數(shù)學(xué)思想在初中教學(xué)中的體現(xiàn)

沈志萍

摘要：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)內(nèi)容體系的精髓，其能將學(xué)生的技能得到提升，素養(yǎng)得到長進(jìn)。本文主要探究如何在對初中學(xué)生傳授知識的同時，融入數(shù)學(xué)思想方法，目標(biāo)是促使數(shù)學(xué)授課者認(rèn)識到數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法在教學(xué)中的重要性，以便于師生對其展開學(xué)習(xí)。本文內(nèi)容為闡明數(shù)學(xué)思想方法滲透的原因及意義，介紹滲透數(shù)學(xué)思想方法的方式，介紹滲透數(shù)學(xué)思想方法的準(zhǔn)則及須知和介紹初中常用的數(shù)學(xué)思維方式及其應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法;中學(xué)數(shù)學(xué);滲透

前言：《九章算術(shù)》和《幾何原本》對數(shù)學(xué)思想模式產(chǎn)生了很大影響，在方法體系和內(nèi)涵上有其自身的亮點和風(fēng)格，但它們的思維方式卻迥然不同，但都是數(shù)學(xué)思想和方法的起源。在發(fā)展史上，數(shù)學(xué)思想方法歷經(jīng)了四大轉(zhuǎn)變：由清晰數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)槟：龜?shù)學(xué)、由常數(shù)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞繑?shù)學(xué)、由必要數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)榭赡軘?shù)學(xué)、由算術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)。數(shù)學(xué)思想和方法的幾個主要轉(zhuǎn)折點的歷史標(biāo)志著，數(shù)學(xué)的成長不僅是數(shù)量的積累，而且是本質(zhì)的超越。

人類知識的本質(zhì)分別是科學(xué)的知識、思維方式。進(jìn)入21世紀(jì)后，我國教育觀點產(chǎn)生了很大的變動，為了更好的進(jìn)行素質(zhì)教育，我們將逐步擺脫以考試為主的教育方式?？茖W(xué)的思維和方式是構(gòu)成數(shù)學(xué)思想的主要成分。它的重要性在新的教育模式中日益顯現(xiàn)。數(shù)學(xué)思維方式是需要經(jīng)過進(jìn)一步思考才能得到的，它把課本上數(shù)學(xué)內(nèi)容作為根基，卻又是課本上內(nèi)容的升華。雖然它不能看到或觸摸，但它總是影響我們的生活和學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)思維方式的教授作為數(shù)學(xué)教育的緊要部分，逐步遭到人們的器重，這可能與人們愈來愈重視人的技能和素養(yǎng)的培養(yǎng)有關(guān)。

學(xué)習(xí)者已經(jīng)在中學(xué)學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)。進(jìn)入社會后，他們很少有機(jī)會應(yīng)用它。因而，無論他們從事怎么樣的崗位，在學(xué)校學(xué)到的知識都將在幾年后被遺忘。然而，數(shù)學(xué)的靈魂和思維方式有著不一般的效力，一般是抹不掉的。但我們?nèi)缃衩媾R的問題是，數(shù)學(xué)思維方法在授課中熏陶的重要性還沒有得到充足的表現(xiàn)。只關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容的傳播卻無視知識產(chǎn)生過程中所運(yùn)用的數(shù)學(xué)理論，這種強(qiáng)硬的灌輸式授課方式，在數(shù)學(xué)課堂上屢見不鮮的。事實上，依照傳統(tǒng)的應(yīng)試教育展開教學(xué)，也會有一小部分學(xué)習(xí)者，能夠在他日后的學(xué)習(xí)工作中利用所學(xué)的數(shù)學(xué)思維方式處理問題。但更多的是靠自己的奮斗，通過不停地探求獲得某些成就。提倡增強(qiáng)對數(shù)學(xué)思維方式在授課中的的滲透，目的和意義是：讓學(xué)習(xí)者減小在黑暗中探究的過程，靈活的運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法由無目的、被動的運(yùn)用轉(zhuǎn)變?yōu)樽园l(fā)、自主地運(yùn)用。

