-π2;若上凸（實(shí)線），初始點(diǎn)為x=π6，由|φ|=|-ωx|=|-32×π6|=π4符合要求，故上凸，增區(qū)間為x=π2的左側(cè)，選A.

說明：重視“五點(diǎn)法”作圖中五個(gè)點(diǎn)的相互位置及增減性.

練習(xí)：（為了鞏固，給出幾個(gè)練習(xí)供選用）

1.已知函數(shù)f（x）=sinωx（ω>0）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2π3，0）對(duì)稱，且f（x）在[0，π4]上為增函數(shù)，則ω=（?A?）.

A.32B.3C.92D.6

2.若函數(shù)f（x）=sinωx（ω>0）在區(qū)間[0，π3]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[π3，π2]上單調(diào)遞減，則ω=（?B?）.

A.23

B.32

C.2D.3

3.已知函數(shù)y=2cos2ωx-2sinωxcosωx（ω>0）在區(qū)間[0，π8]上是單調(diào)函數(shù)，則正整數(shù)ω的值為ω=1或ω=3.

4.已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），其中φ為實(shí)數(shù)，若f（x）≤|f（π6）|對(duì)x∈R恒成立，且f（π2）>f（π），則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（?C?）.

A.kπ-π3，kπ+π6（k∈Z）

B.kπ，kπ+π2（k∈Z）

C.kπ+π6，kπ+2π3（k∈Z）

D.kπ-π2，kπ（k∈Z）

只有真正理解了y=Asin（ωx+φ）的圖象特征才能靈活地解決它的圖象問題，反過來靈活運(yùn)用圖象牲特征解題又能加深對(duì)三角函數(shù)圖象的理解，提升我們的直觀想象素養(yǎng)，在以素養(yǎng)導(dǎo)向的高考中取得優(yōu)異成績.

參考文獻(xiàn)：

[1]嚴(yán)娟.2019年高考數(shù)學(xué)試題壓軸題分析[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教師教育），2019（24）：71+74.

[責(zé)任編輯：李?璟]