質(zhì)點系動能定理例談

胡小波

摘?要：動能定理是中學(xué)物理中非常重要的一個定理，它能從功能角度很好的處理諸如變力做功、曲線運動以及多過程的復(fù)雜問題，中學(xué)物理教材中只給出了單個物體（或質(zhì)點）的動能定理，但在平時的學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常涉及到質(zhì)點系的動能問題，即質(zhì)點系動能定理.

關(guān)鍵詞：質(zhì)點系;質(zhì)點系動能定理

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0088-03

日常生活中，我們通常會遇到這樣一個問題，題目

如下：

引例?人在水平面上走路（由靜到動）靠什么力對人做功引起人的動能的變化？

圖1

分析?如圖1所示， 人在水平面走路時，人腳相對于地面有向后的運動趨勢，因而人受到向前的靜摩擦力，但此摩擦力作用于人腳上并不產(chǎn)生位移，即人受到地面的靜摩擦力是不做功的，那為何人會獲得向前的速度和動能呢？這是因為此時的人是不可以看作質(zhì)點的，而應(yīng)當(dāng)將人看作很多個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，質(zhì)點系的動能變化是由內(nèi)外力做功的總和引起的，顯然人走路時外力對人不做功，那人的動能的變化必定是內(nèi)力做功的結(jié)果，因此人走路時獲得的動能是人本身的內(nèi)力（來源于人體的肌肉）做功的結(jié)果.

上例說明質(zhì)點系動能的變化會受質(zhì)點系的內(nèi)力做功影響，那質(zhì)點系的動能變化究竟與什么力做功相對應(yīng)呢，質(zhì)點系動能定理又如何？

一、質(zhì)點系動能定理

（1）內(nèi)容：質(zhì)點系總動能的增量在數(shù)值上等于質(zhì)點系所受一切外力和一切內(nèi)力做功之和.

（2）表達式 ：∑A外+∑A內(nèi)=∑Ek2-∑Ek1.

式中∑A外、∑A內(nèi)分別表示質(zhì)點系外力所做功總功之和及內(nèi)力所做總功之和;∑EK2、∑EK1分別表示質(zhì)點系的末態(tài)的總動能及初態(tài)的總動能.

從該定理可以看出，無論是系統(tǒng)的外力還是系統(tǒng)的內(nèi)力，只要它們做功都必定會引起質(zhì)點系的動能的變化.特別的，當(dāng)質(zhì)點系的內(nèi)力不做功時（比如系統(tǒng)內(nèi)的兩物體由不可伸長的繩或桿相連），即∑A內(nèi)=0，表達式變?yōu)椤艫外=∑EK2-∑Ek1，處理問題極其方便.

二、應(yīng)用舉例

例1?如圖2所示，質(zhì)量M的木塊套在光滑水平桿上，并用長為L的不可伸長的細線將木塊與質(zhì)量m的小球相連，若從圖中豎直的虛線位置m小球受到一個水平的恒力F作用，由靜止開始運動，當(dāng)細線拉到水平位置時如圖3所示，M木塊的位移是s，小球繞M木塊的角速度為ω，已知繩子長度為L，求出此時木塊速度？

圖2?圖3

分析?對于用細繩相連的小球和物塊構(gòu)成的質(zhì)點系，受力方面：物塊M和小球m由細線相連，細線對物塊M和小球m的拉力屬于質(zhì)點系的內(nèi)力且做功的代數(shù)和為零，質(zhì)點系的外力有物塊受到的重力和支持力、以及小球受到的重力和水平恒力，顯然質(zhì)點系的四個外力中，物塊受到的兩個力（重力和支持力）均不做功，小球受到的兩個力（重力和水平恒力）都做功.

質(zhì)點系內(nèi)物體速度方面：當(dāng)小球運動至細線水平時（如圖3所示），M和m在桿方向速度為v，m在垂直桿方向速度為ωL，此過程M位移是s，m的位移是s+L，由質(zhì)點系的動能定理得：

F（s+L）-mgL=12Mv2+12m（v2+ω2L2）-0

得到：v=2F（s+L）-mω2L2-mgLm+M

點評1?本例的質(zhì)點系是繩及繩相連的物塊和球，繩不可伸長，系統(tǒng)內(nèi)力做功代數(shù)和為零，處理時只考慮外力做功.

例2?如圖4所示，在豎直平面內(nèi)固定一U型軌道，軌道兩邊豎直，底部是半徑為R的半圓，質(zhì)量均為m的A、B兩小環(huán)，用長為R的輕桿連接在一起，套在U型軌道上，小環(huán)在軌道的豎直部分運動時受到的阻力均為環(huán)重的0.2倍，在軌道的半圓部分運動時不受任何阻力.現(xiàn)將A、B兩環(huán)從圖示位置由靜止釋放，釋放時A環(huán)距離底部2R，不考慮輕桿和軌道的接觸，重力加速度為g，求：A環(huán)在半圓部分運動過程中的最大速度.

圖4圖5

分析A環(huán)、B環(huán)與桿可以看成一質(zhì)點系，受力方面：內(nèi)力是桿對A、B環(huán)的作用力，很明顯內(nèi)力做功且代數(shù)和為零;外力是A、B環(huán)的重力和豎直軌道對兩環(huán)的摩擦阻力及兩環(huán)運動到圓弧軌道時受到軌道的彈力，其中重力對它們做正功，阻力對其做負(fù)功，圓弧軌道的彈力不做功.

