解答排列與組合問(wèn)題的常用措施

董海霞

排列組合是高中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容。排列與組合問(wèn)題一般與實(shí)際生活聯(lián)系緊密，題型多樣，解題思路靈活，解法也各不相同。同學(xué)們需要掌握排列組合問(wèn)題一些相應(yīng)的解題方法和技巧，才能攻克這一類問(wèn)題。

一、優(yōu)先法

優(yōu)先法是解答排列與組合問(wèn)題的基本方法。有些問(wèn)題中的元素有特殊要求，在求解過(guò)程中，我們需要優(yōu)先考慮特殊元素的排列方式，再對(duì)剩余元素進(jìn)行排列，最后利用分步計(jì)數(shù)原理求得總的排列數(shù)。

例1.安排A、B、C、D、E、F 6名義工照顧甲、乙、丙三位老人，每?jī)晌涣x工照顧一位老人，考慮到義工和老人的住址距離問(wèn)題，不安排義工A照顧老人甲，不安排義工B照顧老人乙，則安排方法共有__種。

分析：把6名義工看作6個(gè)不同元素，題目對(duì)義工A、B有著不同的要求，則A、B相當(dāng)于特殊元素。按照特殊元素優(yōu)先安排的解題思路，應(yīng)先安排義工A、曰的去向，再安排剩余4名義工的順序。

二、捆綁法

捆綁法主要應(yīng)用于元素相鄰的排列組合問(wèn)題。在運(yùn)用捆綁法解題時(shí)，我們要把相鄰的元素捆綁在一起當(dāng)作一個(gè)“整體”，再將這個(gè)“整體”看作一個(gè)元素和剩余的元素一起全排列。相鄰問(wèn)題通常會(huì)在問(wèn)題中給出明確的提示，如要求某些元素必須在一起，某些元素必須相鄰等。

例2.某校畢業(yè)典禮上安排了6個(gè)節(jié)目，考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮上節(jié)目演出順序的排列方案共有

種。

分析：在運(yùn)用相鄰元素求解節(jié)目排列種類時(shí)，我們首先要對(duì)問(wèn)題中的條件進(jìn)行分析，易知題中節(jié)目丙、丁為相鄰元素，然后，將這兩個(gè)元素捆綁起來(lái)，看作一個(gè)元素和其他元素一起排列，最后將不同情況的安排數(shù)相加即可。

三、先選后排法

有些排列與組合問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，屬于排列、組合混合的問(wèn)題。此時(shí)我們可以考慮運(yùn)用“先選后排”的策略來(lái)解題，即先按照問(wèn)題要求挑選其中的元素進(jìn)行組合，然后根據(jù)組合情況排列元素，最后根據(jù)分類、分步計(jì)數(shù)原理算出全部排列數(shù)。在求解混合問(wèn)題的過(guò)程中，我們要根據(jù)題中要求進(jìn)行合理分類，避免遺漏和重復(fù)分類的情況。

例3.某學(xué)校獲得5個(gè)高校自主招生推薦名額，其中甲大學(xué)2個(gè)，乙大學(xué)2個(gè)，丙大學(xué)1個(gè)，并且甲大學(xué)和乙大學(xué)都要求必須有女生參加，學(xué)校通過(guò)選拔定下3女2男共5個(gè)推薦對(duì)象，則不同的推薦方法共有（）。

A.36種 B.24種 C.22種 D.20種

分析：該問(wèn)題屬于排列與組合的混合問(wèn)題，即需要根據(jù)題目的要求選擇元素，可按照“先選后排”的思路解題，首先依據(jù)問(wèn)題要求對(duì)女生的去向進(jìn)行分類，然后在分類處理時(shí)，先排女生，后排男生，最后用分類與分步計(jì)數(shù)原理求得總共的方案數(shù)即可。

總之，優(yōu)先法、捆綁法、先選后排法均是解答排列與組合問(wèn)題的有效策略。在解題時(shí)，我們需要根據(jù)問(wèn)題中的條件和要求找到對(duì)應(yīng)的解題方法，仔細(xì)梳理解題的思路，做到“不重不漏”任何情況。

（作者單位：江蘇省射陽(yáng)縣陳洋中學(xué)）