在大綱中清楚明了的確定數(shù)學(xué)思想方法是知識的根基，在授課過程中它是引導(dǎo)學(xué)生形成完整的認(rèn)知框架的媒介，是學(xué)生把固定的知識轉(zhuǎn)嫁為自身技能的途徑。因此，數(shù)學(xué)思維模式是這門學(xué)科的精華部分，要想學(xué)好它，學(xué)習(xí)課本上的內(nèi)容是根基，學(xué)習(xí)思維方式才是關(guān)鍵。盡管我國的教育體質(zhì)是多年前提出的，素質(zhì)教育的成果也有所顯現(xiàn)，但我國創(chuàng)新人才培養(yǎng)的最終目標(biāo)仍然任重而道遠(yuǎn)。本文主要講述數(shù)學(xué)思想方法在初級中學(xué)授課中的滲透，期望能對數(shù)學(xué)教學(xué)有所輔助。

1.數(shù)學(xué)思想方法滲透的原因和意義

在教育質(zhì)量和教育意義上培養(yǎng)個體思維能力，有利于提升個體思維品質(zhì)和各種才能。為此，我們從為什么要開展素質(zhì)教育、數(shù)學(xué)教育學(xué)科的本質(zhì)和特點、學(xué)生個人發(fā)展等方面展開了討論。

（1）現(xiàn)階段的教育模式迫使我們滲透數(shù)學(xué)思想方法：上個世紀(jì)八九十年代，《中小學(xué)數(shù)學(xué)課程與評估》中，國內(nèi)數(shù)學(xué)學(xué)科教師組織研討出了象征“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的五大標(biāo)準(zhǔn)：具備解決數(shù)學(xué)問題的本領(lǐng);領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的重要性;對教育者們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有信心;學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式;學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)言語，學(xué)會觀點互換。我國沒有照搬其他國度的教育變革方式，但它依然有很多優(yōu)點，如重視數(shù)學(xué)思維方法。我國在多年前就已施行九年制義務(wù)教育，相關(guān)部門倡導(dǎo)應(yīng)該把用考試的方式來選取精英的教育，轉(zhuǎn)為各個方面一齊進(jìn)步的教育，當(dāng)然，數(shù)學(xué)教育也要進(jìn)行這種教育，這是必不可少的。張典舟教授曾把數(shù)學(xué)素質(zhì)總結(jié)為以下幾個方面：基本知識的概念;創(chuàng)新能力水平;思維素養(yǎng);科學(xué)的言語程度。其中前三條與數(shù)學(xué)思維方式之間的聯(lián)系更為密切。

（2）教師自身的發(fā)展需要重視數(shù)學(xué)思維方法的滲透：在授課活動中，師長的這個角色有著緊要的作用，被旁人替代是不行的。不僅要教學(xué)習(xí)者知識，也要組織課堂活動，做學(xué)習(xí)者的道路上的指引者。授課者的數(shù)學(xué)素質(zhì)和授課水平，對滲入數(shù)學(xué)思維方式的成敗有著重大影響。由于學(xué)習(xí)方法的數(shù)量很多（如函數(shù)的思想，想法，幾個形式結(jié)合的想法，等）精煉的授課內(nèi)容，以內(nèi)容為載體授課，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)容數(shù)學(xué)思想上是不能缺少的，因此它是一種暗含的數(shù)學(xué)內(nèi)容，需要不竭的學(xué)習(xí)練習(xí)。由此，在數(shù)學(xué)教科書中直接指出“XX”的概念，“XX”意識，滲透著有計劃、有條理的數(shù)學(xué)思維方法。例如，教師授課中，講述每一個題目特點或者是剖析題目內(nèi)容時，都可以強(qiáng)調(diào)或解釋此處所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，并要求學(xué)生有層次的掌握，使他們理解、控制和應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，這就需要培養(yǎng)多量有素養(yǎng)、有資質(zhì)的授課者。一個完美的數(shù)學(xué)授課者不僅要有雄厚的數(shù)學(xué)功底和精湛的數(shù)學(xué)知識，更需要有豐碩的教學(xué)技能與教育思想。

（3）加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維方法的滲透，有利于優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)：認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)中構(gòu)建的心理框架，也是學(xué)習(xí)者智力的體現(xiàn)。認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)者的思維，包括學(xué)習(xí)者把握數(shù)學(xué)學(xué)識，理解的學(xué)問間的關(guān)系，應(yīng)用數(shù)學(xué)思維方式等。這能映射出學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)領(lǐng)悟水平，具備個性化的特點。在潛意識中建立自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知框架，是所有受教育者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的必由之路。當(dāng)然，他們自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)又是另一回事。或者說學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)認(rèn)知構(gòu)造就是在學(xué)習(xí)的進(jìn)程中，不斷獲得增補(bǔ)和拓展，使其更加“有效”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維方式在構(gòu)建學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有著關(guān)鍵影響。