運動的速度方面：當(dāng)A、B兩環(huán)均沿半圓軌道時，兩球的速度大小始終相等，則A環(huán)速度最大時整體的重心最低，此時輕桿水平（如圖5所示），重心在圓心的正下方，由幾何知識可得此時重心距圓心的距離OC為32R，由質(zhì)點系動能定理得：WAG+WBG+WA阻+WB阻=12×2mv2-0

即mg（R+32R）+mg（2R+32R）-0.2mg×2R-0.2mg×R=12×2mv2-0代入數(shù)據(jù)可得v=（125+3）gR，所以A球的最大速度為v=（125+3）gR

點評2?本例中，輕桿不可伸長，由此相連接的兩物體在運動過程中質(zhì)點系的內(nèi)力對系統(tǒng)做功的代數(shù)和為零，所以只要考慮系統(tǒng)外力的功，使問題得以簡化.圖6圖7

例3?如圖6所示，質(zhì)量分別為m和M的物塊A和B用不可伸長的細繩連接，A放在傾角為α的固定斜面上，B能沿桿在豎直方向上自由滑動，桿到滑輪中心的距離為L，開始時將B抬高到使細繩水平.求當(dāng)B由靜止開始下落h時的速度.（滑輪和繩的質(zhì)量及各種摩擦均不計）

分析?對A、B和輕繩構(gòu)成的質(zhì)點系統(tǒng)，從內(nèi)力和外力方面來看，內(nèi)力有繩對兩物塊的拉力，做功的代數(shù)和為零;外力有A 、B的重力及斜面和桿分別對A、B的彈力，外力中只有A、B的重力做功;從系統(tǒng)運動的速度角度看，A、B兩物塊通過細繩相連，B下落時速度可分解為沿繩方向的分速度v//和垂直于繩方向的分速度v⊥，B下滑時沿繩方向的分速度與A物塊速度相等，即vBcosθ=vA，vB·hL2+h2=vA如圖7所示.

由質(zhì)點系動能定理可得：

WAG+WBG=12MvA2+12mv2B-0

解得：vB=2（L2+h2）Mgh-mgL2+h2-Lsinαmh2+ML2+h2

點評3?特別注意，繩和桿相連的物體，其各自沿繩或桿方向的速度大小一定相等.本例還可用系統(tǒng)的機械能守恒處理，這里不再贅述.不可伸長的繩和桿相連時，質(zhì)點系內(nèi)力做功為零，但并不是所有的質(zhì)點系的內(nèi)力做功代數(shù)和都為零.下面回到引例中提出的人在水平面起跳時質(zhì)點系的動能問題.例4?如圖8所示，是被譽為“豪小子”的華裔球員林書豪在NBA賽場上投二分球時的照片.現(xiàn)假設(shè)圖8

林書豪準(zhǔn)備投二分球前先曲腿下蹲再豎直向上躍起，已知林書豪的質(zhì)量為m，雙腳離開地面時的

速度為V，從開始下蹲到躍起過程中重心上升的高度為h，則下列說法正確的是（）.

A. 從地面躍起過程中，地面對他所做的功為0

B. 從地面躍起過程中，地面對他所做的功為12mv2+mgh

C. 從下蹲到離開地面上升過程中，人所做的功為12mv2+mgh

D. 離幵地面后，他在上升過程中處于超重狀態(tài);在下落過程中處于失重狀態(tài)

分析?本例是人從地面起跳問題，與引例中的人走路有相似之處，一者人都不可以看作質(zhì)點，只能看作質(zhì)點系;再者，地面作用在人腳的力（引例中是摩擦力，本例是支持力）都不做功; 從內(nèi)外力上看，外力中的支持力不做功，重力做負(fù)功，內(nèi)力（來自于人體）做正功，正由于內(nèi)力做正功才引起了人的動能的增加，即人從下蹲到離開地面上升過程中是人的內(nèi)力做功的結(jié)果，并不是地面對人的支持力做功的結(jié)果.

由質(zhì)點系的動能定理可得：WG+W人=12mv2-0

即：-mgh+W人=12mv2-0

解得W人=12mv2+mgh

所以本題選AC，選項D根據(jù)超重、失重發(fā)生的條件很容易排除掉.

通過上述例子可小結(jié)出利用質(zhì)點系動能定理解決問題的一般思路：

（1）明確質(zhì)點系由哪些對象構(gòu)成;

（2）要正確的分析出系統(tǒng)的內(nèi)力和外力，明確系統(tǒng)內(nèi)力和外力做功情況;

（3）如果質(zhì)點系內(nèi)的物體用不可伸長的繩或桿相連，則質(zhì)點系內(nèi)力做功代數(shù)和為零，只考系統(tǒng)外力所做的功，使問題大大簡化;

（4）如若內(nèi)力做功代數(shù)和不為零，則分別寫出內(nèi)力和外力所做的功，列質(zhì)點系動能定理方程，解決問題.

需要特別強調(diào)的是質(zhì)點系的內(nèi)力做功代數(shù)和不一定都為零，只有不可伸長的繩和桿相連的物體，其內(nèi)力做功的代數(shù)和才為零，一旦系統(tǒng)內(nèi)的兩物體距離發(fā)生變化內(nèi)力做功的代數(shù)和便不再為零，這一點一定要慎之又慎，另外，繩和桿相邊的物體在發(fā)生運動時，其各自沿繩或桿方向的速度一定相等，這也是關(guān)聯(lián)系統(tǒng)內(nèi)物體速度關(guān)系的重要方法所在.

參考文獻：

[1]趙晶，班月童，孟秀蘭.高考物理壓軸題中考生運用能量觀念解決物理問題的障礙分析——以2019年全國高考理綜Ⅰ卷第25題為例[J].物理教學(xué)，2019，41（12）：60-64+32.

[責(zé)任編輯：李?璟]