內(nèi)外部表征視角下對(duì)數(shù)學(xué)高考應(yīng)用題的分析

洪爽

摘要：數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決過(guò)程中，問(wèn)題表征方式?jīng)Q定了解題策略的選擇。問(wèn)題表征分為內(nèi)部表征與外部表征，外部表征主要通過(guò)文字表征、符號(hào)表征、背景表征、圖表表征來(lái)影響應(yīng)用題的解決;內(nèi)部表征通過(guò)概念表征、命題表征、概念圖表征和圖式表征影響應(yīng)用題的解決。不同的表征方式間結(jié)構(gòu)特征的差異性，影響了應(yīng)用題解決方式上的差異性，通過(guò)認(rèn)識(shí)內(nèi)外部表征將有助于解決實(shí)際應(yīng)用題。

關(guān)鍵詞：內(nèi)部表征;外部表征;高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出要求：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力”[1]。在新課程標(biāo)準(zhǔn)理念的指導(dǎo)下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)更加重視學(xué)生的能力培養(yǎng)和應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)，高考試題中也常以“生活化”的應(yīng)用題考察學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

美國(guó)現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家西蒙認(rèn)為：“問(wèn)題表征是問(wèn)題解決的一個(gè)中心環(huán)節(jié)，它說(shuō)明了問(wèn)題在頭腦中是如何呈現(xiàn)、如何表現(xiàn)出來(lái)的”[2]。

一般地，表征是指學(xué)習(xí)者對(duì)信息的記載以及表達(dá)方式，其中包含形式上的記錄和呈現(xiàn)信息，以及過(guò)程上的運(yùn)用和調(diào)整信息。因此，問(wèn)題表征既是過(guò)程上對(duì)問(wèn)題的理解和內(nèi)化，也是形式上對(duì)問(wèn)題理解的一種結(jié)果，即問(wèn)題在頭腦中的呈現(xiàn)方式[3]。問(wèn)題的解決受問(wèn)題表征質(zhì)量的作用。在解決應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生通常將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)求解數(shù)學(xué)模型達(dá)到解決問(wèn)題的目的，在抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生需要進(jìn)行恰當(dāng)?shù)谋碚饕赃_(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題從而確立適當(dāng)?shù)慕忸}策略。

目前大多數(shù)學(xué)者認(rèn)同問(wèn)題表征由內(nèi)部表征和外部表征兩部分構(gòu)成這一觀點(diǎn)，其中，內(nèi)部表征表現(xiàn)為學(xué)習(xí)者對(duì)問(wèn)題的大腦思考過(guò)程，而外部表征主要呈現(xiàn)形式為圖形，表格、模型等。

下面將從外部表征與內(nèi)部表征兩方面對(duì)2019年數(shù)學(xué)高考應(yīng)用題進(jìn)行分析：

1外部表征對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

Zhang[4]認(rèn)為外部表征主要是情景中的結(jié)構(gòu)以及知識(shí)點(diǎn)，具體可以表現(xiàn)為限制條件、物體、維度、外部規(guī)則以及物理符號(hào)等，在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，也即將問(wèn)題用圖形、表格、模型等外部的形式表現(xiàn)出來(lái)。

1.1文字表征對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

文字表征即能夠?qū)㈥愂鲂缘拿枋鲛D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)命題，這是問(wèn)題表征的關(guān)鍵一步，對(duì)題目的理解將直接影響解題策略的選擇與調(diào)控，表征恰當(dāng)與否影響了解題的成敗。

例1（2019年高考全國(guó)一卷理.15）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）。根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”。設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率是_______

【解析】本題給出了甲隊(duì)在主、客場(chǎng)取勝概率，要求解甲隊(duì)4：1獲勝的概率，學(xué)生在文字表征時(shí)應(yīng)理解甲隊(duì)取勝概率受主客場(chǎng)影響，其次，還需對(duì)4：1進(jìn)行重點(diǎn)表征，4：1表明了甲隊(duì)在第五場(chǎng)必須取勝，且在前四場(chǎng)中輸了一場(chǎng)比賽;學(xué)生閱讀題目時(shí)應(yīng)首先理解題目所提供的信息，理解并表征其中的關(guān)鍵字詞，以便于選擇正確的解題策略。

1.2符號(hào)表征對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

新課改背景下，數(shù)學(xué)教育更加重視數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)符號(hào)可以幫助學(xué)生加深數(shù)學(xué)概念理解，掌握數(shù)量之間的關(guān)系，簡(jiǎn)化并解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)都離不開(kāi)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，數(shù)學(xué)形式化和符號(hào)化必需借助符號(hào)語(yǔ)言來(lái)體現(xiàn)。但由于數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言高度的簡(jiǎn)潔抽象特征，當(dāng)接觸到含有大量符號(hào)的應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生在符號(hào)表征上易遇到阻礙，進(jìn)而容易畏懼該類(lèi)題型。

