例說向量坐標運算在解題中的應用

田素偉

摘?要：本文介紹了用向量的坐標運算解答向量問題的方法，對優(yōu)化思維方法十分有益.

關鍵詞：向量;坐標;運算

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0052-03

向量知識是中學數(shù)學中的重要知識，與三角、代數(shù)、幾何有密切的聯(lián)系.向量是融數(shù)與形于一體的知識，既具有幾何形式又具有代數(shù)形式，是中學數(shù)學知識中多種知識的交匯點，成為聯(lián)系眾多數(shù)學知識點的橋梁.在近幾年高考數(shù)學題中以向量為載體的題目越來越多，向量的坐標運算很好地體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法.如果在向量的題目中能恰當?shù)乩孟蛄康淖鴺诉\算來解決向量的問題會起到簡化運算的效果，有的題目會起到令人拍案驚奇之感.利用向量的知識培養(yǎng)學生的思維能力，這樣可以加強學生對數(shù)學思想方法的理解，還可以培養(yǎng)學生的思維能力.下面以具體的題目來看一下向量的坐標運算在向量問題中的應用.

例題1?（2009年高考安徽卷理第14題）給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°.如圖1所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x+y的最大值是.

解法1?設∠AOC=α.

OC·OA=xOA·OA+yOB·OA，OC·OB=xOA·OB+yOB·OB，

即cosα=x-12y，cos（120°-α）=-12x+y，

∴x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=cosα+3sinα=2sin（α+π6）≤2.

如果我們用上面的解法可以解答這道題，但是，有的學生可能想不到把已知的條件等式兩邊取數(shù)量積，（本題還有其他解法）或者無從下手去解答，能不能用轉化為坐標運算來解決呢？（設置問題情境讓學生認識到各個知識之間的聯(lián)系，體會客觀世界中事物與事物之間普遍聯(lián)系的辯證唯物觀主義觀點）如果適當?shù)亟⑵矫嬷苯亲鴺讼?，把向量的問題轉化為向量的坐標運算，實現(xiàn)問題的轉化與變通，把向量的幾何特征轉化為代數(shù)形式，給解答問題帶來新的思路.這樣可以激發(fā)學生的學習興趣，提高學習效率，在知識的遷移中進行創(chuàng)造性的學習，達到傳授知識與培養(yǎng)學生能力融為一體的目的.下面我們用向量的坐標運算來解答本題.

解法2?以O為原點，OA所在直線為x軸，建立平面直角坐標系.

設∠AOC=θ，

A（1，0），C（cosθ，sinθ），B（cos120°，sin120°），

OC=（cosθ，sinθ），

OA=（1，0），

OB=（cos120°，sin120°）=（-12，32）.

∵OC=xOA+yOB，

∴（cosθ，sinθ）=x（1，0）+y（-12，32），

∴cosθ=x-12y

，sinθ=32yx=cosθ+13sinθ，

y=23sinθx+y=3sinθ+cosθ=2sin（θ+π6）≤2.

讓學生熟練應用建立平面直角坐標系，體會向量坐標運算的優(yōu)勢：思路明確，過程簡捷.這樣可以激發(fā)學生的學習興趣，提高學習效率，在知識的遷移中進行創(chuàng)造性的學習，達到傳授知識與培養(yǎng)學生能力融為一體的目的.

利用向量的坐標運算解決向量問題的優(yōu)勢在于將向量的幾何特征轉化為代數(shù)特征，運算過程也隨之變得簡單化、程序化，從而減少思維難度，起到事半功倍的效果.這樣，把代數(shù)、幾何、三角知識融為一體，深化了基礎知識和 基本技能，激化了學生的思維.

例題2?（2014高考上海卷第17題）如圖2，四個邊長為1的正方形排成一個大正方形，AB是大正方形的一條邊，Pi（i=1，2，…，7）是小正方形的其余的頂點，則AB·APi（i=1，2，…，7）的不同值的個數(shù)為（）.

A.7B.5C.3D.1

如果用這種方法來解上海高考題是不是可以呢？以此來激發(fā)學生的學習興趣，提高學習效率，在知識的遷移中進行創(chuàng)造性的學習，達到傳授知識與培養(yǎng)學生能力融為一體的目的.