數(shù)學(xué)體系內(nèi)部具備規(guī)律性，它是數(shù)學(xué)思維方式的體現(xiàn)，需要學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)的過程不停的總結(jié)與領(lǐng)會，從而形成完整的知識框架。例如，在學(xué)習(xí)許多數(shù)學(xué)內(nèi)容中都融合著函數(shù)的思想;“——對應(yīng)”的思想在代數(shù)中表現(xiàn)的淋漓盡致。對授課過程來說，數(shù)學(xué)思維方式很重要。因為學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)研習(xí)中逐漸形成。最后，能否蘊(yùn)含重要的數(shù)學(xué)思維方式，與學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)能否有效，有著絲絲縷縷的關(guān)系。而思想方法的養(yǎng)成與數(shù)學(xué)思維方法的滲透是密不可分的。良好的思維素養(yǎng)等處處展示著數(shù)學(xué)思想方法的加入和熏陶。

2.如何滲透數(shù)學(xué)思想方法

刻板學(xué)習(xí)和意旨性學(xué)習(xí)兩種相差甚遠(yuǎn)的學(xué)習(xí)方法是依照奧蘇泊的認(rèn)知理論提出來的?？贪鍖W(xué)習(xí)僅限于讓學(xué)習(xí)者取得數(shù)學(xué)語言的辨別和識記，定理、公理、公式的定義，領(lǐng)會和記憶（如幾何圖形的面積公式，幾何周長公式），套用公式，模擬示例來處置問題，學(xué)會簡單的技能。意旨性的學(xué)習(xí)，使學(xué)習(xí)者能夠領(lǐng)悟符號所表達(dá)的含義，特別是學(xué)問的本質(zhì)內(nèi)涵，并可以把握學(xué)問之間的關(guān)系，通過全面的研討來達(dá)到掌握。讓學(xué)習(xí)者用發(fā)展的眼光看問題是數(shù)學(xué)知識傳播的一個目標(biāo)，除了知識的獲取之外，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還應(yīng)該包括完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、擴(kuò)展思維、提升素養(yǎng)等。它不是機(jī)械學(xué)習(xí)和有意義的學(xué)習(xí)所能采取的，并且對融入數(shù)學(xué)的思維方法，有很大的作用。

（1）滲透數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)思想方法不可以當(dāng)成初級中學(xué)單獨的課程，因為初中生基本知識沒有徹底掌握，對于抽象的知識不能完全接受，所以只能在學(xué)習(xí)課本上內(nèi)容的進(jìn)程中，滲入數(shù)學(xué)思維方式。使學(xué)生在潛意識中意識到它的存在在知識逐漸形成和深遠(yuǎn)發(fā)展的進(jìn)程中，教師應(yīng)該抓住機(jī)遇，注重數(shù)學(xué)主要概念的傳授，讓學(xué)習(xí)者在腦海中逐漸形成解決問題、探索事物規(guī)律的本領(lǐng)，從而造就他們的科學(xué)創(chuàng)新精神和認(rèn)識，獲得利用新舊知識相結(jié)合來處理問題的才能。倘若我們忽略或縮段這些過程，不顧一切的將知識結(jié)論生硬的鑲嵌在受教育的腦海中，這樣熏染數(shù)學(xué)思想和方法的機(jī)遇將會擦肩而過。在初中教材中有《有理數(shù)》這一單元，《比較有理數(shù)大小》是這一章很重要的一小節(jié)，聯(lián)系著這一章的整個知識結(jié)構(gòu)，但是部分教材中將它刪去。在學(xué)習(xí)絕對值后，我們需要將“判斷有理數(shù)大小”和“數(shù)軸”關(guān)聯(lián)，運(yùn)用數(shù)字和圖形相結(jié)合的思想。但刪除了“比較有理數(shù)大小”這一部分后，教學(xué)過程過于激進(jìn)，知識難度難以突破。假如我們在教學(xué)中把握循序漸進(jìn)的準(zhǔn)則，數(shù)字與圖形相結(jié)合的方法會對學(xué)習(xí)者有所熏陶。