1.3背景表征對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

弗賴(lài)登塔爾主張數(shù)學(xué)教育體系的內(nèi)容應(yīng)該是與現(xiàn)實(shí)密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)，能夠在實(shí)際中得到應(yīng)用的數(shù)學(xué)，即“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”[5]。他認(rèn)為數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，也必須扎根于現(xiàn)實(shí)，并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)。如果在數(shù)學(xué)教育中完全脫離現(xiàn)實(shí)背景，則會(huì)徒增學(xué)生解題的難度，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身的意義也就難以體現(xiàn)。因此，高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的編制須考慮實(shí)際生活背景的選用。對(duì)于一些實(shí)際背景的題目，當(dāng)學(xué)生用現(xiàn)實(shí)的眼光來(lái)分析解決問(wèn)題時(shí)，將有助于學(xué)生在體驗(yàn)生活化數(shù)學(xué)的同時(shí)，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

1.4圖表表征對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

圖表表征是指對(duì)具體的問(wèn)題用幾何圖形或者表格的形式表示，圖形和表格具有形象直觀，簡(jiǎn)潔明了的特點(diǎn)，在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的過(guò)程中，可使得題目的條件與結(jié)論之間的關(guān)系變得一目了然便于理解，使得解題過(guò)程簡(jiǎn)單化。

例2（2019年高考全國(guó)三卷文.4）《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱(chēng)為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著。某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）

A.0.5 ? ? ? ? ? ? B.0.6 ? ? ? ? ? ?C.0.7D.0.8

【解析】本題要求解閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值，文本中涉及到《西游記》和《紅樓夢(mèng)》讀者人數(shù)，閱讀完文本后可發(fā)現(xiàn)文本數(shù)據(jù)是關(guān)于兩大名著讀者數(shù)及其數(shù)量關(guān)系的，可用線(xiàn)段圖形式表征出來(lái)，如下圖：

線(xiàn)段圖具有直觀、形象的特點(diǎn)，在解決應(yīng)用題中能幫助學(xué)生掌握數(shù)量間的關(guān)系，分析明確題意，并在線(xiàn)段圖的外部表征下，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)列出解決問(wèn)題的關(guān)系式以解決問(wèn)題。

2內(nèi)部表征對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

內(nèi)部表征是問(wèn)題解決者依賴(lài)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在大腦中思考問(wèn)題的過(guò)程，這一過(guò)程受到注意、感知、記憶等心理過(guò)程的制約。問(wèn)題的內(nèi)部表征也是問(wèn)題解決的關(guān)鍵，錯(cuò)誤的或不完整的內(nèi)部表征將會(huì)成為問(wèn)題解決的內(nèi)部障礙[6]。

舍菲爾德尤其強(qiáng)調(diào)知識(shí)的表述方式和知識(shí)的良好組織，僅僅在頭腦中存在知識(shí)，并不能保證其能得到有效應(yīng)用，豐富的知識(shí)并加以?xún)?yōu)化的結(jié)構(gòu)才能為題意的本質(zhì)理解與思路的迅速尋找創(chuàng)造成功的條件，可見(jiàn)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有利于在問(wèn)題解決過(guò)程中信息的提取和運(yùn)用[7]。在某些情況下，過(guò)多的知識(shí)儲(chǔ)備也會(huì)給學(xué)生帶來(lái)較大的解題困擾，學(xué)生難以在眾多的知識(shí)中尋找到與題目相關(guān)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。因此，學(xué)生在腦海中建立有序、有組織的知識(shí)結(jié)構(gòu)能夠?yàn)榻忸}提供有效的幫助。

如下將從命題表征、概念表征、概念圖表征、圖式表征四個(gè)方面闡述內(nèi)部表征。

2.1概念表征對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

數(shù)學(xué)概念表征指對(duì)數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式，從不同層次和不同角度來(lái)表述數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。喻平提出了概念域和概念系的定義：一個(gè)數(shù)學(xué)概念C的所有等價(jià)定義的圖式，叫做概念C的概念域;一組具有數(shù)學(xué)抽象關(guān)系的概念網(wǎng)絡(luò)的圖式叫做概念系[8]。在概念學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)者須從多角度、多背景下去深入了解概念，從而在頭腦中形成概念體系，否則當(dāng)從另一側(cè)面去闡述同一個(gè)概念時(shí)，他們就會(huì)不得要領(lǐng)。有研究表明，學(xué)生在解題過(guò)程中的概念表征通常依賴(lài)于表象表征，也即依賴(lài)于數(shù)學(xué)概念表征的意象表征性，即學(xué)生會(huì)尋找一個(gè)或一系列的替代物來(lái)替代外來(lái)的數(shù)學(xué)概念[9]。

