南宋數(shù)學(xué)家楊輝的數(shù)學(xué)成就

汪曉明

楊輝，字謙光，錢塘（今浙江杭州）人，是南宋著名的數(shù)學(xué)家，與秦九韶、李冶、朱世杰并稱“宋元數(shù)學(xué)四大家”.從1261年到1275年，楊輝先后完成數(shù)學(xué)著作5部，共21卷，即《詳解九章算法》12卷，《日用算法》2卷，《乘除通變本末》3卷，《田畝比類乘除捷法》2卷和《續(xù)古摘奇算法》2卷（其中《詳解》和《日用算法》已非完書）.后三部著作合稱為《楊輝算法》.楊輝在總結(jié)前朝數(shù)學(xué)家的成果時，又極大地創(chuàng)新和發(fā)展了數(shù)學(xué)技術(shù)，推動了中國算數(shù)領(lǐng)域的進(jìn)步。

四階以上的縱橫圖，楊輝只畫出圖形而未給出作法.但他所畫的五階、六階乃至十階縱橫圖全都準(zhǔn)確無誤，可見他已經(jīng)掌握了高階縱橫圖的構(gòu)成規(guī)律.他的十階縱橫圖叫百子圖（圖4），各行各列的數(shù)字之和均為505。

三、楊輝三角

楊輝在《詳解九章算法》一書中還畫了一張表示二項(xiàng)式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱做“開方做法本源”，現(xiàn)在簡稱為“楊輝三角”，如圖5。

楊輝三角最本質(zhì)的特征是，它的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)則等于它肩上的兩個數(shù)之和。

北宋時期出現(xiàn)了一種名為增成法的算術(shù)，楊輝理解其中的規(guī)律后，進(jìn)一步完善了增成法的運(yùn)算和適用范圍.楊輝認(rèn)為，增成法雖然在一定程度上避免了試商，但當(dāng)被除數(shù)增多時，運(yùn)算量不僅會加大，正確率也不高.楊輝在所著《乘除通變算寶》一書中，概括了簡便的計(jì)算規(guī)律，比如“歸數(shù)求成十”“歸數(shù)自上加”等，為百姓解決計(jì)算問題提供了很多的方便。

楊輝在數(shù)學(xué)上的研究重點(diǎn)在于改進(jìn)籌算乘除計(jì)算技術(shù)，總結(jié)各種乘除捷算法，這也是由當(dāng)時的社會狀況決定的.唐代中期以后，社會經(jīng)濟(jì)得到較大發(fā)展，手工業(yè)和商業(yè)交易都具有相當(dāng)大的規(guī)模，因此，人們在生產(chǎn)、生活中需要數(shù)學(xué)計(jì)算的機(jī)會大大增加，這種情況迫切要求數(shù)學(xué)家們?yōu)槿藗兲峁┍阌谡莆?、快捷?zhǔn)確的計(jì)算方法.楊輝不遺余力地改進(jìn)了計(jì)算技術(shù)，大大加快了運(yùn)算工具改革的步伐。