（2）訓(xùn)練數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)思想和方法種類不少，分為很多難易水平，要想把握好每個程度，進(jìn)行有效的滲透。初中老師就需要把教材爛熟于心，從教材中提煉和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，從各個方面找出每個知識所運(yùn)用的思想方法。教學(xué)要根據(jù)初級中學(xué)三個年級的特點、學(xué)識儲備水平、領(lǐng)會技能和可以接納性，從易到難分層次進(jìn)行。

（3）掌握數(shù)學(xué)方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想：要想徹底駕馭數(shù)學(xué)內(nèi)容，就需要經(jīng)過很多次的訓(xùn)練。數(shù)學(xué)思想方式的構(gòu)建是很漫長的，只有通過不斷訓(xùn)練，學(xué)生才能夠完全掌握。此外，為了使學(xué)習(xí)者構(gòu)成自發(fā)使用數(shù)學(xué)思維和方法的認(rèn)識，學(xué)生需要樹立本人的“數(shù)學(xué)思維和方法體系”，這需要一個充分訓(xùn)練、時時改善、一直總結(jié)的進(jìn)程。只有學(xué)生掌握了學(xué)習(xí)方法，才能夠在遇到新的問題的情況中，可以不懼怕，可以用曾經(jīng)學(xué)會的思維方式來處置問題。

（4）提煉數(shù)學(xué)方法，完善數(shù)學(xué)思想：為了使學(xué)習(xí)者對數(shù)學(xué)思維方式有一個明了的看法，在授課的同時中要恰當(dāng)、及時的提煉和總結(jié)。在每一個不一樣的章節(jié)中都分散著數(shù)學(xué)思維方式，用不同的數(shù)學(xué)思維模式能夠處置同一問題，因而，授課者要對所有數(shù)學(xué)問題進(jìn)行泛化的分析。要想使數(shù)學(xué)思維和方法的教授得到執(zhí)行。授課者對學(xué)習(xí)者進(jìn)行有目的地培養(yǎng)自發(fā)總結(jié)數(shù)學(xué)思維和方法的技能非常重要。

3.滲透原則及注意事項

滲透數(shù)學(xué)思想和方法的終極目標(biāo)是提高學(xué)習(xí)者的思維素養(yǎng)和技能，讓個人的整體素養(yǎng)得到長進(jìn)。它的滲透，主要是在授課活動中體現(xiàn)的，在此進(jìn)程中，也有注意原則及事項。

3.1滲透原則

（1）化隱式為顯式原則：知識的總是隱含于數(shù)學(xué)思維方法之中。盡管知識教學(xué)中包含著思想方法，但學(xué)習(xí)者只會注意到最淺層的數(shù)學(xué)知識，不能深入的領(lǐng)悟其中的思想方法，如果不把思想方法作為授課的基本環(huán)節(jié)的話，學(xué)習(xí)者將很難領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)學(xué)科的真義。老師在授課過程中必須要把思路弄清楚，把傳授知識作為基本任務(wù)，在此進(jìn)程中，向?qū)W習(xí)者教授數(shù)學(xué)思想方法。

（2）漸進(jìn)原則：只是掌握和理解課本上的知識和一般技能是難以形成數(shù)學(xué)方法的，學(xué)生對事物的本質(zhì)關(guān)系初步的認(rèn)識是它的基本要求。與此同時，數(shù)學(xué)思維方式在知識教授過程中的渲染，應(yīng)使學(xué)生順應(yīng)認(rèn)知程度的開展，按照順序反復(fù)接受，逐步提升技能，才能漸漸學(xué)會應(yīng)用。把不同階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)合起來授課。

（3）學(xué)生參與原則：數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)思維教學(xué)的區(qū)別顯而易見。在知識講授活動中是領(lǐng)會知識本身，強(qiáng)調(diào)記憶。數(shù)學(xué)思維的數(shù)學(xué)是以實際行動為核心的教學(xué)活動。離開數(shù)學(xué)知識授課活動的數(shù)學(xué)思維方法授課是不存在的。只有號召學(xué)習(xí)者進(jìn)入到授課過程中去，在授課者的引領(lǐng)下才可以逐漸理解、構(gòu)建、駕馭數(shù)學(xué)思想方法。獲得一種思想發(fā)展的能力，這也是現(xiàn)階段教育模式的目標(biāo)。