解析?以A為坐標原點建立如圖2所示的平面直角坐標系，則

A（0，0），B（0，2），P1（0，1），P2（1，0），P3（1，1），P4（1，2），P5（2，0），P6（2，1），P7（2，2），

可知AB=（0，2），AP1=（0，1），AP2=（1，0），AP3=（1，1），AP4=（1，2），AP5=（2，0），AP6=（2，1），AP7=（2，2）.

所以AB·AP1=2，AB·AP2=0，AB·，AP3=2，AB·AP4=4，AB·AP5=0，AB·AP6=2，AB·AP7=4.

由此可知AB·APi（i=1，2，…，7）的值有0，2，4，所以有三個不同的值.

讓學生經(jīng)歷主動觀察、大膽猜想、積極驗證，順利得出向量的坐標，突出重點.同時培養(yǎng)學生的觀察能力、推理能力、邏輯思維能力. 通過建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，首先設出點的坐標，得出向量的坐標，再轉化為向量的坐標運算.這樣把向量的運算轉化為一種程序化的運算.用建立平面直角坐標系，轉化為向量坐標運算的優(yōu)勢是思路明確，過程簡單，思考的難度小.幫助學生把所學知識納入知識體系，形成良好的認知結構，有益于學生對知識的鞏固、理解和掌握.

例題3?（2014高考天津卷第13題）已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，

點E，F(xiàn)分別在邊BC、DC上，BC=3BE，DC=λDF.若

AE·AF=1，則λ的值為

.

解析?以AC所在直線為x軸， BD所在直線y為軸建立如圖3所示平面直角坐標系坐標系， A-1，0、B0，-3、C1，0、D0，3，設Ex1，y1，F(xiàn)x2，y2，

可得

BC=（1，3），

BE=（x，y1+3），

DC=（1，-3），

DF=（x2，y2-3）.由BC=3BE

得

1，3=3x1，y1+3，解之得E13，-233.又由DC=λDF

得1，-3=λx2，y2-3，解之得F1λ，3-3λ.又∵AE·AF=43，-233·1λ+1，3-3λ=103λ-23=1，∴λ=2.

借助數(shù)學圖形解決問題，提高學生用數(shù)形結合的思想方法解決問題的能力，

本題也是把向量問題利用向量的坐標運算轉化為代數(shù)運算，再解方程即可求解.

例題4?（2014年江蘇卷12題）如圖4所示，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AP·BP=2，則AB·AD的值是.

解析?以A為原點（A與坐標原點O重合），AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，設∠DAB=θ，A（0，0），B（8，0），D（5cosθ，5sinθ），P（2+5cosθ，5sinθ），

AP=（2+5cosθ，5sinθ），BP=（-6+5cosθ，5sinθ）.

AP·BP=13-20cosθ=2，由此可得cosθ=1120.

∴AB·AD=|AB||AD|cosθ=22.

評析?建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担贸鱿蛄康淖鴺?，轉化為向量的坐標運算.使學生理解平面向量的坐標概念，明確求向量坐標的思路.

例題5?平面上三個向量OA、OB、OC，滿足|OA|=1，|OB|=3，|OC|=1，

OA·OB=0，則

CA·AB的最大值是.

解析?OA·OB=0，則說明

OA⊥OB.以O為原點， OB所在直線為x軸， OA所在直線為y軸建立平面直角坐標系，

O（0，0），A（0，1），B（3，0），C（cosθ，sinθ），設∠COx=θ.

CA=（-cosθ，1-sinθ），CB=（3-cosθ，-sinθ），

CA·CB=（-cosθ）（3-cosθ）+（-sinθ）（1-sinθ）=2sin（θ+7π6）+1.

∴CA·CB的最大值為3.本題考察向量的數(shù)量積及其運算，利用向量的坐標運算解決向量問題，將向量的幾何特征轉化為代數(shù)特征，把向量的數(shù)量積及其運算問題轉化為代數(shù)問題，再利用三角函數(shù)的性質解決.建立平面直角坐標系，運算過程也隨之變?yōu)榇鷶?shù)化、程序化，從而降低思維難度.把復雜的問題簡單化，起到事半功倍的效果.向量是融數(shù)、形于一體的知識，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是中學數(shù)學知識的一個重要交匯點，成為聯(lián)系眾多知識點的媒介.向量的坐標運算很好地體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法.以向量為載體的題目越來越多地出現(xiàn)在高考題中.

參考文獻：

[1]謝靜.運用平面向量坐標運算的辦法[J].語數(shù)外學習（高中版下旬），2019（11）：54.

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