三角恒等變換的四種常用方法

趙鑫

三角恒等變換在三角函數(shù)這一章中有著很重要的地位，在解答三角函數(shù)問題時我們常常需要用到各種三角恒等變換技巧進行恒等變換.這里總結了一些三角恒等變換的常用方法，希望同學們及時總結歸納.

一、降次與升次

降次與升次主要是將三角函數(shù)中的項的指數(shù)降低或者升高，從而使得解題過程簡化的一種變換方法.在運用降次與升次這一方法進行恒等變換時，同學們要學會巧妙地運用正弦、余弦、正切函數(shù)的二倍角公式及其變形.

例1.證明的值與x的取值無關.

分析：這個式子有一些復雜，有三個不同角的二次式、、，直接處理很麻煩，所以我們可以先利用余弦函數(shù)的二倍角公式降次，然后再進行化簡，這樣證明起來就會容易很多.

證明：

，

由此可見原式與x無關.

二、化弦法

化弦法主要是利用正弦，余弦，正切，余切，正割，余割這六個函數(shù)的基本關系進行互化，從而將函數(shù)式轉換為熟悉的正、余弦函數(shù)來解題的一種方法.常用到公式有，.

例2.求證.

分析：觀察這個式子，我們可以發(fā)現(xiàn)目標函數(shù)式等號兩邊的式子都含有正、余切函數(shù)，可利用，將函數(shù)式進行變形，從而證明等式成立.

證明：左邊，

右邊，

左邊=右邊.

三、常數(shù)代換

常數(shù)代換是三角恒等變換的一個常用技巧，常見的有“1”“”的代換，如等.在進行常數(shù)代換的過程中，同學們要注意結合函數(shù)結構和特征，選擇合適的代換式子將函數(shù)式中的常數(shù)進行代換，從而化簡函數(shù)式，使問題獲解.

例3.證明：.

證明：左邊

右邊 .

該函數(shù)式的左邊比較復雜，我們從左邊的式子開始，首先利用正弦函數(shù)的二倍角公式將角統(tǒng)一，然后利用“1”的代換，運用，從而使sin2x變換為，進而證明結論成立.

四、引入輔助角

對于同時含有正弦、余弦函數(shù)的三角函數(shù)式，我們常需要引入輔助角，利用輔助角公式將三角函數(shù)式轉換，.值得說明的是，這里輔助角所在的象限由a、b的符號確定，角的值由確定.通過引入輔助角，我們可以將三角函數(shù)式中的函數(shù)名統(tǒng)一，這有利于簡化三角函數(shù)式.

例4.求值.

分析：函數(shù)式中含有，它們之間存在著一定的聯(lián)系，所以我們可以先化切為弦，再引入輔助角，使用輔助角公式即可求出答案.

解：原式

.

以上的四種方法都是三角恒等變換的常用方法.在進行三角恒等變換時，同學們要注意觀察三角函數(shù)式中角、項的次數(shù)、函數(shù)名稱之間的差異，合理選擇恰當?shù)暮愕茸儞Q技巧，如降次與升次、化弦法、常數(shù)代換、引入輔助角等進行變換.

（作者單位：江蘇省啟東市匯龍中學）