巧用不等式確定阻值范圍

黃繼奎

在有關(guān)滑動(dòng)變阻器型動(dòng)態(tài)電路計(jì)算中，常會(huì)涉及在保證電路安全的情況下求解滑動(dòng)變阻器的阻值范圍問題。此類題由于綜合性強(qiáng)、難度大，很多同學(xué)總是望而生畏。其實(shí)，解題中若能巧列不等式組則可快速求解。下面舉例介紹。

類型一：滑動(dòng)變阻器與用電器串聯(lián)

例1（2019·山東·東營(yíng)）如圖1所示，測(cè)量小燈泡電功率的電路中，電源電壓恒為6 V，電流表量程為0～0.6 A，電壓表量程為0～3 V，滑動(dòng)變阻器規(guī)格為“50 Ω 1 A”，小燈泡規(guī)格為“2.5 V 0.25 A”，若不考慮小燈泡阻值隨溫度的變化，小燈泡兩端電壓不允許超過額定值，閉合開關(guān)，則滑動(dòng)變阻器的取值范圍為 。

分析：由電路圖可知，滑動(dòng)變阻器與燈泡串聯(lián)，電壓表測(cè)燈泡兩端的電壓，電流表測(cè)電路中的電流。通過電流表、滑動(dòng)變阻器和小燈泡的最大電流分別為0.6 A、1 A和0.25 A，由于在串聯(lián)電路中電流處處相等，為保證上述各元件安全，則電路允許通過的最大電流為0.25 A，即通過電路中的電流I ≤ 0.25 A;加在電壓表和小燈泡兩端的最大電壓分別為3 V和2.5 V，由于電壓表兩端的電壓與小燈泡兩端電壓相同，為保證電壓表和小燈泡的安全，則加在小燈泡和電壓表兩端的最大電壓應(yīng)為2.5 V，即加在小燈泡兩端的電壓U ≤ 2.5 V。利用歐姆定律和串聯(lián)電路特點(diǎn)分別寫出上述兩個(gè)不等式中的電流和電壓的表達(dá)式，表達(dá)式要用已知量和待求量R滑表示，再結(jié)合滑動(dòng)變阻器連入電路的阻值R滑 ≤ 50 Ω，聯(lián)立三個(gè)不等式求交集得解。

解：小燈泡的電阻[RL=U額I額=2.5 V0.25 A=10 Ω]，根據(jù)以上分析列不等式組如下：[URL+R滑≤0.25 AURL+R滑RL≤2.5 VR滑≤50 Ω]，? 將已知量代入得：[6 V10 Ω+R滑≤0.25 A6 V10 Ω+R滑 ×10 Ω≤2.5 VR滑≤50 Ω]，解得：14 Ω ≤ R滑 ≤ 50 Ω。

點(diǎn)評(píng)：若滑動(dòng)變阻器與用電器串聯(lián)，且電壓表測(cè)量用電器兩端電壓，當(dāng)變阻器滑片P移動(dòng)時(shí)，電壓表與電流表的示數(shù)變化趨勢(shì)相同，并且當(dāng)一只電表的示數(shù)達(dá)到最大（或最?。┲禃r(shí)，另一只電表的示數(shù)也相應(yīng)達(dá)到某一最大（或最?。┲怠?/p>

類型二：滑動(dòng)變阻器與用電器并聯(lián)

例2（2019·江西）如圖2所示，電源電壓為8 V保持不變，電流表的量程為0～0.6 A，電壓表的量程為0～15 V，R1=20 Ω，滑動(dòng)變阻器R2的規(guī)格為“100 Ω  1 A”。

求：閉合開關(guān)S1、S2和S3，在不損壞電流表、電壓表的情況下，求滑動(dòng)變阻器R2的阻值取值范圍。

分析：閉合開關(guān)S1、S2和S3，R3被短路，R1、R2并聯(lián)，電壓表測(cè)電源電壓，電流表測(cè)干路電流，電流表的量程為0～0.6 A，則通過干路的電流I ≤ 0.6 A;由于在并聯(lián)電路中，各支路電壓和總電壓相等，則加在滑動(dòng)變阻器兩端的電壓始終為8 V，小于電壓表的最大值15 V;滑動(dòng)變阻器連入電路的阻值R滑 ≤ 100 Ω。根據(jù)上述分析可利用歐姆定律和串聯(lián)電路特點(diǎn)列出電流的表達(dá)式，表達(dá)式要用已知量和待求量R滑表示，聯(lián)立兩個(gè)不等式求交集得解。

解：通過R1的電流為[I1=UR1=8 V20 Ω=0.4 A]。根據(jù)以上分析列不等式組如下：

[I1+UR滑≤0.6 AR滑≤100 Ω]? 將已知量代入得：[0.4 A+8 VR滑≤0.6 AR滑≤100 Ω]? 解得40 Ω ≤ R滑≤ 100 Ω。

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)滑動(dòng)變阻器與用電器并聯(lián)時(shí)，各支路兩端電壓和電源電壓都相等，在滑動(dòng)變阻器連入的電阻不為0的情況下，當(dāng)變阻器滑片P移動(dòng)時(shí)，電壓表的示數(shù)總是等于電源電壓，且電壓表量程的最大值一定大于電源電壓。可見解答此類題只需列出通過電流表所測(cè)電路的電流和滑動(dòng)變阻器連入電路的阻值兩個(gè)不等式即可快速求解。

（2019·甘肅·蘭州改編）如圖3所示的電路中，電源電壓恒為6 V，燈泡L上標(biāo)有“6 V? 0.5 A”的字樣，R1的阻值為6 Ω，滑動(dòng)變阻器R2上標(biāo)有“10 Ω? 0.8 A”的字樣，電流表A的量程為0～3 A，電壓表V的量程為0～3 V，忽略溫度對(duì)燈絲電阻的影響。求：閉合S，斷開S1與S2時(shí)，在確保電路安全的前提下，滑動(dòng)變阻器R2接入電路的阻值范圍。

【答案】1.5～6 Ω

【提示】首先根據(jù)開關(guān)的通斷明確電路連接方式為串聯(lián)，進(jìn)而明確兩電表測(cè)量對(duì)象。然后根據(jù)“逐一保護(hù)法”確定電路中的最大電流為0.8 A，滑動(dòng)變阻器R2兩端的最大電壓為3 V。由此表示出相對(duì)應(yīng)的不等式分別為：I ≤ 0.8 A和U滑 ≤ 3 V。所對(duì)應(yīng)的不等式表達(dá)式分別為：[UR1+R滑 ≤0.8 A];[UR滑R1+R滑 ≤3 V]，兩式聯(lián)立取交集可得解。