3.2注意事項

數(shù)學(xué)知識在傳授中的辯證統(tǒng)一性是由數(shù)學(xué)基本知識和深層知識互相促進(jìn)的關(guān)系決定的，因此我們總是采用操作——理解——掌握的教學(xué)模式。而運(yùn)用這種授課形式時需要非常當(dāng)心：①學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)根本方法是融入數(shù)學(xué)思維模式的中心;②老師在教授學(xué)習(xí)者每一個教學(xué)內(nèi)容的時候，都要考慮到數(shù)學(xué)思維方式的浸透;在授課過程中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)習(xí)者學(xué)會提出、分析、解決問題，不能一味生硬的向?qū)W生灌輸課本上的內(nèi)容;③只管數(shù)學(xué)思維方式藏匿于表皮知識體系當(dāng)中，然而，假使授課者沒有專門的將它作為教學(xué)的一部分展示出來，學(xué)習(xí)者本身是基本體會不到的。當(dāng)然，也就難以在探求知識的過程中使用它。

4.實際應(yīng)用

數(shù)學(xué)思想和方法和學(xué)習(xí)理論是同步開展的，我們要了解他們是在時時構(gòu)成的，意識到他們的實質(zhì)本征、思維進(jìn)程和操作形式，從而達(dá)成靈活應(yīng)用，有意識地一步一步來處理這個問題。其次，它是詳細(xì)的數(shù)學(xué)思維方法，在考慮和處理問題的進(jìn)程中體現(xiàn)出來，例如在數(shù)形結(jié)合、分類討論、規(guī)劃思想等方面。

（1）數(shù)形結(jié)合：解析幾何是笛卡爾在歐幾里得幾何、代數(shù)的方法之上深研細(xì)究、對比分析構(gòu)建的，給幾何帶來了一種全新的研究方法。經(jīng)過坐標(biāo)系，在平面上用兩條曲線代表兩個變量x和y，成為數(shù)與形的組合方式，在數(shù)學(xué)史上有里程碑式的意義。盡管當(dāng)今的數(shù)字形式和思維方式有更廣泛的含義，但本質(zhì)是一樣的。它采取了代數(shù)與幾何方法長處的組合：幾何圖像入眼更直觀，易于了解;代數(shù)方法使用寬泛，解決問題的步驟固定，易于操作和理解。因而，數(shù)字與圖形相結(jié)合的思想在初級中學(xué)授課中中是最常用的，也是不可或缺的。

（2）分類討論：所謂分類討論，就是當(dāng)題目給出的事物不能同一探討時，需要對這個事物展開不同情況下的研究，從本質(zhì)上講，分類討論就是根據(jù)對象的異同處，進(jìn)行不同類的研究。例如： 在解答這道題的過程中，首先需要對二次項系數(shù) 進(jìn)行如下類：（1） ;⑵ .對于條件⑵，很容易解得不等式;那么對于條件⑴來說，還應(yīng)繼續(xù)對 的取值進(jìn)行分類： 或 ，因為在這兩種條件下，不等式的解集也不同，想要明確這一點，還會碰到 與 大小關(guān)系的確定，故還應(yīng)該進(jìn)行分類討論。

（3）化歸思想：化歸思想就是，把處理題目A的方法，變化成處理A*的方法的思維模式。在數(shù)學(xué)中，往往會把不知道的，難以解決的問題分解成已經(jīng)知道的，簡略的;把整個問題作為問題的一部分來研討等等，這都是轉(zhuǎn)化思維方法的詳細(xì)表現(xiàn)。

總結(jié)：

從教育的立場看，數(shù)學(xué)知識包括科學(xué)的內(nèi)容和這些內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思維方式。它的根本觀念的更新，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維方式對數(shù)學(xué)授課活動來說的重要性。在這一點上，本文最終引用了米山國藏的看法：科學(xué)工作者數(shù)學(xué)的精神、思維方式是非常須要的，不管其擁有多少數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容是可以記住的，但數(shù)學(xué)的精神、思想和方法卻從不一樣，這可能是影響我們一生的。不管對哪個行業(yè)的人，特別是數(shù)學(xué)授課者來說，數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，比數(shù)學(xué)自身的內(nèi)容要重要的多。

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本文支持項目為：河南省高等學(xué)校重點科研項目（19A120003）;河南師范大學(xué)青年基金項目（5101019170204）。