2.2命題表征對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

喻平同時(shí)也提出了命題域和命題系的概念，他認(rèn)為與一個(gè)命題等價(jià)的命題集的圖式叫做這個(gè)命題的命題域;在一個(gè)命題集中，任意一個(gè)命題都至少與其它某一個(gè)命題有“推出”關(guān)系，就稱(chēng)這個(gè)命題集的圖式為一個(gè)命題系[10]。命題網(wǎng)絡(luò)是一種陳述性知識(shí)表征形式，是由若干個(gè)具備共同成分的命題相互聯(lián)系而形成的。學(xué)生在學(xué)習(xí)不同的知識(shí)點(diǎn)時(shí)有可能會(huì)遇到相同的知識(shí)模塊，如果能在腦海中對(duì)這些對(duì)應(yīng)的知識(shí)模塊進(jìn)行良好的命題表征，對(duì)解題將會(huì)有很大的幫助。

2.3概念圖表征對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

概念圖是由美國(guó)康奈兒大學(xué)諾瓦克教授等人提出的，是用于組織和表征知識(shí)的工具，它通常將某一主題的有關(guān)概念置于圓圈或方框之中，再以各種連線(xiàn)將相關(guān)概念和命題連接，從而形成了關(guān)于該主題的概念或命題網(wǎng)絡(luò)，能夠形象化地表征學(xué)習(xí)者的知識(shí)結(jié)構(gòu)及對(duì)某一主題的理解[11]。概念圖反映了某一領(lǐng)域知識(shí)的系統(tǒng)性和完整性，有助于學(xué)習(xí)者從整體上把握知識(shí)，領(lǐng)會(huì)所學(xué)內(nèi)容的概念，和各個(gè)概念的層級(jí)及其概念間的聯(lián)系;其次，概念圖圖形結(jié)構(gòu)的直觀鮮明特性，有助于促進(jìn)學(xué)習(xí)者對(duì)知識(shí)技能的理解提升[12]。概念圖作為知識(shí)表征的工具，在實(shí)際生活問(wèn)題的解決中，能夠幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題、了解問(wèn)題，選取合適的解題策略解決問(wèn)題。

例3（2019年高考江蘇卷.18）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為0的圓，湖的一側(cè)有一條直線(xiàn)型公路l，湖上有橋AB（AB是圓0的直徑）。規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P， Q，并修建兩段直線(xiàn)型道路PB， QA，規(guī)劃要求：線(xiàn)段PB， QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)0的距離均不小于圓0的半徑。已知點(diǎn)A， B到直線(xiàn)1的距離分別為AC和BD（C， D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6， BD= 12 （單位：百米）.

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng);

（2）規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由;

（3）略

【解析】本題第（1）問(wèn)要求解道路PB的長(zhǎng)度，根據(jù)已知條件，學(xué)生在垂直條件下可以聯(lián)想到直角三角形的勾股定理;第（2）問(wèn)為判斷P，Q選址是否符合規(guī)劃要求，在適當(dāng)添加輔助線(xiàn)后，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)圖中包含較多的三角形，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，學(xué)生可以對(duì)三角形的邊、角及性質(zhì)定理進(jìn)行知識(shí)回憶，可得到如下圖的概念圖表征：

在該表征方式的作用下，學(xué)生可以在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中迅速找到與問(wèn)題相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而確定解題策略。概念圖表征方式可以有效地提升學(xué)生的解題能力，增加解題思路與方法。

2.4圖式表征對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的過(guò)程中，借助圖式表征能夠加強(qiáng)學(xué)習(xí)者對(duì)問(wèn)題情境及相關(guān)信息的理解。圖式推動(dòng)了學(xué)生的信息加工，通過(guò)對(duì)新信息進(jìn)行形象化精制，使之與其它信息（已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)）相聯(lián)系，一方面在現(xiàn)實(shí)生活元素和學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)之間架起一座橋梁，另一方面又幫助學(xué)生用已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)去同化、順應(yīng)新信息，使學(xué)生能更好地學(xué)會(huì)知識(shí)并活用遷移[13]。

內(nèi)外部表征在高考應(yīng)用題解決中發(fā)揮著重要作用，外部表征能夠幫助學(xué)生深入分析理解題目條件，進(jìn)而為選擇合適的解題策略奠定基礎(chǔ);內(nèi)部表征可以幫助學(xué)生建立知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，深入領(lǐng)會(huì)知識(shí)點(diǎn)在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用。在應(yīng)用題教學(xué)過(guò)程中，教師可適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生的表征取向，以增加解題思路和解題方法，進(jìn)而選取最優(yōu)方法解題。

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課題立項(xiàng)：

本文是華南師范大學(xué)創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目《心理機(jī)制對(duì)高中數(shù)學(xué)解題影響的實(shí)證研究》編號(hào)20190403的階段性研究成果。